第三章 電路定理

第三章電路定理①疊加定理②替代定理③戴維南定理（諾頓定理)④最大功率傳輸定理⑤特勒根定理⑥互易定理⑦對偶原理。從電阻電路的分析中，我們可以循到線性電阻電路分析的一些規(guī)律，可以將其當做一般性定理來使用。它們分別是：第一節(jié)疊加定理一．定理陳述及其解釋性證明1．定理陳述：在線性電路中，任一支路的電流或電壓是電路中各個獨立源(激勵)分別作用時在該支路中產(chǎn)生的電流或電壓的代數(shù)和。aR1R3+

US1

-

I1IS2-US3

+分析圖中Ua

、I1與各個激勵的關(guān)系疊加定理R1R3I1′＋US1－aUS1單獨作用時(IS不作用時開路，US3不作用時短路)：R1R3IS2I1″IS2單獨作用時US3單獨作用時：R1R3-

US3+I1'''顯然有疊加原理證明二．使用疊加定理的注意點

1、疊加定理是線性電路疊加特性的概括表征，其重要性不僅僅在于可用疊加法分析電路本身（分解為簡單電路），更重要的是在于它為線性電路的定性分析和一些具體的計算方法提供了理論依據(jù)。

2、若uS不作用，則短接之，若iS不作用，則開路之；而受控源不是激勵，即作圖分解時受控源始終保留在電路中，此外，定理中“各個獨立源”可換為“各組獨立源”(分組疊加)。Ua=K1US1+K2IS2+K3US3

3、對非線性電路不適用。6、只適用于線性電路中求解電壓與電流響應，而不能用來計算功率。這是由于只有線性電路中的電壓或電流才是激勵的一次函數(shù)，而功率與激勵不再是一次函數(shù)關(guān)系。求“代數(shù)和”時要注意各電壓或電流的參考方向。

7、當線性電路只有一個激勵時，則激勵擴大K倍，任意支路的響應也擴大K倍。這稱為線性電路的齊次性。實際上：線性性質(zhì)包括疊加性(可加性)和齊次性(比例性，均勻性).5、疊加時，電路的連接以及電路中所有的元件（除不作用的獨立源）都不允許更動。4、要注意電壓或電流的參考方向（代數(shù)和）。例1：求圖(a)中的uab

、i1．(a)6Ω3Ω1Ω-6V

++12V-2A3Ai1ab(b)6Ω3Ω1Ω3Ai1′ab(c)6Ω3Ω1Ω-6V

++12V-2Ai1″ab解：本電路用疊加法，可以化為簡單電路的計算。又電路中的激勵獨立源數(shù)目較多，一個個地疊加較煩，為此，我們采用“分組疊加”的方法：①3A電流源單獨作用時（圖(b)）：②其它獨立源共同作用時（圖(c)）：例2．圖示電路中NS為有源線性三端口網(wǎng)絡，已知：IS1=8A、US2=10V時，UX=10V；IS1=–8A、US2=–6V時，UX=–22V；IS1=US2=0時，UX=–2V；試求：IS1=2A、US2=4V時，UX=？

＋UX

－IS1

＋US2

－NS解：可根據(jù)疊加性用“待定系數(shù)法”求解：即可設：UX=K1IS1+K2US2+K3

其中K3為NS內(nèi)部所有獨立源對UX

所產(chǎn)生的貢獻。于是有若為無源線性網(wǎng)絡，則不考慮內(nèi)部電源的作用第二節(jié)替代定理(置換定理)一．定理陳述：在給定的線性或非線性電路中，若已知第k條支路的電壓uK和電流iK

，且該支路不含有受控源或受控源的控制量，則該支路可以用下列任何一種元件來替代：

⑴

uS

=uK的電壓源；

⑵

iS

=iK的電流源；

⑶

若pK吸

＞0，則可替代為RK=|uK／iK

|的電阻。若替代前后電路均具有唯一解，則替代后電路中各支路的電壓與電流均保持為原值。2）替代前后電路均具有唯一解，因此替代后①uK

不變；②其它各支路的電壓、電流不變1）設第K條支路用iS

=iK

來替代，則替代前后①iK

不變；②其它支路VAR未變；③KCL、KVL未變；二．定理的證明：這相當于數(shù)學上將具有唯一解的一組方程中的某一未知量用其解答代替，不會引起方程中其它任何未知量的解答在量值上有所改變。三．定理的應用：說明：1、實際上，某一支路的電壓和電流不一定全要知道，才能用替代定理，而是知道其中之一，就可用相應的元件去替代。如：已知uk，則可用電壓為uk的獨立源來置換該支路的元件。2、電壓源的極性和電流源的方向必須和原網(wǎng)絡中的被替代量一致。替代定理應用①大網(wǎng)絡的“撕裂”：

i2BCAi1Ai2i1Bi1i2C

①替代定理推廣用于二端網(wǎng)絡時，要求該二端網(wǎng)絡內(nèi)部某部分電壓或電流不能是外部受控源的控制量。②

某些線性電路問題的解決(如定理的證明);③

具有唯一解非線性電路問題的簡化分析。i+u-Ni+u-N④是測試或試驗中采用假負載的理論依據(jù)。一．戴維南定理

1．定理陳述：任何一個含獨立源、線性電阻、線性受控源的一端口網(wǎng)絡NS

，對于外電路來說都可以等效成為有伴電壓源(uOC

與Ri的串聯(lián)組合)，其中：

uOC

──NS端口的開路電壓，

Ri

──NS的“除源電阻”；是指將NS內(nèi)所有的獨立源令為零(將uS短路，將iS開路)時的入端電阻(除源后的一端口用N0表示)。NSi+u-外電路(a)i+u-外電路(b)Ri+Uoc–abR一端口網(wǎng)絡——兩個端鈕電流相等的二端網(wǎng)絡無源一端口網(wǎng)絡（無源二端網(wǎng)絡）第三節(jié)戴維南定理與諾頓定理

含源一端口網(wǎng)絡（有源二端網(wǎng)絡）？2．定理證明：開路NS

+u'=uOC

-NOi+u"-

iNSi+u-i替代定理Rii

+u"=－Rii-

i因此u=u‘+u“=uOC

-Ri

i

如圖（b），定理證畢。兩個網(wǎng)絡若在端口處的VCR相同，則兩者對外電路而言是等效的。i+u-外電路(b)Ri+Uoc–NSi+u-外電路(a)二．諾頓定理

1．定理陳述：任何一個含獨立源、線性電阻、線性受控源的一端口網(wǎng)絡NS，對于外電路來說都可以等效成為有伴電流源(iSC

與Gi

的并聯(lián)組合)，其中：iSC

──NS端口的短路電流；iSC

方向由u的“+極”沿外電路至“-極”！

Gi

=1／Ri

──NS的“除源電導”；2．定理證明：先將NS等效為戴維南等效電路，再用有伴電源等效變換即證。由等效關(guān)系可知：iSC

=i|u=0=uOC／Ri

.NSi+u-外電路(a)三．戴維南等效電路或諾頓等效電路的求法方法一(若除源后N0為簡單純電阻電路)：①求uOC

、iSC

二者之一，其中：uOC

─令端口i=0(開路)，對電路用已知方法計算之；iSC

──令端口u=0(短路)，對電路用已知方法計算之；②對除源網(wǎng)絡N0(簡單純電阻電路)用串、并聯(lián)的方法求出Ri

．iiSC外電路(b)+u

–Gi方法二：同時求出uOC

、iSC，

則：

Ri

=uOC

／iSC

但當uOC

=0時，iSC

也為零，此時就不能用上式求Ri

方法三：若除源后N0為含受控源電阻電路①求出uOC

、iSC

二者之一；②對除源網(wǎng)絡N0用外施電源法求Ri

方法四(一步法或激勵－響應法)：直接對NS求解端口的VAR，若求得為u’=A+Bi’則由戴維南等效電路知：uOC

=A，Ri=B．（當求uOC

或iSC

的電路仍然較復雜時用此法的計算量最少）

NSi'+u'-

+uS

-

方法六：實驗測量法（限于直流電路）：+U

R-

+UOC

-

RiI①測開路電壓UOC

；②允許短路時測ISC，則Ri

=UOC／ISC;否則用一R作為外電路并測其U、I，此時，例1．試分別求當負載電阻RL為7Ω和17Ω時電流I之值

解：此題特點：求解量均在RL支路(a圖)。最好選用戴維南定理（或諾頓定理）求解,可用方法一求解：①求UOC:其最簡單的解法是用回路法(b圖)：②對除源后的簡單電阻電路用串并聯(lián)的方法求Ri

：③由戴維南等效電路求I

：

IRL＋4V－9Ω此題若用獨立變量法，則對RL的兩個值將求解兩次方程，可見上述解法簡化了計算。3Ω20Ω4Ω8ΩRL-16V+1AIaba32I1-20×1=16，得I1=9／8A,UOC=–8I1+16–3×1=4Vabb3Ω20Ω4Ω8Ω-16V+1A1AI1

+UOC

-3Ω20Ω4Ω8ΩabRic例2．求右邊電路的最簡等效電路。

②除源（受控源不得除去）求Ri

（圖b）消去非端口變量I1得：Ri

=15Ω；+20V-15Ωa+U-bI解法一：求UOC、Ri①I=0求UOC.（圖a）5Ω10Ω5Ω1Ω+12V-2I1I1Ia+U-baI1I15Ω10Ω5Ω1Ω2I1I1Ia+U-bb解法二：一步法（直接求端口VAR）得：U=20+15I

I1=(-5I+U)／10=0.1U-0.5I（KVL）I2=I1+I

=0.1U+

0.5I（KCL）I3=2I1–I2=0.1U-1.5I（KCL）U=5I＋5I2–I3+12（KVL）U=5I+0.5U+2.5I-0.1U+1.5I+125Ω10Ω5Ω1Ω+12V-2I1I1Ia+U-bI2I3Example3.8FindtheThéveninequivalentforthecircuitcontainingdependentsourcesshowninFig3.37.Solution:(1)Findtheopen-circuitvoltagevabFig.3.37Solution:(2)Findtheshort-circuitcurrentisc(3)getRTh(4)drawing圖3.37的戴維南等效電路注意點：1、對端鈕處等效，即對外電路等效。2、含源一端口網(wǎng)絡一定是線性網(wǎng)絡。3、開路電壓uoc與端電壓u不同，要注意等效電壓源uoc的參考極性。4、外電路為任意（線性、非線性、有源、無源、支路或部分網(wǎng)絡均可）。5、若含源一端口網(wǎng)絡Ns內(nèi)具有受控源時，這些受控源只能受Ns內(nèi)部（包括端口）有關(guān)電壓或電流控制，而Ns內(nèi)部的電壓或電流也不能作為外電路中受控源的控制量。即Ns與外電路之間一般應沒有耦合關(guān)系。作業(yè)：習題卡3-1，3-3，3-5第四節(jié)最大功率傳輸定理一．最大功率傳輸定理的結(jié)論與證明Ia+U－

RLbNS問題：如圖RL=?時，NS傳給RL的PRL=Pmax

=?Ia+U-

RLb+UOC-Ri得RL=Ri

，此時RL可獲得Pmax

匹配求解：戴維南等效電路如圖則有：（最大功率傳輸定理）

通常UOC發(fā)出的功率并不等于NS中原來電源所發(fā)出的功率，匹配時的效率并不高，對UOC來講，η只有50％(對NS，η≠50％)。因此，對于強電而言，不能工作在匹配狀態(tài)；但對弱信號的傳輸，往往就需要實現(xiàn)最大功率傳輸。若用諾頓等效電路例：求RL=?時PRL吸

=Pmax=?Ri+UOC

-

RL11'

iRL

20Ω20Ω10Ω2A11'+15V-

+5V-

i解：先進行戴維南等效：第五節(jié)特勒根定理

一、特勒根定理１對于一個具有n個節(jié)點和b條支路的電路，若其第k條支路的電壓uk

、電流ik取為關(guān)聯(lián)方向（k=1,2,…，b），則恒有：證明：為了簡化證明，考慮n=4、b=6的電路如圖，各支路只用線段表示，線段的方向表示電壓（或電流）的參考方向，并令0為參考節(jié)點，則：

4①2②3③1560原式=un1i1+(un1-un2)

i2+(un2-un3)

i3+(un1-un3)

i4+un2i5+un3i6=

un1(i1+i2+i4)+un2(-i2+i3+i5)+un3(-i3–i4+i6)=un1·0+un2·0+un3·0=0用上述類似的過程，對任何具有n個節(jié)點和b條支路的集總電路，均可證明上式成立。物理意義：功率守恒二．特勒根定理２二．特勒根定理２：對于兩個具有n個節(jié)點和b條支路的電路N和N^

，若它們的拓撲結(jié)構(gòu)（圖）相同，設N與N^的對應支路編號一致，所取關(guān)聯(lián)方向相同，如支路電流與電壓分別記為(i1，i2，…，ib)、(u1，u2，…，ub)和(i^1，i^2，…，i^b)、(u^1，u^2，…，u^b)，則恒有：特勒根定理２同樣適用于任何集總參數(shù)電路，物理意義為似功率守恒例．N、N'的各支路電流均已標出，試驗證特勒根定理1和特勒根定理2b2b4b1b3

b5定理證明在書上P67頁，請自學！0.8A5Ω5Ω＋3V－－1V＋1A－6V＋5Ω＋4V－N0.2A+5V-2A3Ω2Ω＋5V－1A5Ω1A+2V-+10V-+3V-+15V-

b1b2b3b4b5Σ

Nu34-1-65

i-0.80.8-0.211

u

i-2.43.20.2-650^Nu'1510523

i'-22111

u'i'-30205230N與^Nu'i-128-1230ui'-68-1-650可列表（u的單位為V，i的單位為A，p的單位為W）來驗證：

有時兩個電路結(jié)構(gòu)并不完全相同，可用開路或短路來替代或填補某些支路。

第六節(jié)互易定理“互易”─若線性電路只有一個激勵，則該激勵與電路中某個響應的位置互換后，其激勵與響應的關(guān)系保持不變（共有三種形式）：+uS

-

i1i2+u2=0

-

NR+u1-

122'1'+uS

-

122'1'+u1=0-

+u2

-

i1i2NR一、互易定理的第一種形式：設下列兩圖中NR為同一僅含線性電阻的網(wǎng)絡：則

=

i2即恒壓源與短路電流響應可互易)證明：設總共有b條支路，則由特勒根定理2：又因二．互易定理的第二種形式

i1

i2+u2-

NR+u1-

122'1'iS

i1

i2+u2-

NR+u1-

122'1'iS證明：此時將，代入（*）式二．互易定理的第二種形式：設下列兩圖中NR為同一僅含線性電阻的網(wǎng)絡，則即恒流源與開路電壓響應可互易.二．互易定理的第二種形式證明：將；

代入（*）式2'1'

i1=0

i2+u2-

NR+u1-

12＋uS－三．互易定理的第三種形式：設下列兩圖中NR為同一僅含線性電阻的網(wǎng)絡，若

uS

=iS(量值上)，則(量值上)i1

i2+u2=0

-

+u1-

12'1'iS

NR2四、互易定理應用時的幾點說明①式（*）是互易定理三種形式的統(tǒng)一表達式，用各種互易定理解題時，可統(tǒng)一使用它，但根據(jù)其證明中使用了特勒根定理，就要求這些端口變量取關(guān)聯(lián)參考方向（對NR以外的端口支路而言）。此外，若NR的激勵端口與響應端口的總和超過２，則該式可作相應的推廣。②兩網(wǎng)絡為同一純電阻網(wǎng)絡NR

，這只是網(wǎng)絡互易的充分條件。若網(wǎng)絡中還含有受控源，則不一定互易?、垌憫c激勵位置互換后，NR內(nèi)部支路的電壓、電流一般會改變。例．如圖，求＋u2－2A5Ω＋u1－

i1

i2121'2'NR解法一：第二種形式解法二：直接用(*)式來解＋10V－121'2'i1i2=0

NR2A＋5V－第七節(jié)對偶原理

即系統(tǒng)中某些元素之間的關(guān)系（或方程）用對應的另一些元素置換后，所得的新關(guān)系（或新方程）也一定對應地成立。電路中互為對偶的元素、變量有：u、R、L、開路、有伴電壓源、磁鏈、……、uOC

、節(jié)點、節(jié)點自電導、iS

……i、G、C、短路、有伴電流源、電荷、……、iSC、網(wǎng)孔、網(wǎng)孔自電阻、uS

……在電路分析中，發(fā)現(xiàn)有些關(guān)系式、物理量及電路是成對出現(xiàn)的，它們之間存在著一種明顯的類比關(guān)系。例如：歐姆定律的兩種形式：在關(guān)聯(lián)參考方向下：u=Ri

，i=Gu在這兩個關(guān)系式中，通過對應元素（對偶元素）互換后又能彼此轉(zhuǎn)換，這種類比的性質(zhì)就稱對偶性，即對偶原理。電路中互為對偶的方程如：u=Ri

；iC

=C(duC

／dt)；ψL=LiL

；……；i=Gu

；uL=L(diL

／dt)；qC

=CuC

；…….R1R3+uS1-il1R2il2+uS3-

①②G2G1G3iS1iS3互為對偶的電路根據(jù)對偶原理，如果導出了電路某一個關(guān)系式或結(jié)論，就等于解決了與之對偶的另一個關(guān)系式或結(jié)論。掌握電路的這一性質(zhì)，能幫助我們掌握電路的規(guī)律，做到由此及彼，舉一反三。例如：必須注意，兩個電路互為對偶，絕非是這兩個電路等效?！皩ε肌焙汀暗刃А笔莾蓚€不同的概念，不可混淆。

3-19、3-20、3-22

作業(yè)：3-7，3-9，3-14，3-16例1、列出圖示電路的回路電流方程。解：控制關(guān)系方程，即習題課一直流電路2Ω-2i1++4V-+u2-i1u2

2Ω2ΩR3R1R2is2Aus

isu2

i例2、列出電路的節(jié)點電壓方程（不必求解）解：注意：1、與電流源串聯(lián)電導不計入自電導和互電導之中；2、無伴電壓源假設未知電流的處理方法。例3、電路如圖所示，求：Uab

?解：電壓源兩邊電阻組成的兩組電橋，均處于平衡狀態(tài)電流為0的支路可視為開路例4、書上