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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若直線與曲線相切,則()A.3 B. C.2 D.2.已知曲線,動點在直線上,過點作曲線的兩條切線,切點分別為,則直線截圓所得弦長為()A. B.2 C.4 D.3.設(shè),是雙曲線的左,右焦點,是坐標原點,過點作的一條漸近線的垂線,垂足為.若,則的離心率為()A. B. C. D.4.在中,角,,的對邊分別為,,,若,,,則()A. B.3 C. D.45.已知復(fù)數(shù)z滿足,則在復(fù)平面上對應(yīng)的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.在函數(shù):①;②;③;④中,最小正周期為的所有函數(shù)為()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③7.已知點是雙曲線上一點,若點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.28.已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為,直線與其相交于,兩點,若中點的橫坐標為,則此雙曲線的方程是A. B.C. D.9.已知實數(shù)滿足則的最大值為()A.2 B. C.1 D.010.某幾何體的三視圖如圖所示,若圖中小正方形的邊長均為1,則該幾何體的體積是A. B. C. D.11.已知點為雙曲線的右焦點,直線與雙曲線交于A,B兩點,若,則的面積為()A. B. C. D.12.如圖,在矩形中的曲線分別是,的一部分,,,在矩形內(nèi)隨機取一點,若此點取自陰影部分的概率為,取自非陰影部分的概率為,則()A. B. C. D.大小關(guān)系不能確定二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.正方體的棱長為2,是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦),為正方體表面上的動點,當弦的長度最大時,的取值范圍是______.14.已知函數(shù),且,,使得,則實數(shù)m的取值范圍是______.15.設(shè)為等比數(shù)列的前項和,若,且,,成等差數(shù)列,則.16.已知各棱長都相等的直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)所有頂點都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側(cè)面積為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角,,所對的邊分別為,,,已知,,角為銳角,的面積為.(1)求角的大??;(2)求的值.18.(12分)為了解本學期學生參加公益勞動的情況,某校從初高中學生中抽取100名學生,收集了他們參加公益勞動時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),繪制圖表的一部分如表.(1)從男生中隨機抽取一人,抽到的男生參加公益勞動時間在的概率:(2)從參加公益勞動時間的學生中抽取3人進行面談,記為抽到高中的人數(shù),求的分布列;(3)當時,高中生和初中生相比,那學段學生平均參加公益勞動時間較長.(直接寫出結(jié)果)19.(12分)的內(nèi)角所對的邊分別是,且,.(1)求;(2)若邊上的中線,求的面積.20.(12分)已知數(shù)列,,數(shù)列滿足,n.(1)若,,求數(shù)列的前2n項和;(2)若數(shù)列為等差數(shù)列,且對任意n,恒成立.①當數(shù)列為等差數(shù)列時,求證:數(shù)列,的公差相等;②數(shù)列能否為等比數(shù)列?若能,請寫出所有滿足條件的數(shù)列;若不能,請說明理由.21.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且滿足,各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和22.(10分)記拋物線的焦點為,點在拋物線上,且直線的斜率為1,當直線過點時,.(1)求拋物線的方程;(2)若,直線與交于點,,求直線的斜率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
設(shè)切點為,對求導,得到,從而得到切線的斜率,結(jié)合直線方程的點斜式化簡得切線方程,聯(lián)立方程組,求得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點為,∵,∴由①得,代入②得,則,,故選A.【點睛】該題考查的是有關(guān)直線與曲線相切求參數(shù)的問題,涉及到的知識點有導數(shù)的幾何意義,直線方程的點斜式,屬于簡單題目.2.C【解析】
設(shè),根據(jù)導數(shù)的幾何意義,求出切線斜率,進而得到切線方程,將點坐標代入切線方程,抽象出直線方程,且過定點為已知圓的圓心,即可求解.【詳解】圓可化為.設(shè),則的斜率分別為,所以的方程為,即,,即,由于都過點,所以,即都在直線上,所以直線的方程為,恒過定點,即直線過圓心,則直線截圓所得弦長為4.故選:C.【點睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系、直線與拋物線位置關(guān)系,拋物線兩切點所在直線求解是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.3.B【解析】
設(shè)過點作的垂線,其方程為,聯(lián)立方程,求得,,即,由,列出相應(yīng)方程,求出離心率.【詳解】解:不妨設(shè)過點作的垂線,其方程為,由解得,,即,由,所以有,化簡得,所以離心率.故選:B.【點睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解、推理論證能力,屬于中檔題.4.B【解析】由正弦定理及條件可得,即.,∴,由余弦定理得?!?選B。5.A【解析】
設(shè),由得:,由復(fù)數(shù)相等可得的值,進而求出,即可得解.【詳解】設(shè),由得:,即,由復(fù)數(shù)相等可得:,解之得:,則,所以,在復(fù)平面對應(yīng)的點的坐標為,在第一象限.故選:A.【點睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求法,考查對復(fù)數(shù)相等的理解,考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點,考查運算能力,屬于??碱}.6.A【解析】逐一考查所給的函數(shù):,該函數(shù)為偶函數(shù),周期;將函數(shù)圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到的圖象,該函數(shù)的周期為;函數(shù)的最小正周期為;函數(shù)的最小正周期為;綜上可得最小正周期為的所有函數(shù)為①②③.本題選擇A選項.點睛:求三角函數(shù)式的最小正周期時,要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)的式子,否則很容易出現(xiàn)錯誤.一般地,經(jīng)過恒等變形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.7.A【解析】
設(shè)點的坐標為,代入橢圓方程可得,然后分別求出點到兩條漸近線的距離,由距離之積為,并結(jié)合,可得到的齊次方程,進而可求出離心率的值.【詳解】設(shè)點的坐標為,有,得.雙曲線的兩條漸近線方程為和,則點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,所以,則,即,故,即,所以.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率,構(gòu)造的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.8.D【解析】
根據(jù)點差法得,再根據(jù)焦點坐標得,解方程組得,,即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為,由題意可得,設(shè),,則的中點為,由且,得,,即,聯(lián)立,解得,,故所求雙曲線的方程為.故選D.【點睛】本題主要考查利用點差法求雙曲線標準方程,考查基本求解能力,屬于中檔題.9.B【解析】
作出可行域,平移目標直線即可求解.【詳解】解:作出可行域:由得,由圖形知,經(jīng)過點時,其截距最大,此時最大得,當時,故選:B【點睛】考查線性規(guī)劃,是基礎(chǔ)題.10.B【解析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體,其中三棱柱的高為2,底面是高和底邊均為4的等腰三角形,圓錐的高為4,底面半徑為2,則其體積為,.故選B點睛:由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體,然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整.11.D【解析】
設(shè)雙曲線C的左焦點為,連接,由對稱性可知四邊形是平行四邊形,設(shè),得,求出的值,即得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點為,連接,由對稱性可知四邊形是平行四邊形,所以,.設(shè),則,又.故,所以.故選:D【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12.B【解析】
先用定積分求得陰影部分一半的面積,再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.【詳解】根據(jù)題意,陰影部分的面積的一半為:,于是此點取自陰影部分的概率為.又,故.故選B.【點睛】本題考查了幾何概型,定積分的計算以及幾何意義,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由弦的長度最大可知為球的直徑.由向量的線性運用表示出,即可由范圍求得的取值范圍.【詳解】連接,如下圖所示:設(shè)球心為,則當弦的長度最大時,為球的直徑,由向量線性運算可知正方體的棱長為2,則球的半徑為1,,所以,而所以,即故答案為:.【點睛】本題考查了空間向量線性運算與數(shù)量積的運算,正方體內(nèi)切球性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題.14.【解析】
根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集;分別求值域即可得到結(jié)論.【詳解】解:依題意,,即函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集.因為在上的值域為()或(),在上的值域為,故或,解得故答案為:.【點睛】本題考查了分段函數(shù)的值域求參數(shù)的取值范圍,屬于中檔題.15..【解析】試題分析:∵,,成等差數(shù)列,∴,又∵等比數(shù)列,∴.考點:等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì),屬于容易題,在解題過程中,需要建立關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程即可求解,考查學生等價轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.16.【解析】
只要算出直三棱柱的棱長即可,在中,利用即可得到關(guān)于x的方程,解方程即可解決.【詳解】由已知,,解得,如圖所示,設(shè)底面等邊三角形中心為,直三棱柱的棱長為x,則,,故,即,解得,故三棱柱的側(cè)面積為.故答案為:.【點睛】本題考查特殊柱體的外接球問題,考查學生的空間想象能力,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)7.【解析】分析:(1)由三角形面積公式和已知條件求得sinA的值,進而求得A;(2)利用余弦定理公式和(1)中求得的A求得a.詳解:(1)∵,∴,∵為銳角,∴;(2)由余弦定理得:.點睛:本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù),屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時,還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應(yīng)用.18.(1)(2)詳見解析(3)初中生平均參加公益勞動時間較長【解析】
(1)由圖表直接利用隨機事件的概率公式求解;(2)X的所有可能取值為0,1,2,3.由古典概型概率公式求概率,則分布列可求;(3)由圖表直接判斷結(jié)果.【詳解】(1)100名學生中共有男生48名,其中共有20人參加公益勞動時間在,設(shè)男生中隨機抽取一人,抽到的男生參加公益勞動時間在的事件為,那么;(2)的所有可能取值為0,1,2,3.∴;;;.∴隨機變量的分布列為:(3)由圖表可知,初中生平均參加公益勞動時間較長.【點睛】本小題主要考查古典概型的計算,考查超幾何分布的分布列的計算,屬于基礎(chǔ)題.19.(1),(2)【解析】
(1)先由正弦定理,得到,進而可得,再由,即可得出結(jié)果;(2)先由余弦定理得,,再根據(jù)題中數(shù)據(jù),可得,從而可求出,得到,進而可求出結(jié)果.【詳解】(1)由正弦定理得,所以,因為,所以,即,所以,又因為,所以,.(2)在和中,由余弦定理得,.因為,,,,又因為,即,所以,所以,又因為,所以.所以的面積.【點睛】本題主要考查解三角形,靈活運用正弦定理和余弦定理即可,屬于??碱}型.20.(1)(2)①見解析②數(shù)列不能為等比數(shù)列,見解析【解析】
(1)根據(jù)數(shù)列通項公式的特點,奇數(shù)項為等差數(shù)列,偶數(shù)項為等比數(shù)列,選用分組求和的方法進行求解;(2)①設(shè)數(shù)列的公差為,數(shù)列的公差為,當n為奇數(shù)時,得出;當n為偶數(shù)時,得出,從而可證數(shù)列,的公差相等;②利用反證法,先假設(shè)可以為等比數(shù)列,結(jié)合題意得出矛盾,進而得出數(shù)列不能為等比數(shù)列.【詳解】(1)因為,,所以,且,由題意可知,數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,數(shù)列是首項和公比均為4的等比數(shù)列,所以;(2)①證明:設(shè)數(shù)列的公差為,數(shù)列的公差為,當n為奇數(shù)時,,若,則當時,,即,與題意不符,所以,當n為偶數(shù)時,,,若,則當時,,即,與題意不符,所以,綜上,,原命題得證;②假設(shè)可以為等比數(shù)列,設(shè)公比為q,因為,所以,所以,,因為當時,,所以當n為偶數(shù),且時,,即當n為偶數(shù),且時,不成立,與題意矛盾,所以數(shù)列不能為等比數(shù)列.【點睛】本題主要考查數(shù)列的求和及數(shù)列的綜合,數(shù)列求和時一般是結(jié)合通項公式的特征選取合適的求和方法,數(shù)列綜合題要回歸基本量,充分挖掘題目已知信息,細思細算,本題綜合性較強,難度較大,側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).21.(1);(2)【解析】
(1)由化為,利用數(shù)列的通項公式和前n項和的關(guān)系,得到是首項為,公差為的等差數(shù)列求解.(2)由(1)得到,再利用錯位相減法求解.【詳解】(1)可以化為,,,,又時,數(shù)列從開始成等差數(shù)列,,代入得是首項為,公差為的等差數(shù)列,,.(2)由(1)得,,,兩式相減得,,.【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式和前n項和的關(guān)系和錯位相減法求和,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.22.(1)(2)0【解析】
(1)根據(jù)題意,設(shè)直線,與聯(lián)立,
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