2023年高中數(shù)學(xué)選修極坐標與參數(shù)方程知識點與題型_第1頁
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文檔簡介

選做題部分極坐標系與參數(shù)方程一、極坐標系1.極坐標系與點的極坐標(1)極坐標系:如圖4-4-1所示,在平面內(nèi)取一個定點O,叫做極點,自極點O引一條射線Ox,叫做極軸;再選定一個長度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標系.(2)極坐標:平面上任一點M的位置可以由線段OM的長度ρ和從Ox到OM的角度θ來刻畫,這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(ρ,θ)稱為點M的極坐標.其中ρ稱為點M的極徑,θ稱為點M的極角.2.極坐標與直角坐標的互化點M直角坐標(x,y)極坐標(ρ,θ)互化公式題型一極坐標與直角坐標的互化1、已知點P的極坐標為,則點P的直角坐標為()A.(1,1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(-1,-1)2、設(shè)點的直角坐標為,以原點為極點,實軸正半軸為極軸建立極坐標系,則點的極坐標為()A.B.C.D.3.若曲線的極坐標方程為ρ=2sinθ+4cosθ,以極點為原點,極軸為x軸正半軸建立直角坐標系,則該曲線的直角坐標方程為________.4.在極坐標系中,過點(1,0)并且與極軸垂直的直線方程是()A.ρ=cosθB.ρ=sinθC.ρcosθ=1D.ρsinθ=15.曲線C的直角坐標方程為x2+y2-2x=0,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,則曲線C的極坐標方程為________.6.在極坐標系中,求圓ρ=2cosθ與直線θ=eq\f(π,4)(ρ>0)所表達的圖形的交點的極坐標.題型二極坐標方程的應(yīng)用由極坐標方程求曲線交點、距離等幾何問題時,假如不能直接用極坐標解決,可先轉(zhuǎn)化為直角坐標方程,然后求解.1.在極坐標系中,已知圓C通過點P(eq\r(2),eq\f(π,4)),圓心為直線ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ-\f(π,3)))=-eq\f(\r(3),2)與極軸的交點,求圓C的直角坐標方程.2.圓的極坐標方程為ρ=4cosθ,圓心為C,點P的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,\f(π,3))),則|CP|=________.3.在極坐標系中,已知直線l的極坐標方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ+\f(π,4)))=1,圓C的圓心的極坐標是Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(π,4))),圓的半徑為1.(i)則圓C的極坐標方程是________;(ii)直線l被圓C所截得的弦長等于________.4.在極坐標系中,已知圓C:ρ=4cosθ被直線l:ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ-\f(π,6)))=a截得的弦長為2eq\r(3),則實數(shù)a的值是________.二、參數(shù)方程1.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地,可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2)假如知道變數(shù)x,y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y=g(t),那么,eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=ft,,y=gt))就是曲線的參數(shù)方程.2.常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點的軌跡普通方程參數(shù)方程直線y-y0=tanα(x-x0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=x0+tcosα,y=y(tǒng)0+tsinα))(t為參數(shù))圓x2+y2=r2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=rcosθ,y=rsinθ))(θ為參數(shù))橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=acosφ,y=bsinφ))(φ為參數(shù))題型一參數(shù)方程與普通方程的互化【例1】把下列參數(shù)方程化為普通方程:(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=3+cosθ,,y=2-sinθ;))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1+\f(1,2)t,,y=5+\f(\r(3),2)t.))題型二直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用1、已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1+t,,y=4-2t))(參數(shù)t∈R),圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2cosθ+2,,y=2sinθ))(參數(shù)θ∈[0,2π]),求直線l被圓C所截得的弦長.2、曲線C的極坐標方程為:ρ=acosθ(a>0),直線l的參數(shù)方程為:(1)求曲線C與直線l的普通方程;(2)若直線l與曲線C相切,求a值.3、在直角坐標系xoy中,曲線C1的參數(shù)方程為,(α為參數(shù)),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為.(Ⅰ)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程;(Ⅱ)設(shè)P為曲線C1上的動點,求點P到C2上點的距離最小值.綜合應(yīng)用1、曲線與坐標軸的交點是()ABHYPERLINK""CDHYPERLINK""3、參數(shù)方程(為參數(shù))化為普通方程為()A.B.C.D.3.判斷下列結(jié)論的正誤.(1)平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一相應(yīng)關(guān)系,在極坐標系中點與坐標也是一一相應(yīng)關(guān)系()(2)若點P的直角坐標為(1,-eq\r(3)),則點P的一個極坐標是(2,-eq\f(π,3))()(3)在極坐標系中,曲線的極坐標方程不是唯一的()(4)極坐標方程θ=π(ρ≥0)表達的曲線是一條直線()4.參數(shù)方程為表達的曲線是()A.一條直線B.兩條直線C.一條射線D.兩條射線5.與參數(shù)方程為等價的普通方程為()A.B.C.D.15.參數(shù)方程所表達的曲線是() A.直線??B.兩條射線?C.線段 ??D.圓16.下列參數(shù)方程(t是參數(shù))與普通方程表達同一曲線的方程是:()?A.?B. C.D.3.由參數(shù)方程給出曲線在直角坐標系下的方程是 ?? 。4.若直線的參數(shù)方程是(t是參數(shù)),則過點(4,-1)且與l平行的直線在y軸上的截距是 ?。5.方程(t是參數(shù))表達的是過點 ,傾斜角為直線。8.在極坐標系有點M(3,),若規(guī)定極徑<0,極角[0,2],則M的極坐標為;若規(guī)定極徑<0,極角(-,),則M的極坐標為.9.的一個頂點在極點O,其它兩個頂點分別為,則的面積為 ?? 。6.(2023·北京高考)在極坐標系中,點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2,\f(π,6)))到直線ρsinθ=2的距離等于________.7、平面直角坐標系中,將曲線為參數(shù))上的每一點橫坐標不變,縱坐標變?yōu)楸緛淼谋兜玫角€,以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸,建立的極坐標系中,曲線的方程為(Ⅰ)求和的普通方程:(Ⅱ)求和公共弦的垂直平分線的極坐標方程.8、已知曲線的極坐標方程是,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程是(t為參數(shù)).(1)求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;(2)若直線與曲線交于兩點,求的值.7、已知圓C:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1+cosθ,,y=sinθ))(θ為參數(shù))和直線l:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2+tcosα,,y

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