【經(jīng)典專題】空間幾何的外接球和內切球教師版

專（）—間何的接和切一典探類一墻模（條兩垂，找心位即求球半）P

P

Aa

b

C

b

B

aB圖

2

POc

C

A

B

3

4方：三條兩兩垂直的線段，直接用公式

2

，即

2

a2

，求出

.例：知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為

4

，體積為

16

，則這個球的表面積是（）.A．

16

B．

20

C．

24

D．

32解：

Va，，2224

，

，選C.變1若三棱錐的個側面兩垂直，且側棱長均為則其外接球的表面積是.解：

，S

.變2在正三棱錐

S

中，

、

分別是棱

SC

的中點，且

AM

,若側棱

SA3

,則正三棱錐

S

外接球的表面積是.解：引理：正棱的棱垂直如圖（3）-1，,BC的點D,，接,CDAE,交H，接，H是底面正三角1

形的心，平面ABC，SH

，AC

，

ADBD

，CDAB

，

平面

SCD

，AB

，同理：

，

，即正三棱錐的對棱互垂直，本題圖如圖（3）-2AM，SB//MN，SB，AC面SAC，，SBSC，SA，，SA

平面

，

，故三棱錐

ABC

的三棱條側棱兩兩互相垂直，(2)

(2

(2

4R

2

三棱錐S外接的表面積是36

SMA

C

H(3)題-1

E

B

N(3)題2變3在四面SABC中，平面ABC，BAC120ACAB接球的表面積為（）.

則該四面體的外A

1040D.3

解：在

ABC

中，

2ABABcos120

，BC，ABC的接球直徑為

r

BC73

，(2)

r)

740)，，選D.33變4如三棱錐的三個側兩兩垂直，它們的面積分別為是.

6、、，么它的外接球的表面積解：三條側棱兩兩生直，設三條側棱長分別為

a,c

（

aR

），則12

，

，

，

，

c

，

2

，

.

ac2

PA

CB變5已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長1幾何體外接球的體積為.

的等腰直角三角形和邊長為1

的正方形，則該解：

(22

，

R2

3，R

433V3

OC類二垂模（條線直一平）

A

OB

D模1如圖，PA面.解題步驟：

5第一步：將

ABC

畫在小圓面上，

A

為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑

AD

，連接

PD

，則

PD

必過球心

；第二步：為ABC的心，所以面ABC，出小圓的半徑ODr1

（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得

acrsinsinBsinC

），

1OOPA2

；rrOO第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①OO②.

(2

2

2

r)

2

R

PA2

(2r

；模2如圖，8的影是的外心三錐P的條側棱相等三棱錐PABC的底面ABC圓錐的底上，頂點P點也圓錐的頂.

PO

C

CAO

B

D

B圖

7-13

PO

O

C

O

A

O

B圖P

圖8A

AB

O

C

B

O

CDO

O圖P

圖

D圖-3解題步驟：4

第一步：確定球心的置，取ABC的心，PO,1

三點共線；第二步：先算出小圓

O

的半徑

AO1

，再算出棱錐的高

PO1

（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：

OA

2OA2h)1

，解出

.方二小直徑參與構造大.例、個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（A．

B．

C．

16

D．以上都不對解：選C，

(3)

,

3RR

2

2

,

4R

,

23

,

S

163

.類三切模（個面相直模1如圖9-1，面

平面

，且

（即

為小圓的直徑）第一步：易知球心

O

必是

的外心，即

的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑

r

；第二步：在中，可據(jù)正弦定理

ac2R，出.sinsinBsinC

PO

O

9-1

圖-2模2如圖9-2，面PAC面，AB（即為小圓的直徑.

2CO2221

AC2R

.5

模3：圖9-3面

平面

且

（即

為小圓的直徑且

P

的射影是

ABC的外心三錐PABC

的三條側棱相等棱P

的底面

ABC

在圓錐的底上，頂點

P

點也是圓錐的頂點.解題步驟：第一步：確定球心

O

的位置，取

ABC

的外心

O

，則

O,1

三點共線；第二步：先算出小圓的半徑r

，再算出棱錐的高

PO1

（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：

OA

2OA2h)1

，解出R.PP

圖9-3

圖9-4模4如圖9-4，面

平面

，且

（即

為小圓的直徑），且

AC

，則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①

(2

2r)2

PA

(2r

.②

r

OO

r

OO

.例、正棱的頂點都在同一球面，若該棱錐的高為，面邊長為為.

3

，則該球的表面積解：（1）由正弦定理或找球心可得

2R

49

，變1、四棱錐

SABCD

的底面邊長和各側棱長都為

，各頂點都在同一個球面上，則此球的體積為.解法球的位置知

r

hr

球在正方形的中心

處R

43

方法二：大圓是軸截面所的外接圓大圓是4，V3

的外接圓此特殊，

Rt

的斜邊是球半徑，變2、三棱錐

PABC

中，

PAPC

,側

PA

與底面

所成的角為

，則該三棱錐外接球的體積為（）.6

A．

B.

4C.4D.解：選D，圓錐

,B,C在r

32

的圓上，

.變3已知三棱錐

的所有頂點都在球

O

的求面上,

ABC

是邊長為

1

的正三角形

為球

O

的直徑,且

，則此棱錐的體積為（）.A．

2322B．C．．62解：

1

3232)2，h，V3343

，選A.類四漢模（棱的接、柱外球

1

2

1

1

A

1

O

2

C

1

B

1

OCO1

A

O

1

B圖

圖0-2

O

O

O

圖0-3模：圖10-1，圖10-2，圖10-3,直棱內于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）7

1222柱2第一步：確定球心的置，O是ABC外心，則OO面；1222柱2第二步：算出小圓

O

的半徑

AO1

，

OO1

1h2

（

1

也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：

OA

2

O1

2

O1

2

R

2

h)2

2

2

r

，解出R.例4、個正六棱柱的底面上正六邊形，其側棱垂直于底面，知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為

，底面周長為，這個球的體積為.解：設正六邊形邊長為

，正六棱柱的高為

h

，底面外接圓的關徑為r

，則

，底面積為

3)，h，h3，R))88

2

，

，球的體積為

3

.變1、三棱柱

ABC11

的各頂點都在同一球面上，若

ABAA1

,

BAC120

，則此球的表面積等于.解：

BC2

，

r

3sin120

，

r

，

，

20

.變2已知所在的平面與矩形ABCD所的平面互相垂直EAEBAD

，則多面體

的外接球的表面積為.解：折疊型，法一：

的外接圓半徑為

r

3

，

1

，

；法二：

O1

3，rD，2

，

，

.E

A

DM

B

C變3、直三棱柱

中，AB4,ACA11

3

,1

則直三棱柱

11

的外接球的表面積為.8

211211解：

BC

12

，

BC27

，

47r3

，r

7

，R2

28401601)，233

.類五折模題：個等角或腰角拼一，菱折疊如圖11)第一步：先畫出如圖所示的圖形，將BCD在小圓上，找出BCD和

BD的心H和H；第二步：過

H

和

H

分別作平面

和平面

A

的垂線，兩垂線的交點即為球心

O

，連接

,OC

；第三步：解

OEH

1

，算出

OH

，在

OCH

1

中，勾股定理：

OH21

.A'A

H

2B

OH

1

C

O2H

OO1圖1

例、棱錐

PABC

中，平面

PAC

平面

ABC

，△

PAC

eq\o\ac(△,和)

ABC

均為邊長為

的正三角形，則三棱錐PABC外球的半徑為.解：

2rr1

2460

，

rr12

2，O33

，

2

OH2

2

115，R333

；法：

O2

11，OH33

，

AH

，

R2H2O21

5，33

.類六對相模（形長體模三棱（即四體已三對分相求接半（CD，）第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱；第二步設長方體的長寬高分別為

a,cADx，ABCDyACBD

，方程組，9

cB．C．D．22cB．C．D．2y222

2

2

2

2

2

22

2

.補：

A

163

.第三步：根據(jù)墻角模型，

2

x

y

，

2

y8

，

xy22

，求出

，例如，正四面體的外接球半徑可用此Ay

y

c

CB

例棱長為

2

(1)題圖的正四面體的四個頂點都在同一個球面上該球球心的一個截面如圖中角(正四面體的截面)的面積是.解：截面為PCO，積是；

O

COAB

O

B圖變1、個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（）.A．

33441210

解：高

R

，底面外接圓的半徑為R，徑為R

，設底面邊長為a，則R

asin60

，

，

34

，三棱錐的體積為

3VSh4

.變2在三棱錐ABCD，AB2,AC4,表面積為.

則三棱錐接球的解：如圖，補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設長寬高分別為

a,c則a

2

，b

2

2

，

c

2

2

2(

2

2

2

29

，

2(a

2

2

2

29

，a22

292929，4，2

.變3如圖所示三錐ABCD，其中ABCDACBDBC7,的表面積為.

則該三棱錐外接球解：同上，設補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設長寬高分別為

a,,c

，a

2

2

2

49110，a

2

2

2

55，4

2

，S

.變4正四面體的條棱長都為，該正面體外接球的體積為.解：這是特殊情況，但也是對棱相等的模式，放入長方體中，343R，V232

2R

3

，BCOA

類七兩角角拼在起(邊同也看作形對線起得棱)型模：

ACB

，求三棱錐P外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點O連接OC，OBOP

12

，O三棱錐外球球心，然后在OCP中出11

半徑），當看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關，只要不是平角球徑都為定值例、在矩形ABCD中，BC，AC將形ABCD折一個直二面面體的接球的體積為（）.

ACD

，則四A．

．C．9

D．

解：

R，R

5125125，2

，選C.變、矩形中AB，BC沿BD將形折接AC所得三棱錐的外接球的表面積為.

ABCD解：BD的中點是球心，13，S

.類八錐的切問模1如圖14，棱錐PABC上正三棱錐，求其外接球的半.第一步：先現(xiàn)出內切球的截面圖，

H

分別是兩個三角形的外心；第二步：求

DH

13

，

PO

，

PD

是側面

ABP

的高；第三步：由POE相于PDH，建立等式：

OEDH

，解出r.

P

O

G

O

H4

H5

F

模2如圖15，棱錐上四棱錐，求其外接球的半.第一步：先現(xiàn)出內切球的截面圖，

P,O,H

三點共線；第二步：求

FH

12

BC

，

PO

，

PF

是側面

的高；第三步：由相似于PFH，立等式：

OGPOHF

，解出模3三棱錐ABC任意三棱錐，求其的內切球半.方法：等體積法，即內切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和相.第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；第二步：設內切球的半徑為r，立等式：

VPABC

OABC

PAB

PBC

12

PABPACPBCABCPABPACPABPACPBCABCPABPACPABC

111SS()333

.第三步：解出

r

PABC