第三章晶體和分子的對(duì)稱(chēng)

晶體與分子的對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)的概念

對(duì)稱(chēng)要素的組合規(guī)律

對(duì)稱(chēng)型(點(diǎn)群)及其符號(hào)

1

對(duì)稱(chēng)的概念Smmetry是宇宙間的普遍現(xiàn)象是自然科學(xué)最普遍和最基本的概念是建造大自然的密碼是永恒的審美要素

2在所有智慧的追求中，很難找到其他例子能夠在深刻的普遍性與優(yōu)美簡(jiǎn)潔性方面與對(duì)稱(chēng)性原理相比.——李政道3

對(duì)稱(chēng)的概念物體(或圖形)中相同部分之間有規(guī)律重復(fù)4建筑藝術(shù)中的對(duì)稱(chēng)性56音樂(lè)中的對(duì)稱(chēng)性--雙聲部樂(lè)譜7文學(xué)中的對(duì)稱(chēng)性——回文

將這首詩(shī)從頭朗誦到尾,再反過(guò)來(lái),從尾到頭去朗誦,分別都是一首絕妙好詩(shī).它們可以合成一首“對(duì)稱(chēng)性”的詩(shī)，其中每一首相當(dāng)于一首“手性”詩(shī).

悠悠綠水傍林偎日落觀山四望回幽林古寺孤明月冷井寒泉碧映臺(tái)鷗飛滿浦漁舟泛鶴伴閑亭仙客來(lái)游徑踏花煙上走流溪遠(yuǎn)棹一篷開(kāi)8開(kāi)篷一棹遠(yuǎn)溪流走上煙花踏徑游來(lái)客仙亭閑伴鶴泛舟漁浦滿飛鷗臺(tái)映碧泉寒井冷月明孤寺古林幽回望四山觀落日偎林傍水綠悠悠91mmSnowflakeSOURCE:W.Bentley&W.Humpbreys,SnowCrystals,(McGraw-HillBookCompany,1931),p.147.10自然規(guī)律的對(duì)稱(chēng)性電偶極躍遷選律

ggguuguu分子軌道對(duì)稱(chēng)性守恒泡利原理11對(duì)稱(chēng)性允許對(duì)稱(chēng)性允許對(duì)稱(chēng)性禁阻對(duì)稱(chēng)性禁阻(Z,E)-己二烯加熱變成順-3,4-二甲基環(huán)丁烯12

同位旋對(duì)稱(chēng):質(zhì)子與中子屬性互換,物質(zhì)強(qiáng)相互作用不變(但在電磁和弱相互作用下這種對(duì)稱(chēng)被破壞).13電荷對(duì)稱(chēng):

一組帶電粒子極性互換,其相互作用不變(但在弱相互作用下這種對(duì)稱(chēng)被部分破壞).14

左手與右手互為鏡象.你能用一種實(shí)際操作把左手變成右手嗎？對(duì)于手做不到的,對(duì)于許多分子也做不到.這種分子就是手性分子.

任何分子,包括手性分子,都能用“鏡子”產(chǎn)生鏡象,但手性分子本身并無(wú)鏡面15CPT定理:

在CPT聯(lián)合反演變換下,即:C電荷變號(hào)(粒子反粒子)P鏡像反射(左右)T時(shí)間反演(過(guò)去未來(lái))所有物理規(guī)律都是嚴(yán)格對(duì)稱(chēng)的.16

對(duì)稱(chēng)在科學(xué)界開(kāi)始產(chǎn)生重要的影響始于19世紀(jì).發(fā)展到近代，我們已經(jīng)知道這個(gè)觀念是晶體學(xué)、分子學(xué)、原子學(xué)、原子核物理學(xué)、化學(xué)、粒子物理學(xué)等現(xiàn)代科學(xué)的中心觀念.近年來(lái)，對(duì)稱(chēng)更變成了決定物質(zhì)間相互作用的中心思想——楊振寧17

晶體的對(duì)稱(chēng)晶體的對(duì)稱(chēng)要素

晶體的對(duì)稱(chēng)分類(lèi)結(jié)晶晶體都是對(duì)稱(chēng)的

晶體外形上對(duì)稱(chēng)晶體宏觀性質(zhì)上對(duì)稱(chēng)是晶體的基本性質(zhì)之一是晶體科學(xué)分類(lèi)的依據(jù)1819晶體的對(duì)稱(chēng)元素可分為宏觀和微觀兩類(lèi)。宏觀對(duì)稱(chēng)元素反映出晶體外形和其宏觀性質(zhì)的對(duì)稱(chēng)性。而微觀對(duì)稱(chēng)元素與宏觀對(duì)稱(chēng)元素配合運(yùn)用就能反映出晶體中原子排列的對(duì)稱(chēng)性。宏觀對(duì)稱(chēng)性是其微觀內(nèi)部結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)性（晶體原子的周期性排列）的必然表現(xiàn)。

201對(duì)稱(chēng)的程度：

如果一個(gè)物體在某一變換下不變，如；正方形旋轉(zhuǎn)π/2后重合，可被稱(chēng)作為該物體的一個(gè)對(duì)稱(chēng)操作。一個(gè)物體的對(duì)稱(chēng)操作越多，對(duì)稱(chēng)性越高。

2基本對(duì)稱(chēng)操作：

旋轉(zhuǎn)、反演、對(duì)稱(chēng)面。

3對(duì)稱(chēng)要素：

（1）對(duì)稱(chēng)中心C；一個(gè)假想點(diǎn)，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)操作是對(duì)此點(diǎn)的反伸。如通過(guò)該點(diǎn)作任一直線，則在此線上距對(duì)稱(chēng)中心等距離的兩端必定可找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

晶體中若存在對(duì)稱(chēng)中心，則其晶面必然是兩兩平行且相等。2122

如果每一個(gè)原子都沿直線通過(guò)分子中心移動(dòng)，達(dá)到這個(gè)中心的另一邊的相等距離時(shí)能遇到一個(gè)相同的原子，那么這個(gè)分子就具有對(duì)稱(chēng)中心i。顯然，正方形的PtCl42－離子有對(duì)稱(chēng)中心，但四面體的SiF4分子就沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心。

平面正方形的PtCl42－四面體SiF4不具有對(duì)稱(chēng)中心具對(duì)稱(chēng)中心23（2）對(duì)稱(chēng)面P：假想的平面，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)操作為對(duì)此平面的反演。

P像一面鏡子把物體分為互為鏡像的兩個(gè)相等部分。晶體中對(duì)稱(chēng)面與晶面、晶棱的關(guān)系對(duì)稱(chēng)面垂直平分晶面對(duì)稱(chēng)面垂直晶棱并能過(guò)它的中點(diǎn)對(duì)稱(chēng)面包含晶棱對(duì)稱(chēng)面至少一個(gè)，最多九個(gè)

24

●

對(duì)稱(chēng)面的對(duì)稱(chēng)操作是對(duì)此平面的反映。

●

晶體上可沒(méi)有對(duì)稱(chēng)面，也可有一個(gè)或幾個(gè)P，最多有9

個(gè)，寫(xiě)作9P。P1、P2為對(duì)稱(chēng)面，AD不是

立方體的九個(gè)對(duì)稱(chēng)面ab

25試找出分子中的鏡面26（3）對(duì)稱(chēng)軸Ln;假想的直線,Ln的對(duì)稱(chēng)操作是繞對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一定角度后等同部分重復(fù)。轉(zhuǎn)一周重復(fù)的次數(shù)為軸次n，重復(fù)時(shí)轉(zhuǎn)的最小角度α=基轉(zhuǎn)角。n=360゜/α

晶體的宏觀對(duì)稱(chēng)性只能存在1、2、3、4、6五種對(duì)稱(chēng)軸次，它由晶體內(nèi)部格子構(gòu)造決定的。對(duì)稱(chēng)軸必然通過(guò)幾何中心。27分子中若存在一條軸線，繞此軸旋轉(zhuǎn)一定角度能使分子復(fù)原，就稱(chēng)此軸為旋轉(zhuǎn)軸,符號(hào)為L(zhǎng)n.旋轉(zhuǎn)可以實(shí)際進(jìn)行，為真操作；相應(yīng)地，旋轉(zhuǎn)軸也稱(chēng)為真軸.H2O2中的L2(旋轉(zhuǎn)軸上的橢圓形為L(zhǎng)2的圖形符號(hào)。類(lèi)似地，正三角形、正方形、正六邊形分別是L3、L4和L6的圖形符號(hào)）28n=1、2、3、4、6

α=360゜,180゜,120゜,90゜,60゜。29☆旋轉(zhuǎn)反伸軸具體的操作過(guò)程–Lin

操作為旋轉(zhuǎn)+反伸的復(fù)合操作。：

Li

3=L3C（4）旋轉(zhuǎn)反演（伸）軸Lin

（倒轉(zhuǎn)軸）

復(fù)合的對(duì)稱(chēng)要素。由兩個(gè)幾何要素構(gòu)成。它是一根假想的直線。相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)是圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)和對(duì)此直線上的一個(gè)點(diǎn)反演的復(fù)合操作。

點(diǎn)、線、面---轉(zhuǎn)軸、鏡面、反演中心。進(jìn)行組合可以構(gòu)成新的復(fù)合對(duì)稱(chēng)元素—復(fù)合對(duì)稱(chēng)操作。

Li

3=L3C

Li

1=C

Li

2=P

Li

4

Li

6=L3P30

旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin（倒轉(zhuǎn)軸）

●

概念：過(guò)晶體中心一假想直線，晶體繞此直線旋轉(zhuǎn)一定

角度，再對(duì)對(duì)稱(chēng)中心反伸，可使相等部分重復(fù)出

現(xiàn)，以Lin表示。

●

對(duì)稱(chēng)操作是旋轉(zhuǎn)＋反伸的復(fù)合操作。

●

軸次只有Li1、Li2、Li3、Li4、Li6。

旋轉(zhuǎn)反伸軸的圖解31

旋轉(zhuǎn)反映軸Lsn（映轉(zhuǎn)軸）

●概念：過(guò)晶體中心的一假想直線，晶體繞此直線旋轉(zhuǎn)

一定角度，再對(duì)過(guò)中心且垂直此直線的平面反

映，可使晶體相等部分重復(fù)，以Lsn表示。

●對(duì)稱(chēng)操作為旋轉(zhuǎn)＋反映的復(fù)合操作。

●軸次也只有Ls1、Ls2、Ls3、Ls4、Ls6。

●沒(méi)有獨(dú)立的對(duì)稱(chēng)要素，均可用其它要素表示：

Ls1=P=Li2,Ls2=C=Li1,Ls3=L3+P=Li6,Ls4=Li4,Ls6=L3+C=Li3。

（a）（b）（c）（d）（e）旋轉(zhuǎn)反映軸的圖解32如果繞一根軸旋轉(zhuǎn)2/n角度后立即對(duì)垂直于這根軸的一平面進(jìn)行反映，產(chǎn)生一個(gè)不可分辨的構(gòu)型，那么這個(gè)軸就是n重旋轉(zhuǎn)一反映軸，稱(chēng)作映軸Sn。交錯(cuò)構(gòu)型的乙烷分子與C3軸重合的S6軸CH4三根與平分H－C－H角的三根C2軸相重合的S4軸33倒轉(zhuǎn)軸(旋轉(zhuǎn)反演軸

Lin)之對(duì)稱(chēng)操作

倒轉(zhuǎn)軸圍繞直線旋轉(zhuǎn)一定的角度和對(duì)于一定點(diǎn)的反伸

=對(duì)稱(chēng)軸＋對(duì)稱(chēng)心

變換矩陣：

種類(lèi)Li1

=CLi2

=PLi3

=L3

+CLi4Li6

=L3

+P3435

倒轉(zhuǎn)軸(Lin)之對(duì)稱(chēng)操作（旋轉(zhuǎn)反演軸）

倒轉(zhuǎn)軸對(duì)稱(chēng)操作之圖解35映轉(zhuǎn)軸(旋轉(zhuǎn)反映軸Lsn)之對(duì)稱(chēng)操作?L1i

=L2s=C；L2i

=L1s=P；L3i

=L6s=L3+C；L4i=L4s；L6i=L3s=L3+P36

對(duì)稱(chēng)元素符號(hào)宏觀晶體的對(duì)稱(chēng)要素

3738a0=b0=c0,α=β=γ=90°a0=b0≠c0,α=β=γ=90°a0=b0≠c0,α=β=90°γ=120°a0=b0=c0,α=β=γ≠90°39a0≠b0≠c0,α=β=γ=90°a0≠b0≠c0,α=γ=90°β≠90°

a0≠b0≠c0,α≠

β≠γ≠

90°

（正交格子）40四種格子類(lèi)型A、原始格子；b、c、d、底心格子(b、C心格子c、A心格子d、B心格子)；e、體心格子；f、面心格子；41晶胞：組成各種晶體結(jié)構(gòu)的最小體積單位，能夠反映真實(shí)晶體內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)排列的周期性與對(duì)稱(chēng)性42

晶胞參數(shù)描述晶胞結(jié)構(gòu)的六個(gè)參數(shù)：三個(gè)棱長(zhǎng)a，b，c．

三個(gè)棱間夾角：根據(jù)6個(gè)點(diǎn)陣參數(shù)間的相互關(guān)系，可將全部空間點(diǎn)陣歸屬于7種類(lèi)型七個(gè)晶系：（1）立(正)方晶系：a=b=cα=β=γ=90°（2）六方晶系：a=b≠cα=β=90°γ=120°（3）四方晶系：a=b≠cα=β=γ=90°（4）三方(菱形)晶系：a=b=cα=β=γ≠90°（5）斜方(正交)晶系:a≠b≠cα=β=γ=90°（6）單斜晶系：a≠b≠cα=β=90°γ≠90°（7）三斜晶系：a≠b≠cα≠β≠γ≠90°zxybca43晶體的對(duì)稱(chēng)分類(lèi)44對(duì)稱(chēng)中心i倒反I反映面m反映M一重旋轉(zhuǎn)軸1旋轉(zhuǎn)L(0°)

二重旋轉(zhuǎn)軸2旋轉(zhuǎn)L(180°)

三重旋轉(zhuǎn)軸3旋轉(zhuǎn)L(120°)四重旋轉(zhuǎn)軸4旋轉(zhuǎn)L(90°)

六重旋轉(zhuǎn)軸6旋轉(zhuǎn)L(60°)

四重反軸旋轉(zhuǎn)到反L(90°)總結(jié)上述討論可知,由于點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的制約,晶體中實(shí)際可能存在的獨(dú)立的宏觀對(duì)稱(chēng)元素僅有限的八種:45.4非晶體和準(zhǔn)晶體.4.1非晶體(non-crystal):

內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)在三維空間不成周期性重復(fù)排列的固體。

不具有l(wèi)ong-rangeorder46非晶體和準(zhǔn)晶體.4.2準(zhǔn)晶體(quasi-crystal):具有準(zhǔn)周期平移格子構(gòu)造的固體。

平移準(zhǔn)周期－不同于晶體中的平移周期,但具有自相似性(放大或縮小)。47對(duì)稱(chēng)操作：不改變圖形中任何兩點(diǎn)的距離而能使圖形復(fù)原的操作對(duì)稱(chēng)操作據(jù)以進(jìn)行的幾何要素叫做對(duì)稱(chēng)元素.分子中有四類(lèi)對(duì)稱(chēng)操作及相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)元素如下:5.分子的對(duì)稱(chēng)操作與對(duì)稱(chēng)元素對(duì)稱(chēng)元素:旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱(chēng)操作:旋轉(zhuǎn)48對(duì)稱(chēng)操作與對(duì)稱(chēng)元素旋轉(zhuǎn)是真操作,其它對(duì)稱(chēng)操作為虛操作.49對(duì)稱(chēng)元素符號(hào)對(duì)稱(chēng)元素基本對(duì)稱(chēng)操作符號(hào)基本對(duì)稱(chēng)操作ECnσi

Sn

In--旋轉(zhuǎn)鏡面對(duì)稱(chēng)中心

映軸

反軸EC1n

σiS1n=σC1n

I1n=iC1n

恒等操作繞Cn軸按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)3600/n通過(guò)鏡面反映按對(duì)稱(chēng)中心反演繞Sn軸轉(zhuǎn)3600/n，接著按垂直于軸的平面反映繞In軸轉(zhuǎn)3600/n，接著按中心反演對(duì)稱(chēng)元素和對(duì)稱(chēng)操作50（1）旋轉(zhuǎn)軸與旋轉(zhuǎn)操作分子中若存在一條軸線，繞此軸旋轉(zhuǎn)一定角度能使分子復(fù)原，就稱(chēng)此軸為旋轉(zhuǎn)軸,符號(hào)為Cn.旋轉(zhuǎn)可以實(shí)際進(jìn)行，為真操作；相應(yīng)地，旋轉(zhuǎn)軸也稱(chēng)為真軸.H2O2中的C2(旋轉(zhuǎn)軸上的橢圓形為C2的圖形符號(hào)。類(lèi)似地，正三角形、正方形、正六邊形分別是C3、C4和C6的圖形符號(hào)）51（2）鏡面與反映操作

分子中若存在一個(gè)平面，將分子兩半部互相反映而能使分子復(fù)原，則該平面就是鏡面σ，這種操作就是反映.52試找出分子中的鏡面53(3)對(duì)稱(chēng)中心與反演操作分子中若存在一點(diǎn),將每個(gè)原子通過(guò)這一點(diǎn)引連線并延長(zhǎng)到反方向等距離處而使分子復(fù)原,這一點(diǎn)就是對(duì)稱(chēng)中心i,這種操作就是反演.54旋轉(zhuǎn)反映或旋轉(zhuǎn)反演都是復(fù)合操作，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)元素分別稱(chēng)為映軸Sn和反軸In.旋轉(zhuǎn)反映(或旋轉(zhuǎn)反演)的兩步操作順序可以反過(guò)來(lái).這兩種復(fù)合操作都包含虛操作.相應(yīng)地,Sn和In都是虛軸.對(duì)于Sn，若n等于奇數(shù)，則Cn和與之垂直的σ都獨(dú)立存在；若n等于偶數(shù)，則有Cn/2與Sn共軸，但Cn和與之垂直的σ并不一定獨(dú)立存在.試觀察以下分子模型并比較:(4)映軸與旋轉(zhuǎn)反映操作反軸與旋轉(zhuǎn)反演操作55

(1)重疊型二茂鐵具有S5，所以,C5和與之垂直的σ也都獨(dú)立存在；

(2)甲烷具有S4，所以,只有C2與S4共軸，但C4和與之垂直的σ并不獨(dú)立存在.56CH4中的映軸S4與旋轉(zhuǎn)反映操作注意:C4和與之垂直的σ都不獨(dú)立存在57

具有S4對(duì)稱(chēng)因素的分子

58環(huán)辛四烯衍生物中的S4分子中心是S4的圖形符號(hào)59

在分子中，原子固定在其平衡位置上，其空間排列是對(duì)稱(chēng)的圖象，利用對(duì)稱(chēng)性原理探討分子的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，是人們認(rèn)識(shí)分子的重要途徑，是了解分子結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的重要方法。分子對(duì)稱(chēng)性是聯(lián)系分子結(jié)構(gòu)和分子性質(zhì)的重要橋梁之一。在化學(xué)結(jié)構(gòu)研究中，我們經(jīng)常要確定一個(gè)分子、離子或原子簇所屬的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)群。如果分子M所具有的對(duì)稱(chēng)元素的所有對(duì)稱(chēng)操作形成一個(gè)完全集合G，我們就說(shuō)分子M的對(duì)稱(chēng)性屬于點(diǎn)群G。由于群論原理制約，某個(gè)分子具有的對(duì)稱(chēng)元素和可能進(jìn)行的對(duì)稱(chēng)操作是有限的，所以分子點(diǎn)群大致可分為幾類(lèi)：Cn、Cnv、Cnh、Dn、Dnh、Dnd及高階群。

分子點(diǎn)群與分類(lèi)

606.分子點(diǎn)群分子中全部對(duì)稱(chēng)操作的集合構(gòu)成分子點(diǎn)群(pointgroups

).分子點(diǎn)群可以歸為四類(lèi):(1)單軸群:包括Cn、Cnh、Cnv;(2)雙面群：包括Dn、Dnh、Dnd;(3)立方群：包括Td、Th、Oh、Ih等;(4)非真旋軸群：包括Cs、Ci、S4等.6162Cn群：只有一條n次旋轉(zhuǎn)軸Cn.單軸群:

包括Cn、Cnh、Cnv點(diǎn)群.

這類(lèi)點(diǎn)群的共同特點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)軸只有一條.C2

群R2R2R1R1R1R1R2R263C3群

C3通過(guò)分子中心且垂直于熒光屏64

Cnh群:

除有一條n次旋轉(zhuǎn)軸Cn外，還有與之垂直的一個(gè)鏡面σh.C2h群:N2F2C2h群:反式二氯乙烯

C2垂直于熒光屏,σh在熒光屏上65C3h群RRR

C3垂直于熒光屏,σh在熒光屏上66

Cnv群：

除有一條n次旋轉(zhuǎn)軸Cn外，還有與之相包含的n個(gè)鏡面σv.

H2O中的C2和兩個(gè)σv67C2v群：臭氧C2v群：菲C2與兩個(gè)σv的取向參見(jiàn)H2O分子68C3v

：CHCl3C3v

：NF369C4v群

：BrF5C5v群：Ti(C5H5)C∞v群：N2O70

雙面群：

包括Dn、Dnh、Dnd

.這類(lèi)點(diǎn)群的共同特點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)軸除了主軸Cn外，還有與之垂直的n條C2副軸.Dn群:除主軸Cn外，還有與之垂直的n條C2副軸(但沒(méi)有鏡面).D2群主軸C2垂直于熒光屏71D3：這種分子比較少見(jiàn)，其對(duì)稱(chēng)元素也不易看出.

[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+是一實(shí)例.唯一的C3旋轉(zhuǎn)軸從xyz軸連成的正三角形中心穿過(guò),通向Co;xyz何其相似！C3C2C2C2三條C2旋轉(zhuǎn)軸分別從每個(gè)N–N鍵中心穿過(guò)通向Co.72

Dnh:在Dn基礎(chǔ)上，還有垂直于主軸的鏡面σh.D2h群

：N2O4D2h群：乙烯主軸垂直于熒光屏.σh在熒光屏上.73D3h群

：乙烷重疊型D4h群：XeF4D6h群：苯Dh群：I3-74Dnd:在Dn基礎(chǔ)上,增加了n個(gè)包含主軸且平分二次副軸夾角的鏡面σd.D2d:

丙二烯D2dCCCHHHH75D2d:B2Cl476D3d:乙烷交錯(cuò)型D4d：?jiǎn)钨|(zhì)硫77D5d

:交錯(cuò)型二茂鐵俯視圖78立方群：包括Td、Th、Oh、Ih

等.

這類(lèi)點(diǎn)群的共同特點(diǎn)是有多條高次(大于二次)旋轉(zhuǎn)軸相交.

Td

群：屬于該群的分子，對(duì)稱(chēng)性與正四面體完全相同。CH4P4

（白磷）79

Td群是24階群：E，8C3，3C2，6S4，6σd.從正四面體上可以清楚地看出Td群的對(duì)稱(chēng)性.也可以把它放進(jìn)一個(gè)正方體中去看.不過(guò)要記?。耗阋^察的是正四面體的對(duì)稱(chēng)性，而不是正方體的對(duì)稱(chēng)性!80YX在Td群中,你可以找到一個(gè)四面體結(jié)構(gòu).打開(kāi)P4分子，對(duì)照以下講解自己進(jìn)行操作：從正四面體的每個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)面的正三角形中點(diǎn)有一條C3穿過(guò),所以共有4條C3,可作出8個(gè)C3對(duì)稱(chēng)操作。Z從正四面體的每?jī)蓷l相對(duì)的棱中點(diǎn)有一條S4穿過(guò),6條棱對(duì)應(yīng)著3條S4.每個(gè)S4可作出S41、S42、S43三個(gè)對(duì)稱(chēng)操作，共有9個(gè)對(duì)稱(chēng)操作.但每條S4必然也是C2，S42與C2對(duì)稱(chēng)操作等價(jià)，所以將3個(gè)S42劃歸C2，穿過(guò)正四面體每條棱并將四面體分為兩半的是一個(gè)σd,共有6個(gè)σd。81Td群:金剛烷(隱氫圖)沿著每一條C3去看,看到的是這樣:沿著每一條C2去看,看到的是這樣:82Td群(LiCH3)4

隱氫圖LiCH383Td群P4O10P4O684Oh群

:屬于該群的分子，對(duì)稱(chēng)性與正八面體或正方體完全相同.SF6

立方烷下面從正方體看Oh群的48個(gè)對(duì)稱(chēng)操作：E8C36C26C43C2（=C42）i6S48S63σh6σd

85穿過(guò)每?jī)蓚€(gè)相對(duì)棱心有一條C2;這樣的方向共有6個(gè)(圖中只畫(huà)出一個(gè))

；

此外還有對(duì)稱(chēng)中心i.zyx每一條體對(duì)角線方向上都有一條S6（其中含C3）;這樣的方向共有4個(gè)(圖中只畫(huà)出一個(gè));每一個(gè)坐標(biāo)軸