第10章 能量方法(土木)

第10章能量方法外力功變形能利用功能原理計(jì)算位移四求位移的卡氏定理利用功能原理解決工程結(jié)構(gòu)位移或桿件變形等有關(guān)問題的方法,稱為能量法定義:

任何彈性體在外力作用下都要發(fā)生變形。彈性體在變形過程中,外力沿其作用線方向所作的功,稱為外力功?！?0.1外力功計(jì)算1、常力作功若體系上受到一個(gè)大小不變的常力P的作用,然后P力的作用點(diǎn)又沿著P力的作用方向上有了位移,

則該力所作的功為式中的P為廣義力,為廣義位移.高中物理中一般是常力２、變力作功線彈性體上的靜荷載從零逐漸增加到最終值,即加載過程中的外力是一個(gè)變力。變力所作的功為PLLoBLPA材力通常是變力，靜載。3、多個(gè)力作用下的外力功若線彈性體上作用著幾個(gè)外力(P1,P2……,Pn)時(shí),不論按何種方式加載，所有外力作的總功等于這些力分別與其相應(yīng)位移乘積之和的一半;注意：外力功的最終值僅與各個(gè)外力的最終值有關(guān),而與各個(gè)力的施加次序無關(guān)。也不符合疊加原理。克拉比隆定理例題:計(jì)算圖示簡(jiǎn)支梁上的外力功BCAL/2L/2PEIEImo解:(1)位移計(jì)算梁在P和mo共同作用下C截面的位移和B截面的轉(zhuǎn)角：BCAL/2L/2Pmo解:(2)外力功的計(jì)算分析與討論若先加P，后加mo，則外力功為BCAL/2L/2Pmo分析與討論若先加mo，后加P

，則外力功為分析與討論比較計(jì)算結(jié)果，說明：即作用在彈性體上的所有外力作的總功W,等于這些力分別與其相應(yīng)位移乘積之和的一半。而與各個(gè)力的施加次序無關(guān)。定義：變形能當(dāng)彈性體受到外力作用而發(fā)生變形時(shí)，外力在相應(yīng)的位移上所作的功全部以能量的形式儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)，這種因變形而儲(chǔ)存的能量稱為變形能。§9.2變形能定義：功能原理外力功等于變形能（能量守恒及轉(zhuǎn)換原理）1、桿件產(chǎn)生基本變形時(shí)的變形能（1）軸向拉伸或壓縮PLLoBLPA式中——軸力，

A——截面面積

由拉壓桿件組成的桿系的變形能：P12345受力復(fù)雜桿(軸力沿桿的軸線變化)的變形能qLxdx（2）圓截面桿的扭轉(zhuǎn)mLmoBmA圓截面桿的變形能式中Mn——圓桿橫截面上的扭矩；

——圓桿橫截面對(duì)圓心的極慣性矩。

受力復(fù)雜的圓截面桿(扭矩沿桿的軸線為變量)

xdxLtAB（3）平面彎曲純彎曲梁的變形能：式中M－梁橫截面上的彎矩；

I－梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩LmmoBAm橫力彎曲梁(彎矩沿梁的軸線為變量)的變形能：一般而言，剪切應(yīng)變能與彎曲應(yīng)變能相比比較小。Pm=PaACBaa式中一般實(shí)心截面的細(xì)長(zhǎng)梁:剪切變形能遠(yuǎn)小于其彎曲變形能，通常忽略不計(jì)。

k由截面的幾何形狀決定:

矩形截面:k=1.2,

圓截面:k=10/9,圓環(huán)形截面:k=2。（4）剪切L2、產(chǎn)生組合變形時(shí)的變形能注意：變形能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在變形能計(jì)算中不能使用。3、關(guān)于變形能計(jì)算的討論以上計(jì)算公式僅適用于線彈性材料在小變形下的變形能的計(jì)算。變形能可以通過外力功計(jì)算，也可以通過桿件微段上的內(nèi)力功等于微段的變形能，然后積分求得整個(gè)桿件上的變形能。變形能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在變形能計(jì)算中不能使用。只有當(dāng)桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上不做功時(shí)，才可應(yīng)用。4變形能是恒為正的標(biāo)量，與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨(dú)立選取坐標(biāo)系。BlAmoEIx例題計(jì)算圖示梁在集中力偶mo作用下的變形能(a)BlAPEIx例題計(jì)算圖示梁在集中力P作用下的變形能(b)BlAPEIx例題計(jì)算圖示梁在集中力偶mo、集中力P共同作用下的變形能(c)分析與討論(1)從上述變形能計(jì)算結(jié)果可知：這是因?yàn)榧醋冃文苁橇Φ亩魏瘮?shù),一般說來,變形能不可以簡(jiǎn)單的疊加分析與討論

(2)為什么有時(shí)兩種荷載單獨(dú)作用時(shí)的變形能可以進(jìn)行疊加,是因?yàn)槠渲幸环N荷載在另一種荷載引起的位移上不作功.

例如,一直桿同時(shí)承受彎曲與扭轉(zhuǎn)作用時(shí),就可以把扭轉(zhuǎn)變形能和彎曲變形能疊加起來進(jìn)行計(jì)算.因?yàn)榕まD(zhuǎn)在彎曲引起的轉(zhuǎn)角上不作功,彎矩在扭轉(zhuǎn)引起的扭轉(zhuǎn)角上也不作功.利用可以計(jì)算荷載作用點(diǎn)的位移,但是只限于單一荷載作用,而且所求位移只是荷載作用點(diǎn)(或作用面)沿著荷載作用方向與荷載相對(duì)應(yīng)的位移?！?.3利用功能原理計(jì)算位移blaP例題圖示變截面受拉桿，E、A為已知，求加力點(diǎn)C的水平位移lc2AA解：（1）變形能計(jì)算整根桿的變形能（2）位移計(jì)算所以得分析和討論1若需要位移處無外力作用,如求b截面

,外力功表達(dá)式中無需求的位移項(xiàng),因此無法求。2若在該桿上作用的外力多于一個(gè),如在b截面上還作用一個(gè)P1力,這時(shí).外力表達(dá)式無兩個(gè)或兩個(gè)以上的位移,顯然也不能求位移的大小。blaPlc2AA例

求圖示簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)的撓度wC解：PEIL/2L/2正號(hào)表示wC

的方向與外力F的指向相同。所以，變形能不能疊加。從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看：U不是F或者ΔL的線性函數(shù)，所以不能疊加。從力學(xué)觀點(diǎn)看：§9.4互等定理——加載過程中F1在F2產(chǎn)生的位移上做的功——加載過程中F2在F1產(chǎn)生的位移上做的功變形能不能疊加的力學(xué)本質(zhì)

——一種荷載在另一種荷載引起的位移上做了功。其中以梁為例推導(dǎo)：記號(hào)：荷載：Fi

i：“力”的作用位置位移：wij

j：位移發(fā)生的位置，位移發(fā)生的原因，

j點(diǎn)的“力”引起的現(xiàn)在梁上1、2兩點(diǎn)加荷載F1，F(xiàn)2

，采用兩種不同方式加:第一種加載方案：1、2兩點(diǎn)同時(shí)加F1，F(xiàn)2

由疊加原理，1點(diǎn)總的位移為：2點(diǎn)總的位移為：第二種加載方案：先加F1，然后再加F2先加F1，F(xiàn)1做功為：再加F2，

F2做功為：在加F2

的過程中F1做功為：

線彈性結(jié)構(gòu)，應(yīng)變能只與力的終值有關(guān)，與加載方式無關(guān)。F2在F1引起的位移上所做的功=F1在F2引起的位移上所做的功。當(dāng)F1和F2

在數(shù)值上相等時(shí)，由功的互等定理可得到：——功的互等定理注意：互等定理成立的條件：線彈性、小變形、疊加原理成立?！獜V義位移——廣義力線位移集中力集中力偶角位移——位移互等定理第1點(diǎn)的荷載引起的第2點(diǎn)的位移在第2點(diǎn)作用同樣大小的荷載引起的第1點(diǎn)的位移=——功互等當(dāng)M1與F2數(shù)值上相等時(shí)：——位移互等（數(shù)值上相等）——功互等當(dāng)M1與M2在數(shù)值上相等時(shí)：——位移互等（數(shù)值上相等）定義：余功余功無物理意義§9.5余能δΔlF*FFWCOdF*δ*W定義：余能對(duì)于線彈性材料，顯然有：——數(shù)值相同，概念不同一般地，應(yīng)變能總能表示為位移的函數(shù)，余能總能表示為荷載的函數(shù)。1卡式定理若彈性體上作用著多個(gè)外力(廣義力),則該彈性體的變形能

,對(duì)于任一外力的偏導(dǎo)數(shù),就等于該力作用處沿其作用方向的位移(廣義位移),即§9.6卡式定理2卡式定理的證明設(shè)在某彈性體上作用有外力，在支承約束下，在相應(yīng)的力方向產(chǎn)生的位移為，(i=1,2,…,n)。

可以證明：證明：再加增量，則變形能U的增量dU為梁的總變形能為：(a)考慮兩種不同的加載次序。(1)先加，此時(shí)彈性體的變形能為U：(2)先加，然后再加，此時(shí)彈性體的變形能由三部分組成：梁的總變形能為：(b)(a)在相應(yīng)的位移上所作的功

(b)在相應(yīng)位移上所作的功：(c)原先作用在梁上的對(duì)位移所作的功根據(jù)彈性體的變形能只決定于外力的最終值，而與加載的次序無關(guān)。(a)(b)兩式相等：略去二階微量，化簡(jiǎn)后得：證畢。

3卡氏定理的應(yīng)用應(yīng)用卡氏定理計(jì)算位移時(shí)應(yīng)注意:（1）卡氏定理中的應(yīng)理解為廣義力，應(yīng)理解為廣義位移。（2）只有當(dāng)彈性系統(tǒng)為線性，即其位移與荷載成線性關(guān)系時(shí)，才能應(yīng)用卡氏定理。應(yīng)用卡氏定理計(jì)算位移時(shí)應(yīng)注意:（3）當(dāng)需利用卡氏定理來計(jì)算沒有外力作用處的位移（或所需要的位移與加力方向不一致）時(shí)，可在需要位移處沿著所需求位移的方向任設(shè)一個(gè)力（等于零），寫出所有力（包括）作用下的變形能U的表達(dá)式，并將其對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，然后再令等于零，便得所求位移。（4）先偏導(dǎo)后積分利用卡氏定理解位移時(shí)，一般遵循“先偏導(dǎo)后積分”的原則：①列出內(nèi)力方程②先偏導(dǎo)，即求出的結(jié)果；③后積分，完成上述偏導(dǎo)后，再將其代入下列式中進(jìn)行積分，從而求得需求位移?？ㄊ隙ɡ碓诟鞣N受力情況下的表達(dá)式拉（壓）桿：扭轉(zhuǎn)桿：彎曲變形桿：組合變形桿：桁架：應(yīng)用卡氏定理求出為正時(shí)，表示該廣義位移與其相應(yīng)的廣義力作用方向一致；若為負(fù)值，則表示方向相反。例3圖示簡(jiǎn)支梁，求中點(diǎn)C的撓度。解：FEIl/2l/2正號(hào)表示wC

的方向與F的指向一致。例4圖示懸臂梁，求B截面的轉(zhuǎn)角。解：因?yàn)樵贐截面沒有與之相應(yīng)的外力，所以要進(jìn)行處理。在B截面加一與“相應(yīng)”的假想外力M’。lFEIBxFEIM’（順時(shí)針）注意：（1）負(fù)號(hào)表示的轉(zhuǎn)向與M’的轉(zhuǎn)向相反。（2）要求某點(diǎn)的“位移”，則必須在該點(diǎn)有與之相應(yīng)的“力”，若沒有，則必須在該處加上假想的附加“力”，求導(dǎo)后再令其為零。例5圖示懸臂梁，求C截面的撓度wC

。F=F2EIl/2l/2F=F1BACxy解：（向下）例6圖示結(jié)構(gòu)，求A、B兩點(diǎn)的相對(duì)位移。FEI2aaFDCBAx1x2x3解：例題試求圖示梁自由端A截面的撓度和轉(zhuǎn)角。BA解：1求：（1）列方程及對(duì)P的偏導(dǎo)數(shù)：（2）計(jì)算：結(jié)果為正，說明與P方向一致。2求：求，可A處無力偶作用，因此需在A處暫時(shí)加一個(gè)虛擬的力偶矩，如圖所示：BA（1）列方程及對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)：（2）求：結(jié)果為負(fù)，說明A處轉(zhuǎn)角實(shí)際轉(zhuǎn)向與

的轉(zhuǎn)向相反。例題圖示桁架，各桿E、A、L均相同，試用卡氏定理求。P123456解：桁架各桿均為二力桿，承受沿桿長(zhǎng)不變的軸力。該桁架系統(tǒng)總的變形寫成求和的形式顯然各桿軸力為荷載P的函數(shù)。因此按卡氏定理計(jì)算：各桿的及分別列于下表：表中負(fù)號(hào)表示該桿受壓將表中數(shù)值代入求位移的卡氏定理得:結(jié)果為正值,說明C點(diǎn)的鉛垂位移向下(與P一致).例題求圖示超靜定梁A處的約束反力FAyBA應(yīng)用卡氏定理解超靜定問題1.虛位移虛位移——約束所允許的微小位移。注意：

（1）與結(jié)構(gòu)上的荷載完全無關(guān)的原因?qū)е碌奈灰疲ㄈ鐒e的荷載、溫度變化、純假想原因）。（2）微小，并且符合約束條件?！?.7虛功原理2.虛功原理

對(duì)于處于平衡狀態(tài)的彈性體，從平衡位置令其有一微小的虛位移，則作用在彈性體上的外力在虛位移上所作的功，等于彈性體內(nèi)力在相應(yīng)的虛位移上所做的功。前者稱為外力虛功，后者稱為內(nèi)力虛功。即：

彈性體平衡另一方面，如果彈性體上的外力和內(nèi)力在各自的虛位移上所作的功相等，則彈性體處于平衡狀態(tài)，即：

彈性體平衡綜合上述兩方面，即為彈性體的虛功原理：彈性體平衡的充分必要條件是，外力虛功等于內(nèi)力虛功，即：

彈性體平衡必要條件的簡(jiǎn)單證明，即證：

彈性體平衡以梁為例：（1）設(shè)圖所示梁發(fā)生虛位移，可得：（2）設(shè)想：將處于平衡狀態(tài)的梁分成無數(shù)個(gè)長(zhǎng)度為dx的微段，考察其中任一微段，如圖所示：MdxC·q(x)FNFNM變形前C·（剛體虛位移）變形后（虛變形）小微段上的虛位移可分解為：剛體虛位移（形心位移）和虛變形。質(zhì)點(diǎn)系虛功原理：處于平衡狀態(tài)下的力系在剛體虛位移上的虛功之和等于0。小微段上的虛功僅為力系在虛變形上做的功。所有微段上的虛功之和即為總的虛功。3.單位力法對(duì)應(yīng)的單位力系統(tǒng)ABaa1求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)沿a-a方向的線位移ABaa（1）建立單位力系統(tǒng)：欲求結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)沿某方向的位移，就在該點(diǎn)沿該方向加相應(yīng)的單位力，作為單位力系統(tǒng)?！跋鄳?yīng)”：線位移——集中力；角位移——集中力偶（2）將原荷載系統(tǒng)的位移（變形）作為單位力系統(tǒng)的虛位移。顯然滿足：①原荷載系統(tǒng)的變形與單位力系統(tǒng)的力完全無關(guān)。②微小且符合約束條件。（3）運(yùn)用虛功原理：其中為單位力系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的內(nèi)力。注意：上式既適用于線性系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)。對(duì)于線性結(jié)構(gòu)：莫爾積分法桁架軸梁以彎曲變形為主，可略去軸力、剪力、扭矩的影響上式中為實(shí)際荷載引起的內(nèi)力；是個(gè)大于1的系數(shù)，是剪應(yīng)力實(shí)際上不均勻并與截面形狀有關(guān)的修正系數(shù)。例7求圖示結(jié)構(gòu)C點(diǎn)的豎直位移。aqEIaABCDEAaEIx3x2x11111x3x2x1q解：（1）建立單位力系統(tǒng)如圖。（2）建立坐標(biāo)系如圖。荷載系統(tǒng)與單位力系統(tǒng)坐標(biāo)系要一致。（3）求內(nèi)力。荷載系統(tǒng)：x3x2x1qx3x2x11111單位力系統(tǒng)：?jiǎn)挝涣ο到y(tǒng)與荷載系統(tǒng)的內(nèi)力符號(hào)規(guī)定必須一致。（4）利用單位力法求C點(diǎn)的豎直位移。符號(hào)為正表明的指向與單位力的指向相同。lAEIBxABx1解：（1）建立單位力系統(tǒng)和坐標(biāo)系：例8求圖示結(jié)構(gòu)A截面的轉(zhuǎn)角。無論實(shí)際結(jié)構(gòu)中A點(diǎn)有無與相應(yīng)的外力，都必須建立單位力系統(tǒng)。（2）求內(nèi)力：（3）求：前的負(fù)號(hào)表示的轉(zhuǎn)向與單位力的轉(zhuǎn)向相反。七、計(jì)算莫爾積分的圖乘法梁、剛架等線性結(jié)構(gòu)，單位力法主要是計(jì)算莫爾積分：對(duì)于最常見的均質(zhì)等直桿，EI為常數(shù)，可以提取到積分號(hào)的外面，莫爾積分變?yōu)椋簣D乘法：將積分圖形相乘。出發(fā)點(diǎn)：直桿在單位力作用下的內(nèi)力圖必定是直線段或者折線段。的計(jì)算轉(zhuǎn)化為考察任一梁段AB，其上由荷載引起的彎矩可為任意圖形，而由單位力引起的彎矩為斜直線。xOM0ABOxMFAB建立坐標(biāo)系：以與x軸的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)與x軸的夾角為。xOxMFAB·dxxxCOM0ABl——陰影部分面積陰影部分面積對(duì)

y

軸之矩————圖對(duì)

y

軸之靜矩圖上對(duì)應(yīng)

xC

的值——圖的面積————圖形心的橫坐標(biāo)——圖上對(duì)應(yīng)的值，簡(jiǎn)記為OxMFAB·dxxxCOM0ABl例9求圖示懸臂梁在自由端的撓度。BA1BlAEIF