材料力學(xué)課件第10章能量法

第10章能量法第10章能量法

10.1概述

10.2桿件應(yīng)變能的計(jì)算

10.3應(yīng)變能的一般表達(dá)式

10.4互等定理

10.5卡氏定理

10.6虛功原理單位載荷法

10.7莫爾定理

10.8計(jì)算莫爾積分的圖乘法10.1

概述能量法具有下列優(yōu)點(diǎn)：

（1）應(yīng)用簡(jiǎn)單、方便等。

（2）公式統(tǒng)一，適用于計(jì)算機(jī)編程計(jì)算和分析。

對(duì)于復(fù)雜的超靜定結(jié)構(gòu)，工程上常采用能量原理來進(jìn)行結(jié)構(gòu)的分析和計(jì)算。在彈性變形的過程中，忽略其它形式的能量如動(dòng)能、熱能等的損失，認(rèn)為外力功W全部轉(zhuǎn)變成應(yīng)變能V,即

在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性應(yīng)變能，簡(jiǎn)稱應(yīng)變能。10.2桿件應(yīng)變能的計(jì)算一、軸向拉伸與壓縮

軸向力F所做的功為桿件的應(yīng)變能為若桿件為等截面直桿且軸向力僅作用于桿兩端時(shí)，有10.2桿件應(yīng)變能的計(jì)算應(yīng)變能為

若桿件為階梯桿或有軸向力作用于桿中間部分時(shí)，應(yīng)變能為若桿件為連續(xù)變截面桿或軸向力沿軸線分布時(shí)，應(yīng)變能為10.2

桿件應(yīng)變能的計(jì)算二、扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)力偶矩所做的功圓軸在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能為10.2桿件應(yīng)變能的計(jì)算若圓軸為階梯軸或扭轉(zhuǎn)力偶矩作用于軸中間部分時(shí)，應(yīng)變能為若圓軸為等直圓軸且扭轉(zhuǎn)力偶矩僅作用于軸兩端時(shí)，應(yīng)變能為

若圓軸為連續(xù)變截面軸或扭轉(zhuǎn)力偶矩沿軸線分布時(shí)，應(yīng)變能為

10.2桿件應(yīng)變能的計(jì)算三、純彎曲彎曲力偶矩Me所做的功梁的應(yīng)變能為若梁為等截面梁時(shí)，有梁的應(yīng)變能為10.2桿件應(yīng)變能的計(jì)算dx微段的彎曲應(yīng)變能為四、橫力彎曲整個(gè)梁的彎曲應(yīng)變能為

10.2桿件應(yīng)變能的計(jì)算切應(yīng)力為故剪切應(yīng)變能密度為梁的剪切應(yīng)變能為10.2桿件應(yīng)變能的計(jì)算引入記號(hào)

k只與梁的橫截面形狀有關(guān)，稱為截面的剪切形狀系數(shù)。矩形截面，；圓形截面，；薄壁圓環(huán)截面k=2。10.2桿件應(yīng)變能的計(jì)算橫力彎曲時(shí)梁的應(yīng)變能為彎曲應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能之和，即對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，剪切應(yīng)變能與彎曲應(yīng)變能相比，一般很小，可以忽略不計(jì)，所以只需計(jì)算彎曲應(yīng)變能。但對(duì)于短梁，應(yīng)考慮剪切應(yīng)變能。

10.2桿件應(yīng)變能的計(jì)算式中，F(xiàn)為廣義力，δ為與廣義力對(duì)應(yīng)的廣義位移。

功及應(yīng)變能可統(tǒng)一寫成對(duì)于非線性彈性問題，應(yīng)變能的計(jì)算公式為10.2桿件應(yīng)變能的計(jì)算例10.1圖示懸臂梁承受集中力與集中力偶矩的作用。試計(jì)算梁的應(yīng)變能。設(shè)彎曲剛度為常數(shù)。xl解：建立圖示坐標(biāo)系，彎矩方程為梁的應(yīng)變能為10.2桿件應(yīng)變能的計(jì)算當(dāng)梁上只作用橫向力F時(shí)，其應(yīng)變能為當(dāng)梁上只作用彎曲力偶矩Me時(shí)，其應(yīng)變能為在產(chǎn)生同種變形的外力作用下彈性體的應(yīng)變能不能由各個(gè)外力單獨(dú)作用下的應(yīng)變能疊加求得。顯然10.2桿件應(yīng)變能的計(jì)算例10.2試求圖示矩形截面簡(jiǎn)支梁的彎曲應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能，并比較之。

解：由于左、右兩段對(duì)稱，所以全梁應(yīng)變能能等于段的兩倍。AC段內(nèi)的剪力和彎矩分別為梁的彎曲應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能分別為

10.2桿件應(yīng)變能的計(jì)算對(duì)于矩形截面梁，再利用，得取μ=0.3，當(dāng)h=0.2l時(shí)，V2

:V1=0.125；當(dāng)h=0.1l

時(shí)，V2:V1=0.0312；當(dāng)h=0.05l時(shí)，V2:V1=0.0078。對(duì)于粗短梁應(yīng)考慮剪切應(yīng)變能，對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁可忽略不計(jì)剪切應(yīng)變能。10.3應(yīng)變能的一般表達(dá)式彈性體(線性或非線性)在變形過程中儲(chǔ)存應(yīng)變能的數(shù)值，只決定于外力和位移的最終值，而與加載的次序無關(guān)。前提：小變形，線彈性各個(gè)外力可以表示為kF1、kF2、…、kFn相應(yīng)的位移可以表示為k1、k2、…、kn10.3應(yīng)變能的一般表達(dá)式外力在此位移增量上做的功分別為

如參數(shù)k有一個(gè)增量dk，位移的相應(yīng)增量分別為1dk、2dk、…、ndk彈性體的應(yīng)變能為線彈性體的應(yīng)變能等于每一外力與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的總和。這一結(jié)論稱為克拉貝依隆(Clapeyron)原理。

10.3應(yīng)變能的一般表達(dá)式組合變形在產(chǎn)生不同種類變形的外力作用下彈性體的應(yīng)變能可由各個(gè)外力單獨(dú)作用下的應(yīng)變能疊加求得。微段內(nèi)的應(yīng)變能為10.3應(yīng)變能的一般表達(dá)式通過積分，即可求出整個(gè)桿件的總應(yīng)變能上式是針對(duì)圓截面桿件。若截面為非圓截面，則將上式中右邊第二項(xiàng)中的Ip應(yīng)改為It。若桿件為細(xì)長(zhǎng)桿件，上式第四項(xiàng)可以略去。10.3應(yīng)變能的一般表達(dá)式例10.3在剛架ABC自由端C處作用集中力F，如圖10.10所示。已知?jiǎng)偧艿目箯潉偠菶I和抗拉壓剛度EA為常量，不計(jì)剪力對(duì)變形的影響，試求剛架的應(yīng)變能，并求C點(diǎn)的鉛垂位移。解：(1)計(jì)算剛架的應(yīng)變能剛架的應(yīng)變能由桿件AB和桿件BC應(yīng)變能組成，即10.3應(yīng)變能的一般表達(dá)式選擇如示坐標(biāo)系，則AB桿的軸力方程和彎矩方程分別為BC桿的軸力方程和彎矩方程分別為剛架的總應(yīng)變能為

10.3應(yīng)變能的一般表達(dá)式(2)計(jì)算C點(diǎn)的鉛垂位移根據(jù)能量原理，得10.3應(yīng)變能的一般表達(dá)式(3)

討論C點(diǎn)的鉛垂位移由兩部分組成：一部分是彎曲引起的位移yC1和軸力引起的位移yC2，它們分別為對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿件，慣性半徑i遠(yuǎn)小于桿件的長(zhǎng)度l。通常忽略剛架類結(jié)構(gòu)中軸力和剪力對(duì)位移的影響。10.4互等定理一、功的互等定理(1)先加F1再加F2，梁內(nèi)的應(yīng)變能(2)先加F2再加F1，梁內(nèi)的應(yīng)變能10.4

互等定理上式表明，力F1在由力F2引起的位移12上所作的功等于力F2在由力F1引起的位移21上所作的功。第一組力在第二組力引起的位移上做的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上做的功。這就是功的互等定理。10.4互等定理二、位移互等定理在中，令F1＝F2

，則有力F2引起力F1(大小與F2相等)作用點(diǎn)沿F1方向的位移12，等于力F1引起力F2作用點(diǎn)沿單位力F2方向的位移21。這就是位移互等定理。

10.4互等定理例10.4如圖a所示連續(xù)梁AD。當(dāng)支座A下沉?xí)r，引起D端的撓度為(如圖b)。若無支座下沉，當(dāng)D端向下作用集中力F時(shí)(如圖c)，求支座Ａ的反力。解:把圖b所示受力看作第一組力，把圖c所示受力看作第二組力，則第一組力在第二組力引起的位移上所做的功為零，而第二組力在第一組力引起的位移上做的功為RA+F。故有10.5

卡式定理任一外力Fi有一個(gè)增量dFi，則應(yīng)變能V的相應(yīng)增量為梁的應(yīng)變能為當(dāng)先作用dFi，在作用F1、F2、…、Fi…、Fn彈性體的應(yīng)變能為10.5卡式定理略去二階微量，得應(yīng)變能對(duì)任一外力Fi的偏導(dǎo)數(shù)，等于Fi作用點(diǎn)Fi方向的位移，這就是卡氏第二定理，通常稱為卡氏定理。注:卡氏定理只適用于線彈性結(jié)構(gòu)。

10.5卡式定理

下面把卡氏定理應(yīng)用于幾種特殊情況。梁彎曲桁架桿件受拉壓圓軸扭轉(zhuǎn)組合變形10.5卡式定理

例10.5圖示外伸梁的抗彎剛度EI已知，求外伸端C的撓度wC和左端截面A的轉(zhuǎn)角θA。解：建立圖示坐標(biāo)系在BC段內(nèi)在AB段內(nèi)10.5卡式定理根據(jù)卡氏定理，外伸端C的撓度Wc為

10.5卡式定理這里wC和θA皆為正號(hào)，表示它們的方向分別與F和MC相同。左端截面A的轉(zhuǎn)角θA為10.5卡式定理例10.6

試求圖示平面剛架截面A的轉(zhuǎn)角。EI為已知解：設(shè)想在截面A上增加一個(gè)力偶矩ma(如圖b)，ma稱為附加力偶矩。此時(shí)，在q和ma共同作用下的支座反力為(a)DBC(b)BCD10.5卡式定理在AB段內(nèi)

在DA段內(nèi)在CB段內(nèi)10.5卡式定理根據(jù)卡氏定理，截面的轉(zhuǎn)角為

在上式中令ma=0，就可以求得僅在q作用下截面A的轉(zhuǎn)角為10.6虛功原理單位載荷法

一、虛功原理虛位移虛位移表示是其它因素引起的位移，以區(qū)別桿件原有外力引起的位移。(2)虛功桿件上的力在虛位移上做的功稱為虛功。虛位移應(yīng)滿足邊界條件和連續(xù)光滑條件，并符合小變形要求。10.6虛功原理單位載荷法外力在虛位移上做的總虛功為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，…表示作用于桿件上的廣義集中外力。v1*，v2*，v3*，…表示集中外力作用點(diǎn)處沿其方向的虛位移。q(x)，…表示作用于桿件上的廣義分布外力。v*(x)，…表示分布外力作用處沿其方向的虛位移。

10.6虛功原理單位載荷法在微段的虛變形過程中，內(nèi)力做的虛功為d(l)*為微段兩端截面的相對(duì)軸向位移。d*為微段兩端截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。d*為微段兩端截面的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。dφ*為微段兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。10.6虛功原理單位載荷法總虛功為故有在虛位移中外力做的虛功等于內(nèi)力在相應(yīng)虛變形上做的虛功。這就是虛功原理。虛功原理既適用于線彈性材料，也適用于非線性彈性材料。10.6虛功原理單位載荷法例10.7

試求圖示桁架各桿的內(nèi)力。設(shè)各桿的橫截面面積、材料相同，且是線彈性的。解：由于結(jié)構(gòu)和載荷均對(duì)稱，A點(diǎn)只有鉛垂位移v。由此引起桿1和桿2(桿3)的伸長(zhǎng)分別為由物理關(guān)系可以求出三桿的內(nèi)力分別為10.6虛功原理單位載荷法設(shè)節(jié)點(diǎn)A有一虛位移v。外力在此虛位移上做的虛功為Fv。桿1的內(nèi)力虛功為

桿2和桿3的內(nèi)力虛功均為整個(gè)桿件的內(nèi)力虛功為由虛功原理得10.6虛功原理單位載荷法10.6虛功原理單位載荷法二、單位載荷法求剛架A點(diǎn)沿某一方向aa的位移為。把剛架在原有外力作用下的位移(圖a)作為虛位移。由虛功原理在單位力作用下，剛架的軸力、彎矩和剪力分別為

10.6虛功原理單位載荷法桿件軸向拉伸或壓縮桿件的彎曲桿件扭轉(zhuǎn)10.6虛功原理單位載荷法例10.8圖a所示集中力作用于簡(jiǎn)支梁，梁跨度中點(diǎn)，材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為。式中C為常量，σ和ε皆取絕對(duì)值。求集中力F作用點(diǎn)D的鉛垂位移。解：彎曲變形時(shí)，梁內(nèi)離中性層為y處的應(yīng)變?yōu)橛蓱?yīng)力-應(yīng)變關(guān)系得10.6虛功原理單位載荷法引入記號(hào)橫截面上彎矩為式中

10.6虛功原理單位載荷法故有在D點(diǎn)作用鉛垂向下的單位力(圖b)，其彎矩為D的鉛垂位移為10.7莫爾定理若材料是線彈性的，則桿件的彎曲、拉伸(或壓縮)和扭轉(zhuǎn)變形分別為單位載荷法相應(yīng)的位移計(jì)算公式可以寫為彎曲扭轉(zhuǎn)桁架10.7莫爾定理對(duì)于組合變形：用上面公式求解位移的方法稱為莫爾積分法或稱為莫爾定理。若求結(jié)構(gòu)上兩點(diǎn)的相對(duì)線位移，則在這兩點(diǎn)上沿它們的連線作用一對(duì)方向相反的單位力，然后利用莫爾定理計(jì)算，就可以求得相對(duì)位移。若求結(jié)構(gòu)上兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角，則在這兩個(gè)截面上作用一對(duì)方向相反的單位力偶矩，然后利用莫爾定理計(jì)算，就可以求得相對(duì)轉(zhuǎn)角。10.7莫爾定理例10.9圖a所示剛架的自由端A作用集中載荷F。剛架各段的抗彎剛度為EI。若不計(jì)軸力和剪力對(duì)位移的影響，試計(jì)算A點(diǎn)的垂直位移yA及截面B的轉(zhuǎn)角θB。解：(1)計(jì)算A點(diǎn)的垂直位移yA取坐標(biāo)如圖所示，在A點(diǎn)作用鉛垂向下的單位力(圖b)。則有10.7莫爾定理

10.7莫爾定理如考慮軸力對(duì)點(diǎn)位移的影響，在上式中應(yīng)再增加一項(xiàng)為了便于比較，設(shè)a=l

，則A點(diǎn)因彎矩引起的垂直位移為對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿件，這個(gè)比值是一個(gè)很小的數(shù)值，例如當(dāng)截面是邊長(zhǎng)為b的正方形，且l=10b時(shí)，以上比值變?yōu)閥A1和yA之比是10.7莫爾定理(2)計(jì)算截面B的轉(zhuǎn)角θB顯然，和yA比較，yA1可以省略。式中負(fù)號(hào)表示θB的方向與所加單位力偶矩的方向相反。在截面B上作用一個(gè)單位力偶矩(圖c)，則有對(duì)于等直桿，EI=const，可以提到積分號(hào)外，故只需計(jì)算積分在和兩個(gè)函數(shù)中，只要有一個(gè)是線性的，以上積分就可簡(jiǎn)化。在應(yīng)用莫爾定理求位移時(shí)，需計(jì)算下列形式的積分10.8計(jì)算莫爾積分圖乘法10.8計(jì)算莫爾積分圖乘法其中：代表圖的面積，xC

代表圖中形心C的橫坐標(biāo)。圖示為某直桿AB的圖和圖。所以所以10.8計(jì)算莫爾積分圖乘法右圖中給出了幾種常用圖形的面積ω及其形心位置的計(jì)算公式。其中拋物線頂點(diǎn)的切線與基線平行或與基線重合。

10.8計(jì)算莫爾積分圖乘法(2)M圖和圖位于同側(cè)時(shí),為正，反之,為負(fù)；注意：(1)圖乘法僅適用于等直截面桿；(3)當(dāng)M圖或由幾段線段組成，則應(yīng)以其轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界，把彎矩圖分成幾段逐段使用圖乘法，然后求其代數(shù)和；(4)當(dāng)桿件上M圖比較復(fù)雜，不方便應(yīng)用圖乘法時(shí)，