離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程(第二講2)

離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程第二講1隨機(jī)變量由概率論可知，我們可以用一個(gè)隨機(jī)變量X來(lái)描述自然界中的隨機(jī)事件，若X的取值是連續(xù)的，則X為連續(xù)型隨機(jī)變量，若X的取值是離散的，則X為離散型隨機(jī)變量。2隨機(jī)變量的特征描述概率分布函數(shù)概率密度均值均方值（二階原點(diǎn)矩）方差（二階中心矩）協(xié)方差3隨機(jī)變量舉例－均勻分布均勻分布的隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果“可能性相等”情況下的理想模型，其概率密度p(x)和概率分布函數(shù)P(x)為：其均值和方差為。4隨機(jī)變量舉例－高斯分布正態(tài)分布的隨機(jī)變量也稱高斯隨機(jī)變量，是一個(gè)在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛和方便的模型。其概率密度為：顯然，高斯分布的隨機(jī)變量概率密度函數(shù)完全由它的平均值和方差來(lái)描述，它可用表示。5隨機(jī)信號(hào)（隨機(jī)過(guò)程）在相同條件下獨(dú)立地進(jìn)行多次觀察時(shí)，各次觀測(cè)到的結(jié)果并不相同。為了全面了解輸出電壓的噪聲特征，從概念上講，應(yīng)該在相同的條件下，獨(dú)立地作盡可能多次的觀察，這就如同在同一時(shí)刻，對(duì)盡可能多的同樣的放大器各作一次觀察。這樣，我們每一次觀察都可以得到一個(gè)記錄

如果把對(duì)放大器輸出電壓的觀察看作一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，那么，每一次記錄就是該隨機(jī)試驗(yàn)的一次實(shí)現(xiàn)，相應(yīng)的結(jié)果就是一個(gè)樣本函數(shù)。所有樣本函數(shù)的集合就構(gòu)成了輸出電壓可能經(jīng)歷的整個(gè)過(guò)程，該集合就是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，也即隨機(jī)信號(hào)，記為X(t)。

6隨機(jī)信號(hào)與隨機(jī)變量對(duì)于一個(gè)特定的時(shí)刻，例如，是一個(gè)隨機(jī)變量，相當(dāng)于在某一時(shí)刻同時(shí)測(cè)量無(wú)限多個(gè)相同放大器的輸出。當(dāng)時(shí)，也是一個(gè)隨機(jī)變量。因此，一個(gè)隨機(jī)信號(hào)X(t)是依賴于時(shí)間t的隨機(jī)變量。這樣，就可以用描述隨機(jī)變量的方法來(lái)描述隨機(jī)信號(hào)。對(duì)下圖中的隨機(jī)信號(hào)X(t)離散化，得到離散隨機(jī)信號(hào)，簡(jiǎn)記為。對(duì)X(n)的每次實(shí)現(xiàn)記為，顯然，對(duì)某一固定時(shí)刻，如時(shí)，構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)變量。若隨i的變化仍取連續(xù)值，那么是連續(xù)型隨機(jī)變量，否則，為離散型隨機(jī)變量。

7隨機(jī)信號(hào)的特征描述均值方差均方值自相關(guān)函數(shù)

自協(xié)方差函數(shù)

互相關(guān)函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)上面所述各式右邊的求均值運(yùn)算體現(xiàn)了隨機(jī)信號(hào)的“集總平均”，該集總平均是由X(n)的無(wú)窮多樣本在相應(yīng)時(shí)刻對(duì)應(yīng)相加或乘加來(lái)實(shí)現(xiàn)的。

9平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：指一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化，即在到時(shí)間段內(nèi)的噪聲統(tǒng)計(jì)特性與到時(shí)間段內(nèi)的噪聲統(tǒng)計(jì)特性相同；隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性與起始時(shí)間無(wú)關(guān)，只取決于時(shí)間差。離散平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)：一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)X(n)，如果其均值與時(shí)間n無(wú)關(guān)，其自相關(guān)函數(shù)和、的選取點(diǎn)無(wú)關(guān)，而僅和、之差有關(guān)，那么，稱X(n)為寬平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)，或廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。10平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的特征描述均值方差均方自相關(guān)函數(shù)

11平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的特征描述自協(xié)方差兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(n)、Y(n)的互相關(guān)函數(shù)及互協(xié)方差函數(shù)可分別變?yōu)?/p>

12平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的各態(tài)遍歷性（各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程）一個(gè)隨機(jī)信號(hào)X(n)，其均值、方差、均方及自相關(guān)函數(shù)等，均是建立在集總平均的意義上，如自相關(guān)函數(shù)是對(duì)樣本（隨機(jī)變量）求和，不是對(duì)時(shí)間（隨機(jī)信號(hào)）13各態(tài)遍歷性含義對(duì)一平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(n)，如果它的所有樣本函數(shù)在某一固定時(shí)刻的一階、二階統(tǒng)計(jì)特性和單一樣本函數(shù)在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性一致，我們稱X(n)為各態(tài)遍歷信號(hào)。其意義就是，單一樣本函數(shù)隨時(shí)間變化的過(guò)程可以包括該信號(hào)所有樣本函數(shù)的取值經(jīng)歷。也可理解為，用一個(gè)樣本作出的時(shí)間統(tǒng)計(jì)特性和用全體樣本作出的集總統(tǒng)計(jì)特性是相同的；或者說(shuō)，只要測(cè)一次樣本就可以代表無(wú)限次樣本的隨機(jī)特征了。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，很多實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)過(guò)程都可以近似看成這一類。14各態(tài)遍歷性隨機(jī)信號(hào)數(shù)字特征設(shè)x(n)是各態(tài)遍歷信號(hào)X(n)的一個(gè)樣本函數(shù)，對(duì)X(n)的數(shù)字特征可以重新定義如下：上面兩式右邊的計(jì)算都是使用單一樣本函數(shù)x(n)來(lái)求出和，因此稱為“時(shí)間平均”。各態(tài)遍歷信號(hào)，其一階、二階的集總平均等于相應(yīng)的時(shí)間平均