大學(xué)物理第五章

第五章剛體力學(xué)基礎(chǔ)剛體（理想模型）:在力作用下，大小和形狀都不改變的物體。剛體是特殊的質(zhì)點系，其上各質(zhì)點間的相對位置保持不變。什么是剛體？§1剛體的平動、轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動一.剛體的運動形式1.平動（translation）平動——剛體內(nèi)兩點作任一直線，運動時始終和自身平行?？梢宰C明：各點軌跡相同，運動狀態(tài)也都相同。即：知道任意點的運動整個剛體運動。平動點（常用質(zhì)心代表）

2.轉(zhuǎn)動（rotation）

▲定軸轉(zhuǎn)動：

▲定點轉(zhuǎn)動：運動中各點都繞同一直線作圓周運動，直線——（轉(zhuǎn)軸）。剛體的一般運動=平動+轉(zhuǎn)動ZI二.剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述（轉(zhuǎn)動運動學(xué)）I——與軸固定PIIII——過P所做平面——兩平面夾角（自I算起，上看逆正）——角坐標(biāo)

=f(t)

——運動方程1、角速度

●通過剛體內(nèi)所做的任意動平面，在同一時間間隔內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度（角位移

）必相等。

●是描述整個剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的物理量。任意時刻，繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體只有一個角速度。

ZIPII2、角加速度

●描述整個剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量,任時刻，繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體只有一個角加速度。

3、定軸轉(zhuǎn)動的勻、勻變速轉(zhuǎn)動

勻：=常，

=0勻變：

=常、、和圓周運動一樣：

4、繞定軸轉(zhuǎn)動剛體各點的速度、加速度

（1）速度

（2）加速度

注意（1）（2）

對剛體上所有點都同，即與半徑夾角都一樣，但注意并非都同。5、角速度的矢量性

（1）定義

沿轉(zhuǎn)軸畫出：指向——與轉(zhuǎn)向成右手法則長——的大小（2）用

表示任意點的

：

角速度和角加速度均為矢量，定軸轉(zhuǎn)動中其方向沿轉(zhuǎn)軸的方向并滿足右手螺旋定則。小結(jié)xOPrv§2轉(zhuǎn)動動能

轉(zhuǎn)動慣量一、定軸轉(zhuǎn)動動能設(shè)t:取

、rk的質(zhì)點k質(zhì)點K

的動能為：△Mkrkvk整個剛體動能—是與剛體本身性質(zhì)有關(guān)的量，稱轉(zhuǎn)動慣量。

即：繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能，等于剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量與其2之積的一半。二、轉(zhuǎn)動慣量（rotationalinertia）剛體質(zhì)量連續(xù)分布：V—遍及剛體整個體積

決定的因素：說明：對形狀復(fù)雜的剛體，理論不易求得，常用實驗測定。

①、轉(zhuǎn)軸位置②、質(zhì)量③、質(zhì)量對軸的分布轉(zhuǎn)動慣量的計算質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布面分布1、對于轉(zhuǎn)動慣量：例1．

長l，質(zhì)量M的均勻細(xì)桿，求桿對通過中心并與桿垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。xoydxY’O’解：取O為坐標(biāo)原點，oxy坐標(biāo)系取x處取一個桿元dx討論：求繞y’軸

例2

半徑R、質(zhì)量M的均質(zhì)圓盤對通過其中心O并垂直盤面的軸的轉(zhuǎn)動慣量。

oRrdr

解：設(shè)圓盤分成許多同心環(huán)，每一環(huán)可視很薄，則環(huán)上各點對o的r相同

取半徑為r的環(huán)，厚dr，則面積:

討論：若要求內(nèi)、外半徑R1、R2繞垂直自己，過圓心的軸的轉(zhuǎn)動慣量

—為環(huán)質(zhì)量面密度

看出，將同樣M的材料，制成環(huán)，J增大，在機械上常看到飛輪是為了增大J。負(fù)質(zhì)量法求環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量表明：為求內(nèi)、外半徑為

R1

和R2

勻質(zhì)圓環(huán)對Z軸的轉(zhuǎn)動慣量，只要求以R2為半徑的勻質(zhì)圓盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量，再加上一個假想以R1為半徑質(zhì)量為負(fù)的勻質(zhì)圓盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量即可。常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量薄圓盤球體細(xì)棒細(xì)棒三．平行軸定理質(zhì)心軸-----通過剛體質(zhì)心的軸?？梢宰C明：即：剛體對任意已知軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體通過質(zhì)心并與該已知軸平行的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量加上剛體質(zhì)量與兩軸垂直距離h平方之積。

設(shè)質(zhì)量M、質(zhì)心C

據(jù)平行軸定理

，在已知剛體對質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動慣量情況下（可查），可方便地算出該剛體對與質(zhì)心軸平行的任意軸的轉(zhuǎn)動慣量。

zyxC過C：JzZ'與Z平行的任意軸，兩軸距h。z′hP如例1中

例2中

看出：剛體在某一方向上的平行軸中，以過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。一、力矩

力—引起質(zhì)點平動。

力矩—引起剛體轉(zhuǎn)動。①

沿轉(zhuǎn)軸，指向按右手法則。

§3力矩

轉(zhuǎn)動定律（轉(zhuǎn)動動力學(xué)）

分解為：

2、力不在垂直軸的平面內(nèi)

二、轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律表明：外力距是定軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的原因?！D(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律牛頓定律三、轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用例1滑輪半徑R質(zhì)量M，兩段懸m1、m2，繩不伸長，質(zhì)量不計，繩輪之間無滑動，輪軸間無摩杈，求：m1、m2的加速度，輪的及繩的張力。

一、

定軸轉(zhuǎn)動剛體動能第

i個質(zhì)元的動能剛體轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動慣量說明o剛體平動動能§4繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能

動能定理

二、

力矩的功力矩做功等于(積分形式

）od三、定軸轉(zhuǎn)動動能定理對于一有限過程討論外力做功等于定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能增量(3)剛體動能的增量，等于外力的功。(2)剛體的內(nèi)力做功之和為零；為什么？(1)質(zhì)點系動能變化取決于所有外力做功及內(nèi)力做功；剛體重力勢能定軸轉(zhuǎn)動剛體的機械能質(zhì)心的勢能對于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機械能守恒定律仍成立四、剛體的機械能解例1滑輪

r、M，在繩的一端掛一重物

m，開始時靜止，不計摩擦力。hm的重力勢能轉(zhuǎn)化為滑輪和m

的動能求

重物下落高度

h時重物的速度v

。均勻細(xì)直棒m

、l

，可繞軸

O

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置.求

它由此下擺

角時的

。Olm解一

機械能守恒(以初始位置為0勢能點)例2ch=解二

定軸轉(zhuǎn)動動能定理

m動能的增量等于重力做的功重力矩其大小質(zhì)點的動量矩與質(zhì)點的動量及位矢(取決于固定點的選擇)有關(guān)特例：質(zhì)點作圓周運動OS慣性參照系§5動量矩(角動量)和動量矩守恒定律

1、質(zhì)點定點轉(zhuǎn)動的動量矩（對o點）一、

動量矩動量矩與質(zhì)點動量

對比，

Jz—m，—

v2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩（對z軸）o剛體對z軸的動量矩第

i個質(zhì)元對z軸的動量矩z說明質(zhì)點動量矩定理：

對t求導(dǎo)

表明：在慣性系中，質(zhì)點對任意固定點o的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點上所有力的合力對同一點之矩--------質(zhì)點動量矩定理。二、

質(zhì)點定點轉(zhuǎn)動的動量矩定理質(zhì)點動量矩定理向

z

軸投影—外力矩，—質(zhì)點動量矩三、

剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩剛體動量矩變化的快慢取決于外力矩

Mz定軸轉(zhuǎn)動剛體的動量矩定理說明

若Jz

=恒量，有轉(zhuǎn)動定律

四、

質(zhì)點定點轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律證明：有心力作用下，質(zhì)點動量矩守恒？

當(dāng)

力矩為0時，由知不變，則動量矩守恒。五、

剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律當(dāng)

時，剛體動量矩

守恒說明當(dāng)變形體所受合外力矩為零時，變形體的動量矩也守恒解：對象―衛(wèi)星

有心力作用，動量矩守恒

例1

人造地球衛(wèi)星在地球引力作用下沿平面橢圓軌道運動，地心可視為固定點，且為橢圓之一焦點。衛(wèi)星近地點A距地面距４３９km，遠(yuǎn)地點B距地面距２３８４km，其中

VA=8.12km/s,地球半徑R=6370km求衛(wèi)星遠(yuǎn)地點的速度大?。?/p>

例2

質(zhì)量m的小球系繩一端，繩穿過一鉛直套管，使小球限制在光滑水平面上運動。先使小球以v0繞管心做半徑為r0的圓周運動，然后向下拉繩，使小球運動最后成為半經(jīng)為r1的圓。求：①小球距管心r1時速度v的大小?②由r0縮短到r1過程中，力所做的功?解：繩子作用為有心力，對o點之矩為0--------動量矩守恒可見，速度增加了，動能也增大了。動能增加是由于作了功，據(jù)動能定理例3

質(zhì)量為m，長為L的均勻細(xì)棒，豎直懸掛于一水平光滑軸，現(xiàn)用力F打擊棒的中部(如圖)，打擊時間為t.求：打擊后棒的角速度?解：由動量矩定理:即例4

一長L，質(zhì)量M的勻質(zhì)桿，可繞過一端的水平光滑軸轉(zhuǎn)動，最初桿靜止于豎直位置?，F(xiàn)有一質(zhì)量m的子彈以水平速度

射入桿中部并嵌在桿中，求：(1)子彈射入瞬間桿轉(zhuǎn)動的角速度（2）桿能擺動的最大角度φφv0解：（1）以m、M為系統(tǒng)子彈射入的過程,系統(tǒng)對o軸的合外力矩為零.由動量矩守恒定律（1）(2)子彈射入后的擺動過程M、m和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒以豎直位置桿質(zhì)心所在平面為零勢能面將（1）式代入，化簡后即可得。[例5]質(zhì)量為M、半徑為R的圓盤水平放置在轉(zhuǎn)臺上，兩質(zhì)量均為m的電動汽車模型可分別沿半徑為R和r(R＞r)兩軌道運行。最初小車和轉(zhuǎn)臺都不動，令外軌道小車作反時針轉(zhuǎn)動，內(nèi)軌道小車順時針轉(zhuǎn)動，相對于轉(zhuǎn)臺的速率均為