流體流動(dòng)方程

一、基本概念二、連續(xù)性方程三、能量衡算方程四、柏努利方程式的應(yīng)用第二節(jié)流體在管內(nèi)的流動(dòng)一、基本概念1、流量與流速1）流量2）流速

單位時(shí)間內(nèi)流體在流動(dòng)方向上流過的距離，稱為流速u。單位為：m/s。數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

單位時(shí)間內(nèi)流過管道任一截面的流體量，稱為流量。

若流量用體積來計(jì)量，稱為體積流量VS；單位為：m3/s。

若流量用質(zhì)量來計(jì)量，稱為質(zhì)量流量WS；單位：kg/s。

體積流量和質(zhì)量流量的關(guān)系是：流量與流速的關(guān)系為：

質(zhì)量流速：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流體流過管道單位面積的質(zhì)量流量用G表示，單位為kg/(m2.s)。

數(shù)學(xué)表達(dá)式為：對(duì)于圓形管道，——管道直徑的計(jì)算式生產(chǎn)實(shí)際中，管道直徑應(yīng)如何確定？(氣體采用更為方便)流量VS一般由生產(chǎn)任務(wù)決定。流速選擇：↑→d↓→設(shè)備費(fèi)用↓

流動(dòng)阻力↑→動(dòng)力消耗↑

→操作費(fèi)↑均衡考慮uu適宜費(fèi)用總費(fèi)用設(shè)備費(fèi)操作費(fèi)合理的流速應(yīng)根據(jù)經(jīng)濟(jì)權(quán)衡決定，一般液體流速為0.5～3m/s。氣體為10～30m/s。某些流體在管道中的常用流速范圍，可參閱有關(guān)手冊(cè)。圓管中有常溫下的水流動(dòng),管內(nèi)徑d=100mm,測(cè)得其中的質(zhì)量流量為15.7kg/s,其體積流量為().平均流速為()。

0.0157m3/s2.0m/s2.定態(tài)流動(dòng)與非定態(tài)流動(dòng)流動(dòng)系統(tǒng)定態(tài)流動(dòng)流動(dòng)系統(tǒng)中流體的流速、壓強(qiáng)、密度等有關(guān)物理量?jī)H隨位置而改變，而不隨時(shí)間而改變非定態(tài)流動(dòng)上述物理量不僅隨位置而且隨時(shí)間變化的流動(dòng)。

化工生產(chǎn)中多屬連續(xù)定態(tài)流動(dòng)過程。下文中除特別說明外，流體流動(dòng)皆屬定態(tài)流動(dòng)

例以內(nèi)徑105mm的鋼管輸送壓力為2atm、溫度為120℃的空氣。已知空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的體積流量為630m3/h，試求此空氣在管內(nèi)的流速和質(zhì)量流速。解:依題意空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的流量應(yīng)換算為操作狀態(tài)下的流量。因壓力不高，可應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程計(jì)算如下：取空氣的平均分子量為Mm=28.9，則實(shí)際操作狀態(tài)下空氣的密度為

平均流速依式（1-17），得質(zhì)量流速在穩(wěn)定流動(dòng)系統(tǒng)中，對(duì)直徑不同的管段做物料衡算衡算范圍：取管內(nèi)壁截面1-1’與截面2-2’間的管段。流體充滿管道且連續(xù)地由1-1’截面流入，經(jīng)2-2’截面流出：衡算基準(zhǔn)：1s對(duì)于連續(xù)穩(wěn)定系統(tǒng)：

二、連續(xù)性方程如果把這一關(guān)系推廣到管路系統(tǒng)的任一截面，有：若流體為不可壓縮流體

（ρ恒定）——一維穩(wěn)定流動(dòng)的連續(xù)性方程

流體流經(jīng)各截面得質(zhì)量流量不變，流速隨A、ρ而變對(duì)于圓形管道，表明：當(dāng)體積流量VS一定時(shí)，管內(nèi)流體的流速與管道直徑的平方成反比。

由此可知，在連續(xù)穩(wěn)定的不可壓縮流體的流動(dòng)中，流體流速與管道的截面積成反比。截面積愈大之處流速愈小，反之亦然。有一段由大管和小管串聯(lián)的管路，管內(nèi)液體作連續(xù)穩(wěn)定流動(dòng)。大管內(nèi)徑為d，而小管內(nèi)徑為d/2，大管內(nèi)流速為u，則小管內(nèi)液體的流速為()。

4u三、能量衡算方程式

1）流體本身具有的能量物質(zhì)內(nèi)部能量的總和稱為內(nèi)能。(分子平動(dòng)能，轉(zhuǎn)動(dòng)能，振動(dòng)能)

單位質(zhì)量流體的內(nèi)能以U表示，單位J/kg。①內(nèi)能：流體因處于重力場(chǎng)內(nèi)而具有的能量。②位能：1流動(dòng)系統(tǒng)的總能量衡算

質(zhì)量為m流體的位能單位質(zhì)量流體的位能

流體以一定的流速流動(dòng)而具有的能量。

③動(dòng)能：質(zhì)量為m，流速為u的流體所具有的動(dòng)能單位質(zhì)量流體所具有的動(dòng)能④靜壓能（流動(dòng)功）

流動(dòng)的流體內(nèi)部任何位置都具有一定的靜壓強(qiáng)。通過一截面的流體必定要帶有與克服該處?kù)o壓強(qiáng)所需的功相當(dāng)?shù)哪芰坎拍苓M(jìn)入系統(tǒng)，流體所具有的這種能量就稱為靜壓能或流動(dòng)功。流體在截面處所具有的壓力流體通過截面所走的距離為

流體通過截面的靜壓能單位質(zhì)量流體所具有的靜壓能

單位質(zhì)量流體本身所具有的總能量為：

單位質(zhì)量流體通過劃定體積的過程中所吸的熱為：Qe(J/kg)；

質(zhì)量為m的流體所吸的熱=mQe[J]。

當(dāng)流體吸熱時(shí)Qe為正，流體放熱時(shí)Qe為負(fù)。①熱：2）系統(tǒng)與外界交換的能量單位質(zhì)量通過劃定體積的過程中接受的功為：We(J/kg)

質(zhì)量為m的流體所接受的功=mWe(J)②外功：流體接受外功時(shí)，We為正，向外界做功時(shí),We為負(fù)。

流體本身所具有能量和熱、功就是流動(dòng)系統(tǒng)的總能量。3）總能量衡算圖衡算范圍：截面1-1’和截面2-2’間的管道和設(shè)備。衡算基準(zhǔn)：1kg流體。設(shè)1-1’截面的流體流速為u1，壓強(qiáng)為P1，截面積A1，比容ν1；

截面2-2’的流體流速為u2，壓強(qiáng)為P2，截面積A2，比容v2。取o-o’為基準(zhǔn)水平面，截面1-1’和截面2-2’中心與基準(zhǔn)水平面的距離為Z1，Z2。對(duì)于定態(tài)流動(dòng)系統(tǒng)：∑輸入能量=∑輸出能量Σ輸入能量Σ輸出能量——穩(wěn)定流動(dòng)過程的總能量衡算式（流動(dòng)系統(tǒng)的熱力學(xué)第一定律）

2、流動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能衡算式——柏努利方程以上能量形式可分為兩類：

機(jī)械能：位能、動(dòng)能、靜壓能及外功，可用于輸送流體；內(nèi)能與熱：不能直接轉(zhuǎn)變?yōu)檩斔土黧w的能量。根據(jù)熱力學(xué)第一定律：流體與環(huán)境所交換的熱阻力損失1）流動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能衡算式代入上式得：——流體穩(wěn)定流動(dòng)過程中的機(jī)械能衡算式2）柏努利方程（Bernalli）或：代入機(jī)械能衡算式：對(duì)于理想流體：，當(dāng)沒有外功加入時(shí)We=0——柏努利方程

當(dāng)流體不可壓縮時(shí)，3、柏努利方程式的討論2）當(dāng)體系無外功，且處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)流體的靜力平衡是流體流動(dòng)狀態(tài)的一個(gè)特例1）柏努利方程式表明理想流體在管內(nèi)做穩(wěn)定流動(dòng)，沒有外功加入時(shí)，任意截面上單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能即動(dòng)能、位能、靜壓能之和為一常數(shù)，用E表示。即：1kg理想流體在各截面上的總機(jī)械能相等，但各種形式的機(jī)械能卻不一定相等，可以相互轉(zhuǎn)換。柏努利方程的物理意義可以從題圖中得到說明，若忽略A，B間的阻力損失，試判斷B玻璃管水面所處的刻度。（a）3）式中各項(xiàng)的物理意義處于某個(gè)截面上的流體本身所具有的能量流體流動(dòng)過程中所獲得或消耗的能量We和Σhf：We：輸送設(shè)備對(duì)單位質(zhì)量流體所做的有效功，

Ne：?jiǎn)挝粫r(shí)間輸送設(shè)備對(duì)流體所做的有效功，即功率軸功率：流體輸送機(jī)械實(shí)際消耗的功率應(yīng)為

式中N——流體輸送機(jī)械的軸功率，W；η——流體輸送機(jī)械的效率。4）柏努利方程的不同形式[m]

位壓頭，動(dòng)壓頭，靜壓頭、

壓頭損失

He：輸送設(shè)備對(duì)流體所提供的有效壓頭

a)若以單位重量的流體為衡算基準(zhǔn)(1/mg=1/G)[m]b)以單位體積流體為衡算基準(zhǔn)(ρ/m=1/v)靜壓強(qiáng)項(xiàng)P可以用絕對(duì)壓強(qiáng)值代入，也可以用表壓強(qiáng)值代入[pa]5）對(duì)于可壓縮流體的流動(dòng)，當(dāng)所取系統(tǒng)兩截面之間的絕對(duì)壓強(qiáng)變化小于原來壓強(qiáng)的20%，仍可使用柏努利方程。式中流體密度應(yīng)以兩截面之間流體的平均密度ρm代替。四、柏努利方程的應(yīng)用計(jì)算：1)管路流量2)設(shè)備間的相對(duì)位置3)流體截面的壓強(qiáng)4)輸送設(shè)備的功率（有效功率Ne=WeWs，軸功率N=Ne/η，η：泵效率）1）作圖并確定衡算范圍

根據(jù)題意畫出流動(dòng)系統(tǒng)的示意圖，并指明流體的流動(dòng)方向，定出上下截面，以明確流動(dòng)系統(tǒng)的衡標(biāo)范圍。1、應(yīng)用柏努利方程的注意事項(xiàng)2）截面的截取

兩截面都應(yīng)與流動(dòng)方向垂直，并且兩截面的流體必須是連續(xù)的，所求得未知量應(yīng)在兩截面或兩截面之間，截面的有關(guān)物理量Z、u、p等除了所求的物理量之外，都必須是已知的或者可以通過其它關(guān)系式計(jì)算出來。3）基準(zhǔn)水平面的選取基準(zhǔn)水平面的位置可以任意選取，但必須與地面平行，為了計(jì)算方便，通常取基準(zhǔn)水平面通過衡算范圍的兩個(gè)截面中位置較低的一個(gè)截面。如衡算范圍為水平管道，則基準(zhǔn)水平面通過管道中心線，ΔZ=0。5)貯槽截面流速視為零.4）單位必須一致

在應(yīng)用柏努利方程之前，應(yīng)把有關(guān)的物理量換算成一致的單位，然后進(jìn)行計(jì)算。兩截面的壓強(qiáng)除要求單位一致外，還要求表示方法一致。例：20℃的空氣在直徑為800mm的水平管流過，現(xiàn)于管路中接一文丘里管，如本題附圖所示，文丘里管的上游接一水銀U管壓差計(jì)，在直徑為20mm的喉徑處接一細(xì)管，其下部插入水槽中?？諝饬魅胛那鹄锕艿哪芰繐p失可忽略不計(jì)，當(dāng)U管壓差計(jì)讀數(shù)R=25mm，h=0.5m時(shí)，試求此時(shí)空氣的流量為多少m3/h?

當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)為101.33×103Pa。2、柏努利方程的應(yīng)用1）確定流體的流量分析：求流量Vh已知d求u直管任取一截面柏努利方程氣體判斷能否應(yīng)用？解：取測(cè)壓處及喉頸分別為截面1-1’和截面2-2’截面2-2’處壓強(qiáng)為：流經(jīng)截面1-1’與2-2’的壓強(qiáng)變化為：截面1-1’處壓強(qiáng)：在截面1-1’和2-2’之間列柏努利方程式。以管道中心線作基準(zhǔn)水平面。由于兩截面無外功加入，We=0。

能量損失可忽略不計(jì)Σhf=0。

柏努利方程式可寫為：

式中：Z1=Z2=0

P1=3335Pa（表壓），P2=-4905Pa（表壓）化簡(jiǎn)得：由連續(xù)性方程有：聯(lián)立(a)、(b)兩式2）確定容器間的相對(duì)位置例：如本題附圖所示，密度為850kg/m3的料液從高位槽送入塔中，高位槽中的液面維持恒定，塔內(nèi)表壓強(qiáng)為9.81×103Pa，進(jìn)料量為5m3/h，連接管直徑為φ38×2.5mm，料液在連接管內(nèi)流動(dòng)時(shí)的能量損失為30J/kg，試求高位槽內(nèi)液面應(yīng)比塔內(nèi)的進(jìn)料口高出多少？分析：解：

取高位槽液面為截面1-1’，連接管出口內(nèi)側(cè)為截面2-2’,并以截面2-2’的中心線為基準(zhǔn)水平面，在兩截面間列柏努利方程式：高位槽、管道出口兩截面u、p已知求△Z柏努利方程式中：Z2=0；Z1=?

P1=0(表壓)；P2=9.81×103Pa(表壓）We=0，u1≈0將上列數(shù)值代入柏努利方程式，并整理得：3）確定輸送設(shè)備的有效功率

例：如圖所示，用泵將河水打入洗滌塔中，噴淋下來后流入下水道，已知道管道內(nèi)徑均為0.1m，流量為84.82m3/h，水在塔前管路中流動(dòng)的總摩擦損失為10J/kg，噴頭處的壓強(qiáng)較塔內(nèi)壓強(qiáng)高0.02MPa，水從塔中流到下水道的阻力損失可忽略不計(jì)，泵的效率為65%，求泵所需功率。分析：求NeNe=WeWs/η求We柏努利方程P2=?塔內(nèi)壓強(qiáng)整體流動(dòng)非連續(xù)截面的選取？

解：取塔內(nèi)水面為截面3-3’，下水道截面為截面4-4’，取地平面為基準(zhǔn)水平面，在3-3’和4-4’間列柏努利方程：將已知數(shù)據(jù)代入柏努利方程式得：計(jì)算塔前管路，取河水表面為1-1’截面，噴頭內(nèi)側(cè)為2-2’截面，在1-1’和2-2’截面間列柏努利方程。式中：將已知數(shù)據(jù)代入柏努利方程式泵的功率：4)管道內(nèi)流體的內(nèi)壓強(qiáng)及壓強(qiáng)計(jì)的指示例1：如圖，一管路由兩部分組成，一部分管內(nèi)徑為40mm，另一部分管內(nèi)徑為80mm，流體為水。在管路中的流量為13.57m3/h，兩部分管上均有一測(cè)壓點(diǎn)，測(cè)壓管之間連一個(gè)倒U型管壓差計(jì)，其間充以一定量的空氣。若兩測(cè)壓點(diǎn)所在截面間的摩擦損失為260mm水柱。求倒U型管壓差計(jì)中水柱的高度R為多少為mm?分析：求R1、2兩點(diǎn)間的壓強(qiáng)差柏努利方程式u已知解：取兩測(cè)壓點(diǎn)處分別為截面1-1’和截面2-2’，管道中心線為基準(zhǔn)水平面。在截面1-1’和截面2-2’間列單位重量流體的柏努利方程。式中：z1=0，z2=0代入柏努利方程式：因倒U型管中為空氣，若不計(jì)空氣質(zhì)量，P3=P4=P

例2：水在本題附圖所示的虹吸管內(nèi)作定態(tài)流動(dòng)，管路直徑?jīng)]有變化，水流經(jīng)管路的能量損失可