第8章 信道編碼

本章要點*

差錯控制編碼的基本概念*

常用的幾種檢錯編碼第8章差錯控制編碼§8.1差錯控制編碼的基本概念

信道編碼即差錯控制編碼，目的是為了提高數(shù)字通信系統(tǒng)的可靠性不同系統(tǒng)的誤碼率不同 傳輸雷達(dá)數(shù)據(jù)：10－5傳輸數(shù)字話音：10－3～10－4傳輸計算機數(shù)據(jù)：10－9一、概述二、差錯控制方式1.檢錯重發(fā)法（ARQ）:發(fā)送端發(fā)出有一定檢錯能力的碼。接收端根據(jù)編碼規(guī)則，判斷這些碼在傳輸中是否有錯誤產(chǎn)生，如有錯，就通過反饋信道告之發(fā)端，發(fā)端將錯碼重新發(fā)送，直到收端認(rèn)為正確。特點：只需要少量的多余碼就能獲得較低的誤碼率，系統(tǒng)的適應(yīng)性較強；必須有反饋信道，不能進行同播，實時、連貫性差。應(yīng)用：短波、有線通信2.前向糾錯法（FEC）:前向糾錯方式是發(fā)送端發(fā)送有糾錯能力的碼，接收端的糾錯譯碼器收到這些碼之后，按預(yù)先規(guī)定的規(guī)則，自動的糾正傳輸中的錯誤。特點：不需反饋信道，譯碼的實時性好，控制電路簡單；譯碼設(shè)備比較復(fù)雜，因而對信道變化的適應(yīng)性差，為了獲得較低的誤碼率，設(shè)計信道冗余度較大。應(yīng)用：移動通信3.混合差錯控制（HEC）:是上述兩種方式的結(jié)合。發(fā)送端發(fā)送的碼可檢錯、糾錯。接收端譯碼器收到信碼后，如果檢查出的錯誤是在碼的糾錯能力以內(nèi)，則接收端自動進行糾錯，如果錯誤很多，超過了碼的糾錯能力但尚能檢測時，接收端則通過反饋信道告知發(fā)送端必須重發(fā)這組碼的信息。特點：該方法不僅克服了前向糾錯方式冗余度較大，需要復(fù)雜的譯碼電路的缺點，同時還增強了檢錯重發(fā)方式的連貫性

應(yīng)用：衛(wèi)星通信三、檢錯和糾錯編碼基本原理1.基本原理發(fā)送端信息序列信道編碼增加監(jiān)督碼相關(guān)碼序列接收端接收端接收碼序列信道譯碼相關(guān)檢測信息碼序列【例子】表示天氣：陰、晴用一位碼10無任何檢、糾錯能力用二位碼110001、10為禁用碼，可檢一位錯，不可糾錯用三位碼111000001、010、011、100、101、110為禁用碼，可糾一位錯，檢二位錯2.幾個概念冗余度：在信息中附加比特以便于收端進行錯誤檢測分組碼：在糾、檢錯編碼中，將純信息碼分組，然后在每組信息碼后附加若干位監(jiān)督碼分組碼結(jié)構(gòu)：在分組碼中，每組信息碼為k位，后附加r位監(jiān)督碼，總長度n位，稱碼組（n,k)，n=k+r例（7,3）3位信息碼，4位監(jiān)督碼

信息碼元k監(jiān)督碼元r碼組長度nR，有效性 k，.編碼效率：R=k/n.編碼增益：在給定誤碼率下，非編碼系統(tǒng)與編碼系統(tǒng)所需信噪比

之差（dB）按信息碼與監(jiān)督碼的函數(shù)關(guān)系分：線性碼、非線性碼

按信息碼與監(jiān)督碼的約束關(guān)系分：分組碼、卷積碼

按編碼后信息碼是否保持原形式分：系統(tǒng)碼、非系統(tǒng)碼

按編碼功能分：檢錯碼、糾錯碼

按糾、檢錯類型分：糾檢隨機錯誤、糾檢突發(fā)錯誤按碼元取值分：二進制碼、多進制碼四、差錯控制編碼分類五、糾檢錯能力1.碼重：碼組中碼元“1”的個數(shù)稱為碼組的重量，簡稱碼重，用W表示。如碼組：10001，W=2。2.碼距：兩個等長碼組之間對應(yīng)位不同的個數(shù)稱為這兩個碼組的漢明距離，簡稱碼距d如碼組：10001和01101，其碼距d＝33.最小碼距：碼組集合中各碼組之間距離的最小值稱為碼組的最小距離，用d0表示。

4.糾錯與檢錯能力（1）為檢測e個錯誤，最小碼距d0應(yīng)滿足

（2）為糾正t個錯誤，最小碼距d0應(yīng)滿足

（3）為糾正t個錯誤，同時又能檢測e個錯誤，最小碼距d0應(yīng)滿足例已知兩碼組（0000）和（1111），若該碼組用于檢錯，能檢出幾位錯碼？若用于糾錯，能糾正幾位錯碼？若同時用于糾錯和檢錯，問各能糾、檢幾位錯碼？

（1）（2）（3）解：例已知8個碼組為：（O00000），（001110），（010101），（011011），（100011），（1O1101），（110110），（111000），（1）求以上碼組的最小碼距；（2）若此8個碼組用于檢錯，可檢出幾位錯？（3）若用于糾錯碼，能糾幾位？（4）若同時用于糾錯和檢錯，糾錯、檢錯性能如何？例已知8個碼組為：（O00000），（001110），（010101），（011011），（100011），（1O1101），（110110），（111000），（1）求以上碼組的最小碼距；（2）若此8個碼組用于檢錯，可檢出幾位錯？（3）若用于糾錯碼，能糾幾位？（4）若同時用于糾錯和檢錯，糾錯、檢錯性能如何？

（1）（2）（3）（4）

§8.2常用的幾種檢錯編碼

一、奇偶監(jiān)督碼

1.奇監(jiān)督碼：在每組信息碼之后加一位監(jiān)督位，使碼組中“1”的數(shù)目為奇數(shù)。*

糾檢錯能力：只能發(fā)現(xiàn)奇數(shù)個錯誤，不能發(fā)現(xiàn)偶數(shù)個錯誤。

2.偶監(jiān)督碼：例：已知信息碼組m1、m2、m3為(000)，(001)，(010)，(011)，(100)，(101)，(110)，(111)，試寫出奇數(shù)監(jiān)督碼組和偶數(shù)監(jiān)督碼組。二、二維奇偶監(jiān)督碼

1.概念：每一碼組先寫成一行，然后再按列的方向排列，若干碼組排列成矩陣，最后加一行、列構(gòu)成二維監(jiān)督位。

*

糾檢錯能力：糾一行中的奇數(shù)個錯誤，檢偶數(shù)個錯誤，但不可檢測對角式錯誤。

例：已知行列矩陣，寫出監(jiān)督碼（奇校驗）。10001111010001010001100011三、群計數(shù)碼

1.概念：將信息碼中“1”的個數(shù)用二進制表示，并作為監(jiān)督碼放在信息碼的后面。例：信息碼：1010111---“1”的個數(shù)為5---101糾檢錯碼組為1010111101

*

糾檢錯能力：除碼組中“1”→“0”、“0”→“1”的成對錯誤外，可糾正所有形式的錯誤。

四、恒比碼

1.概念：每個碼組中“1”和“0”的數(shù)目保持恒定。例如：我國電傳通信中普遍采用5中取3恒比碼，即每個碼組長度為5，“1”的個數(shù)為3，“0”的個數(shù)為2。該碼組共有個許用碼字，用來傳送10個阿拉伯?dāng)?shù)字。*

糾檢錯能力：不能檢測“1”錯成“0”和“0”錯成“1”成對出現(xiàn)的差錯外，能發(fā)現(xiàn)幾乎任何形式的錯碼。

五、正反碼

1.概念：監(jiān)督位數(shù)目與信息位數(shù)目相同，監(jiān)督碼元與信息碼元是相同（是信息碼的重復(fù)）或相反（是信息碼的反碼－由信息碼中“1”的個數(shù)而定。例如：電報通信用的正反碼的碼長n=10，其中信息位k=5，監(jiān)督位r=5。其編碼規(guī)則為：(1)當(dāng)信息位中有奇數(shù)個“1”時，監(jiān)督位是信息位的簡單重復(fù)；(2)當(dāng)信息位中有偶數(shù)個“1”時，監(jiān)督位是信息位的反碼。

收端解碼的方法為：先將收碼組中信息位和監(jiān)督位按位模2相加，得到一個5位的合成碼組，然后，由此合成碼組產(chǎn)生一校驗碼組。若接收碼組的信息位中有奇數(shù)個“1”，則合成碼組就是校驗碼組；若接收碼組的信息位中有偶數(shù)個“1”，則取合成碼組的反碼作為校驗碼組。最后，觀察校驗碼組中“1”、“0”的個數(shù)，按表進行判決及糾正可能發(fā)現(xiàn)的錯碼。*

糾檢錯能力：有糾正一位錯碼的能力，并能檢測全部兩位以下的錯碼和大部分兩位以上的錯碼。

例如：信息碼11001監(jiān)督碼11001

發(fā)送碼組1100111001

其編碼規(guī)則為：

(1)當(dāng)信息位中有奇數(shù)個“1”時，監(jiān)督位是信息位的簡單重復(fù)；(2)當(dāng)信息位中有偶數(shù)個“1”時，監(jiān)督位是信息位的反碼。其解碼規(guī)則為：

(1)將收碼組中信息位和監(jiān)督位按位模2相加，得到一5位的合成碼組

；(2)然后，由此合成碼組產(chǎn)生一校驗碼組。a.若收到信息位中有奇數(shù)個“1”，則校驗碼組＝合成碼組；b.若收到信息位中有偶數(shù)個“1”，則校驗碼組＝合成碼組的反碼接收碼組1：1100111001

合成碼組：00000校驗碼組：00000接收碼組2：1000111001

合成碼組：01000校驗碼組：10111接收碼組3：1100101001

合成碼組：10000校驗碼組：10000發(fā)送碼組1100111001

接收碼組1：1100111001

合成碼組：00000校驗碼組：00000接收碼組2：1000111001

合成碼組：01000校驗碼組：10111接收碼組3：1100101001

合成碼組：10000校驗碼組：10000§

10.3線性分組碼

現(xiàn)以(7,4)分組碼為例來說明線性分組碼的特點。設(shè)其碼字為A=［a6

a5

a4

a3

a2

a1

a0］，其中前4位是信息元，后3位是監(jiān)督元，可用下列線性方程組來描述該分組碼，產(chǎn)生監(jiān)督元。

(7,4)碼的碼字表一、監(jiān)督矩陣H和生成矩陣G

1.上述（7，4）碼的監(jiān)督方程為線性方程可用矩陣表示為

其中,P為r×k階矩陣，Ir為r×r階單位矩陣?？梢詫懗蒆=［PIr］形式的矩陣稱為典型監(jiān)督矩陣。HAT=0T，說明H矩陣與碼字的轉(zhuǎn)置乘積必為零，可以用來作為判斷接收碼字A是否出錯的依據(jù)。并簡記為

若把監(jiān)督方程補充為下列方程

可改寫為矩陣形式1000111010011000101010001011G=Q==PT111110101011二、伴隨式(校正子)S

設(shè)發(fā)送碼組A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，在傳輸過程中可能發(fā)生誤碼。接收碼組B=［bn-1,bn-2,…,b1,b0］，則收發(fā)碼組之差定義為錯誤圖樣E，也稱為誤差矢量，即其中E=［en-1,en-2,…,e1,e0］，且當(dāng)bi=ai

當(dāng)bi≠ai

令S=BHT，稱為伴隨式或校正子。(7,4)碼S與E的對應(yīng)關(guān)系§

7.4循環(huán)碼

(7,3)循環(huán)碼

在代數(shù)理論中，為了便于計算，常用碼多項式表示碼字。(n,k)循環(huán)碼的碼字，其碼多項式(以降冪順序排列)為

...一、生成多項式及生成矩陣

如果一種碼的所有碼多項式都是多項式g(x)的倍式，則稱g(x)為該碼的生成多項式。在(n,k)循環(huán)碼中任意碼多項式A(x)都是最低次碼多項式的倍式。如表9-4的(7,3)循環(huán)碼中，

循環(huán)碼的生成矩陣常用多項式的形式來表示()xk-1g(x)Gxxg(x)g(x)=xk-2g(x)......例如(7,3)循環(huán)碼，n=7,k=3,r=4,其生成多項式為生成矩陣為二、監(jiān)督多項式及監(jiān)督矩陣

為了便于對循環(huán)碼編譯碼，通常還定義監(jiān)督多項式，令其中g(shù)(x)是常數(shù)項為1的r次多項式，是生成多項式；h(x)是常數(shù)項為1的k次多項式，稱為監(jiān)督多項式。同理，可得監(jiān)督矩陣H

是h(x)的逆多項式。例如(9，3)循環(huán)碼，g(x)=x4+x3+x2+1，則其中()x6+x4+x3Hx=x5+x3+x2x4+x2+xx3+x+11011000010110000101100001011H=三、編碼方法和電路

在編碼時，首先要根據(jù)給定的(n,k)值選定生成多項式g(x)，即應(yīng)在xn+1的因式中選一r=n-k次多項式作為g(x)。設(shè)編碼前的信息多項式m(x)為循環(huán)碼的碼多項式可表示為

...

(7,3)循環(huán)碼編