第七章 時間序列

第七章時間序列第一節(jié)時間序列概述第二節(jié)時間序列分析的水平指第三節(jié)時間序列分析的速度指第四節(jié)動態(tài)趨勢分析第一節(jié)時間序列概述一、時間序列的意義

時間序列，指同類現(xiàn)象的統(tǒng)計指標數(shù)值按時間先后順序排列而成的數(shù)列。又稱動態(tài)數(shù)列。

時間序列是由互相配對的兩個數(shù)列構成：

一是反映時間順序變化的數(shù)列；

二是反映各個時間統(tǒng)計指標值變化的數(shù)列。二、時間序列的種類按組成時間序列指標性質的不同，時間序列可分為：

時期序列絕對數(shù)時間序列（最基本的數(shù)列）時點序列相對數(shù)時間序列兩個時期序列對比平均數(shù)時間序列兩個時點序列對比

一個時期和一個時點序列對比派生序列1、時期序列

時期序列是指在絕對數(shù)時間序列中，如果每一指標是反映現(xiàn)象在一段時間發(fā)展過程的總量，則為時期序列。它有以下三個特點：（１）數(shù)列中各個指標數(shù)值是可以相加的；（２）數(shù)列中每一個指標數(shù)值的大小與其時期長短有直接的聯(lián)系；一般地說，時期愈長，指標數(shù)值愈大；反之就愈小。（３）數(shù)列中的每個指標數(shù)值，通常是通過連續(xù)不斷地登記取得的。

42、時點序列

時點序列是指在絕對數(shù)時間序列中，若每個指標值所反映的是現(xiàn)象在某一時刻上的總量，則稱為時點序列。

時點序列根據(jù)登記的資料是否連續(xù)可分：

連續(xù)性時點序列（以日為間隔進行登記）

間斷性時點序列（間隔一定時間登記）

5等間隔不等間隔等間隔不等間隔時點序列有以下三個特點：（１）數(shù)列中每個指標數(shù)值是不能相加的。（２）數(shù)列中每個指標數(shù)值的大小與其間隔長短沒有直接聯(lián)系。（３）數(shù)列中每個指標數(shù)值，通常是通過一定時期登記一次而取得的。三、編制時間序列的原則保證數(shù)列中各個指標數(shù)值的可比性，是編制時間序列應遵守的基本原則。具體地說應注意以下四點：（一）時間長短應該相等.（二）總體范圍應該一致。（三）計算方法應該統(tǒng)一。時間序列各項指標的計算口徑、計量單位和計算方法應該一致，保持不變。（四）經(jīng)濟涵義要統(tǒng)一。有時時間序列的指標在名稱上是一個指標，但經(jīng)濟內容或經(jīng)濟涵義不同或有了變化，這也是不可比的。第二節(jié)時間序列分析的水平指標一、發(fā)展水平

發(fā)展水平，又稱發(fā)展量，是時間序列中每一項具體指標數(shù)值。它是計算其他動態(tài)分析指標的基礎。發(fā)展水平按在一個時間序列中所處位置的不同最初水平最末水平

如有一項時間序列：a0，a1，a2，a3…an(共n+1)其中，a0稱最初水平，an稱最末水平。

發(fā)展水平根據(jù)作用不同有：

基期水平：作為比較基礎時期的發(fā)展水平;

報告期水平：所要分析研究的那個時期的水平。二、平均發(fā)展水平

平均發(fā)展水平是對不同時期的發(fā)展水平求平均數(shù)，一般也叫序時平均數(shù)或動態(tài)平均數(shù)。它和一般平均數(shù)有共同之處，也有區(qū)別。（是什么?）序時平均數(shù)的計算：（一）由絕對數(shù)時間序列計算序時平均數(shù)1、根據(jù)時期序列計算(只需采用簡單序時平均法)

計算公式為：

式中，--序時平均數(shù)；

--各期發(fā)展水平；

n--時期項數(shù)。

92、根據(jù)時點序列計算

時點序列分為連續(xù)性時點序列和間斷性時點序列，它們的序時平均數(shù)計算是不同的。

連續(xù)性時點序列間斷性（）

注意：間斷性時點序列計算序時平均數(shù)的假設前提：即所研究現(xiàn)象在相鄰兩時點間的變動是均勻的。等間隔不等間隔等間隔不等間隔首末折半法（二）由相對數(shù)或平均數(shù)時間序列計算序時平均數(shù)其序時平均數(shù)的計算方法是：先將分子數(shù)列和分母數(shù)列分別加以序時平均，然后進行對比，求得相對數(shù)時間序列或平均數(shù)時間序列的序時平均數(shù)。計算公式為：

式中：--相對數(shù)時間序列或平均數(shù)時間序列的序時平均數(shù)；

--分子數(shù)列的序時平均數(shù)；

--分母數(shù)列的序時平均數(shù)。

1、對比的分子、分母都是時期序列

2、對比的分子、分母都是時點序列3、對比的分子、分母數(shù)列一個是時期序列，另一個是時點序列

[例7.5]某企業(yè)一、二、三月份產(chǎn)品產(chǎn)量計劃數(shù)和計劃完成程度資料如表7—5。

1月2月3月

計劃產(chǎn)量（件）b500600800

計劃完成（%）c100102104要求：計算第一季度產(chǎn)量平均計劃完成程度。

變換條件：

1月2月3月

實際產(chǎn)量（件）a500612832

計劃完成（%）c100102104第一種情況：已知分母計劃數(shù)b和計劃完成c，

則:第一季度產(chǎn)量平均計劃完成程度

102.32%

第二種情況：已知分子實際完成數(shù)a和計劃完成c，

則:第一季度產(chǎn)量平均計劃完成程度

三、增長量和平均增長量（一）增長量

它是時間序列中報告期發(fā)展水平與基期發(fā)展水平之差。計算公式為：增長量=報告期水平-基期水平

由于比較基期不同，增長量可分為：

逐期增長量：是報告期水平減去前一期水平的差額；

累積增長量：是報告期水平和某一固定時期水平（通常為最初水平）相減的差額。

逐期增長量：a1-a0,a2-a1,…,an-an-1

累積增長量：a1-a0,a2-a0,…,an-a0

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二者的關系是：累積增長量等于逐期增長量的總和。即：（a1-a0）+(a2-a1)+…+(an-an-1)=an-a0（二）平均增長量平均增長量是增長量的序時平均數(shù)。

計算公式：平均增長量=逐期增長量之和/逐期增長量個數(shù)

=累積增長量/（時間序列項數(shù)-１）第三節(jié)時間序列分析的速度指標速度指標是說明社會經(jīng)濟現(xiàn)象變化發(fā)展的動態(tài)相對指標。反映國民經(jīng)濟速度的主要指標有發(fā)展速度增長速度平均發(fā)展速度平均增長速度。它們之間具有密切的聯(lián)系，其中發(fā)展速度是最基本的速度指標。

一、發(fā)展速度和增長速度（一）發(fā)展速度

發(fā)展速度是兩個不同時期發(fā)展水平對比而計算的動態(tài)相對數(shù)，用以說明報告期水平已發(fā)展到基期水平的若干倍或百分之幾。一般用百分數(shù)或倍數(shù)表示。計算公式為：發(fā)展速度=（報告期水平/基期水平）100%

發(fā)展速度由于采用基期的不同可分為

環(huán)比發(fā)展速度：是報告期水平與其前一期水平之比，說明現(xiàn)象逐期發(fā)展程度；

定基發(fā)展速度：是報告期水平與某一固定時期水平（通常為最初水平）之比，說明現(xiàn)象在一段時間內總的發(fā)展速度，故又稱“總速度”,用R表示。

計算公式如下：環(huán)比發(fā)展速度：定基發(fā)展速度：

二者的關系是：（１）定基發(fā)展速度等于相應各個環(huán)比發(fā)展速度的連乘積，即：

（２）兩個相鄰時期的定基發(fā)展速度之比等于相應時期的環(huán)比發(fā)展速度，即：（二）增長速度

增長速度是增長量與基期水平之比，用以說明報告期水平比基期水平增長了百分之幾或若干倍。用公式表示：

增長速度=增長量/基期水平

或：增長速度=發(fā)展速度-1（或100%）

環(huán)比增長速度：表明現(xiàn)象逐期增長的程度。

定基增長速度：表明現(xiàn)象在較長時期內總的增長程度。

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環(huán)比增長速度=逐期增長量/前一期水平

=環(huán)比發(fā)展速度-１（或100%）定基增長速度=累積增長量/最初水平

=定基發(fā)展速度-１（或100%）注意，這兩個指標是不能直接進行互相換算的。（三）增長１％的絕對值

它表示報告期水平比基期水平每增長１％所包含的絕對量是多少。用公式表示為：

每增長１％的絕對值=（為什么要計算增長1%的絕對值？）

21二、平均發(fā)展速度和平均增長速度（一）平均速度指標的意義平均發(fā)展速度和平均增長速度統(tǒng)稱為平均速度。

平均發(fā)展速度是各期環(huán)比發(fā)展速度的序時平均數(shù)，用以說明現(xiàn)象在較長時間中逐年平均發(fā)展的程度。

平均增長速度=平均發(fā)展速度-１（或100%）即要求得平均增長速度指標，首先要計算出平均發(fā)展速度指標，而后將其減１（或100%）即得。該指標說明現(xiàn)象遞增的平均速度。（二）平均發(fā)展速度的計算方法常用的方法有兩種幾何平均法（水平法）

方程式法(累計法)

它們的數(shù)理依據(jù)、計算方法和應用場合都不相同，現(xiàn)分述如下：

1、幾何平均法（又稱水平法）現(xiàn)象的平均發(fā)展速度，一般用幾何平均法計算。這是因為，現(xiàn)象發(fā)展的總速度等于各期環(huán)比發(fā)展速度的連乘積。

幾何平均法的計算公式為：

（１）式由于各期環(huán)比發(fā)展速度的連乘積等于最后一期的定基發(fā)展速度，即總速度Ｒ，所以有：（２）式又因為，所以有：

（３）式

由（３）式得：展開：

這個等式的含義是：現(xiàn)象從最初水平a0出發(fā)，各時期都以同樣的速度向前發(fā)展，經(jīng)過n期后達到最末水平an

?？梢?，該法計算的平均發(fā)展速度是側重于考察最末一期的發(fā)展水平的，故幾何平均法又稱水平法。

25n期水平法平均發(fā)展速度案例例1：已知2002年中國GDP為12371.39億美元，增長速度為8%；美國為104456億美元，增長速度為2.4%。試問：（1）若按現(xiàn)有的增長速度發(fā)展，幾年后中國將達到美國2002年的GDP的水平？（2）按照同樣的發(fā)展速度，問多少年后中國才能趕上美國？（3）若中國GDP以年均7.23%的速度增長，則需多少年趕上美國？

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解：（1）12371.39*(1.08)n=104456*n=lg8.4434/lg1.08=27.7(年)

（2）12371.39*(1.08)n=104456*(1.024)n(1.05469)n=8.4434lg8.44340.9265n=———————=—————=40(年)lg1.054690.02312

（3）lg8.44340.9265n=——————=————=46(年)lg1.04720.0200

272、方程式法（累計法）累計法計算平均發(fā)展速度的數(shù)理依據(jù)是：現(xiàn)象從最初水平出發(fā)，各期都按固定的速度發(fā)展，各期發(fā)展水平的理論值總和與各期實際水平總和相等。依據(jù)該思路，得到下列公式：

解這個方程式得出的正根，即為所求的年平均發(fā)展速度。所以，這種求平均數(shù)的方法，又稱作方程式法。

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關于現(xiàn)象發(fā)展平均速度的兩種計算法--幾何平均法和方程式法的不同特點說明如下：

幾何平均法側重于考察最末一年的發(fā)展水平；方程式法側重于考察全期各年發(fā)展水平的總和。實際工作中，由于所考察的經(jīng)濟現(xiàn)象大都側重于最末一期的發(fā)展水平，所以水平法計算平均發(fā)展速度的方法被更多地運用。

（三）計算和應用平均發(fā)展速度時應注意的幾個問題1、要聯(lián)系各個時期的環(huán)比速度。2、用分段平均速度補充說明總平均速度或用突出的速度來補充說明平均速度，這在分析較長歷史時期資料時更為必要。3、要聯(lián)系基期水平進行分析。

29第四節(jié)動態(tài)趨勢分析與預測一、時間序列變動的因素分析二、長期趨勢的測定與預測三、季節(jié)變動的測定與預測四、循環(huán)變動的測定一、時間序列變動的因素分析1、長期趨勢變動長期趨勢變動是時間序列變動的基本形式。它是由各個時期普遍的、持續(xù)的、決定性的基本因素的作用，使各期發(fā)展水平沿著一個方向，上升或下降的趨勢變動。2、季節(jié)變動季節(jié)變動是指按一定的時間間隔，由于季節(jié)性的更換以及社會、政治、經(jīng)濟等因素影響，引起現(xiàn)象周期重復的變化。3、循環(huán)變動循環(huán)變動是指現(xiàn)象發(fā)生周期比較長的漲落起伏的變動。通常所指的循環(huán)變動乃經(jīng)濟發(fā)展榮衰不絕相替之變動。它和季節(jié)變動不同，也不同于朝單一方向持續(xù)發(fā)展的長期趨勢。4、不規(guī)則變動不規(guī)則變動是指現(xiàn)象除了受以上各種變動的影響之外，由于臨時的、偶然的因素引起的非周期性或非趨勢性的隨機變動。不規(guī)則變動是無法預知的。動態(tài)趨勢分析目的

四種因素間的關系：按四種因素對時間序列的影響方式不同，時間序列可分解為多種模型，如乘法模型、加法模型、混合模型等。其中最常用的是乘法模型和加法模型，其表現(xiàn)形式為：

乘法模型：（假定四個因素對現(xiàn)象發(fā)展的影響是相互的,并且T是絕對量，其余成分均為比率）

加法模型：（假定四個因素的影響是獨立的，且各成分均用絕對量表示）

其中：

T---表示長期趨勢成分；

S---表示季節(jié)變動成分；

C---表示循環(huán)變動成分；

I---表示不規(guī)則變動成分。二、長期趨勢的測定與預測

測定長期趨勢的主要方法有：移動平均法和最小二乘法。（一）移動平均法移動平均法是采用逐期遞推移動的辦法計算出一系列擴大時距的序時平均數(shù)，并以這一系列平均數(shù)作為對應時期的趨勢值。

應用移動平均法分析長期趨勢，有下列幾點需要加以說明。1、凡采用奇數(shù)項移動求得的平均值，都對正相應時期的原值，一次即得趨勢值。但若采用偶數(shù)項移動平均，還需要作移正平均。2、移動平均時所采用的擴大時距，應由時間序列的具體特點所決定。一般要求擴大的時距與周期變動的時距相吻合，或為它的倍數(shù)。就這一點而言，移動平均法是消除周期變動，從而較為準確地揭示現(xiàn)象發(fā)展的長期趨勢的重要方法。3、移動平均后所得的新數(shù)列，較原數(shù)列項數(shù)為少。4、分析現(xiàn)象發(fā)展趨勢的一個重要目的，是對現(xiàn)象的發(fā)展作出科學的預測，而移動平均法無法得出可供預測用的方程。（二）最小平方法它是測定長期趨勢最普遍采用的方法。

最小平方法配合趨勢線必須滿足下列兩點要求：第一，原數(shù)列的實際值與趨勢線的趨勢值的離差平方之和為最小，即：

第二，實際值與趨勢值的離差之和為0，即：

顯然，第一個條件是最基本的。因為符合這一條件的只有一條線，所以這條線又稱原數(shù)列的最適線，它使趨勢線同原數(shù)列取得最佳配合。最小二乘法既可用于線性方程的擬合，也可用于非線性方程的擬合。

如何判斷時間序列所呈現(xiàn)出的形態(tài)呢？

1、直線趨勢的測定

當時間序列逐期增長量大體相同時，趨勢線近似于一條直線。

2、非線性趨勢測定（１）拋物線型當時間序列各期水平的二次增量大體相同時，則趨勢線近似一條拋物線。

（２）指數(shù)曲線型當時間序列各期的環(huán)比增長速度大致相同時，趨勢線近似于一條指數(shù)曲線。三、季節(jié)變動的測定與預測（一）季節(jié)變動測定的目的

季節(jié)變動是指客觀現(xiàn)象因受自然因素或社會因素影響，而形成的有規(guī)律的周期性變動。這里所謂的季節(jié)變動，不僅僅是一年四季的季節(jié)變動，而是泛指有規(guī)律的、按一定周期（年、季、月、周、日）重復出現(xiàn)的變化。季節(jié)變動會給社會經(jīng)濟生活帶來某些影響。

測定的意義：主要在于認識規(guī)律、分析過去、預測未來。

測定的目的：1、掌握季節(jié)變動的周期、數(shù)量界限及其規(guī)律，以便預測未來，及時采取措施；

2、克服其對社會經(jīng)濟生活帶來的不良影響，更好地組織生產(chǎn)和銷售，提高經(jīng)濟效益和安排好人民生活。

39（二）季節(jié)變動的測定方法

主要方法是計算季節(jié)比率，以反映季節(jié)變動的程度。季節(jié)比率高為旺季，低則為淡季。季節(jié)比率的計算方法通常有兩種按月（季）平均法趨勢剔除法1、按月（季）平均法

分三步計算。

優(yōu)點：計算簡便，容易理解。但運用該法有基本假設，即原時間序列沒有明顯的長期趨勢和循環(huán)變動，通過各年同月數(shù)據(jù)的平均，可以消除不規(guī)則變動，并且當平均的期間與循環(huán)周期基本一致時，也在一定程度上消除了循環(huán)變動。

缺點：若時間序列存在明顯的長期趨勢，會使季節(jié)比率的計算不準確。2、趨勢剔除法若時間序列包含有明顯的上升（下降）趨勢或循環(huán)變動，為更準確的計算季節(jié)比率，就應當首先設法從數(shù)列中消除趨勢因素，然后再用平均法消除不規(guī)則，從而較準確的分解出季節(jié)變動成分。

數(shù)列的長期趨勢可用

移動平均法測定——移動平均趨勢剔除法.

趨勢方程擬合法——趨勢剔除法。

假定時間序列各構成要素的關系是乘法模型，其結構為：

Y=T·C·S·I以移動平均法為例，確定季節(jié)比率的步驟如下：（1）對原數(shù)列通過12個月（或4個季度）的移動平均，消除季節(jié)變動S和不規(guī)則變動I，所得移動平均的結果只包含趨勢變動T和循環(huán)變動C。

(2)將原數(shù)列各項數(shù)據(jù)除以所對應時期的移動平均數(shù)，即得消除趨勢變動的數(shù)列。

T·S·C·I/T·C=S·I

（3）依據(jù)消除趨勢變動的數(shù)列計算各年同月（或同季）的平均數(shù)，以消除不規(guī)則變動I；然后再分別除以總平均數(shù)，即得季節(jié)比率（亦稱季節(jié)變動指數(shù)）s。

[例]根據(jù)下表資料，計算農業(yè)生產(chǎn)資料零售額的季節(jié)指數(shù)。

農業(yè)生產(chǎn)資料零售季節(jié)指數(shù)計算表（1）年/季銷售額（萬元）四項趨勢值Y/T(%)Y移動平均值（移正平均）T1998/162。6——288。0——379。174。54106。12464。076。5683。591999/171。578。6590。91295。380。41118。51388。581。41108。71468。783。2082。572000/174。885。5687。422106。386。53122。85396。486。64111。27468。586。7478。97

續(xù)：年/季銷售額(萬元)Y

四項移動平均值趨勢值Y/T(%)

（移正平均）T

2001/175。986。6187。632106。086。70122。26395。788。04108。70469。990。6577。112002/185。293。5591。022117。696。06122。423107。397。29110。29478。499。1479。082003/186。5101。8484。942131。1104。34125。653115。4——490。3——

農業(yè)生產(chǎn)資料零售季節(jié)指數(shù)計算表（2）

年份季度

1234合計

1998——106.1283.59—

199990.91118.51108.7182.57—200087.42122.85111.2778.97—200187.63122.26108.7077.11—200291.02122.42110.2979.08—200384.94125.65———

合計441.98611.70545.09401.332000.10

平均88.40122.34109.0280.27100.005

季節(jié)指數(shù)（%）88.39122.33109.0180.26100.00（三）季節(jié)變動的調整

測定季節(jié)變動的目的之一是將季節(jié)變動從時間序列中予以剔除，以便觀察和分析時間序列的其他特征。消除季節(jié)變動的方法是將原數(shù)列除以相應的季節(jié)指數(shù)，即：

Y/S=T·S·C·I/S=T·C·I調整后的時間序列即消除了季節(jié)變動的影響。

[例]根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，對1998——2003年各季度的生產(chǎn)資料銷售額作季節(jié)性調整，并將調整后的序列與原序列作比較。根據(jù)調整后的序列配合的趨勢直線為：

Yc=69.89+1.493t

這樣就可計算各季調整后的趨勢值，見下表最后一列。

農業(yè)生產(chǎn)資料零售額的季節(jié)性調整年/季銷售額（萬元）Y季節(jié)指數(shù)（%）S調整后的銷售額（萬元）Y/S調整后的趨勢值（萬元）Yc

1998/162。688.3970.8271.38288。0122.3371.9372.88379。1109.0172。5674.37464。080.2679。7475.861999/171。5同上80。8977。36295。377。9078。85388。581。1880。34468。785。5981。832000/174。8同上84。6283。332106。386。8984。82396。488。4386。31468。585。3587。812001/175。9同上85。8789。302106。086。6590。79395。787。7992。2469。987。0993。782002/185。2同上96。3995。272117。696。1396。763107。398。4398。26478。497。6899。752003/186。5同上97。86101。242131。1107。17102。743115。4105.86104.23490。3112.51105.72四、循環(huán)變動分析（一）循環(huán)變動分析的目的

循環(huán)變動往往存在于一個較長的時期中，是一種從低到高，又從高到低周而復始的近乎規(guī)律性的變動。循環(huán)變動不同于季節(jié)變動，季節(jié)變動也有高低的交替變動，但有比較固定的規(guī)律性，且變動周期一般在一年以內。循環(huán)變動的規(guī)律不那么固定，周期通常在一年以上，且周期的長短、變動形態(tài)、波動的大小也不固定。例如，產(chǎn)品的生產(chǎn)通常有導入期、成長期、成熟期、衰退期、替代期等經(jīng)濟壽命周期；又如，由于受周期因素的影響，宏觀經(jīng)濟的增長通常產(chǎn)生周期性波動。分析循環(huán)變動的主要目的是探索經(jīng)濟發(fā)展的規(guī)律性，為政府制定政策以及企業(yè)經(jīng)營管理的預測和決策提供客觀依據(jù)。

（二）循環(huán)變動的分析方法

由于循環(huán)變動通常隱匿在一個較長的變動中，且規(guī)律不固定，所以在時間序列的成分分析中，循環(huán)變動的測定比較困難。實際中常用:

剩余法—由美國經(jīng)濟統(tǒng)計學家、哈佛大學教授珀森斯在1919年提出。

直接法—由美國經(jīng)濟統(tǒng)計學家布倫博在1926年提出。

剩余法的基本思想：從時間序列中先分別消除長期趨勢和季節(jié)變動——然后再通過平均消除不規(guī)則變動成分——剩余的變動則為循環(huán)變動結果。具體步驟：

1、先消除季節(jié)變動，求得無季節(jié)性資料。

無季節(jié)性資料=T·S·C·I/S=T·C·I2、將結果除以T，求得循環(huán)和不規(guī)則波動的相對數(shù)。

循環(huán)和不規(guī)則波動=T·C·I/T=C·I

3、將上述結果進行移動平均（MA），以消除不規(guī)則波動，即得循環(huán)波動值，通常用百分比表示。

C=MA(C·I)[例]根據(jù)前述資料，采用剩余法分析生產(chǎn)資料銷售額的循環(huán)變動。本題第（6）欄是采用3期移動平均

農業(yè)生產(chǎn)資料零售額循環(huán)波動計算表年/季銷售額（萬元）季節(jié)指數(shù)無季節(jié)性趨勢值循環(huán)波動及循環(huán)相對數(shù)

Y（%）

S資料Y/SYc

不規(guī)則波動（%）相對數(shù)C·I

（1）（2）（3）=（1）/（2）（4）（5）=（3）/（4）（6）

1998/162。688.39—288。0122.3398.27379。1109.01100.72464。080.26103.141999/171。5同上103.99295。3103.06388。5103.50468。7104.842000/174。8同上105.722106。3105.38396。4