隨機過程(31)第3章第1節(jié)西電宋月

第三章跳躍隨機過程本章主要內(nèi)容泊松過程的定義及基本性質(zhì)泊松過程的0-1律復(fù)合泊松過程過程泊松過程擴展實例1.電話交換臺的呼叫次數(shù)2.放射性裂變的質(zhì)點數(shù)3.發(fā)生故障而不能工作的機器數(shù)4.通過交通路口的車輛數(shù)5.來到某服務(wù)窗口的顧客數(shù)………..以上實例中的呼叫,質(zhì)點,機器,車輛,顧客等也統(tǒng)一叫做隨機點若用N(t)表示[0,t]內(nèi)到達(dá)的隨機點數(shù)，顯然這種隨機過程稱為計數(shù)過程即實隨機過程{N(t),t≥0}是計數(shù)過程，如果N(t)表示直到t時刻為止發(fā)生的某隨機事件數(shù)．特點①②N(t)是非負(fù)整數(shù)③④表示時間間隔t-s內(nèi)發(fā)生的隨機事件數(shù)．計數(shù)過程的另一種表示計數(shù)過程的軌道性質(zhì)(a)零初值性，狀態(tài)空間是0及自然數(shù)(b)樣本軌道是單調(diào)不減，右連續(xù)(c)軌道間斷點跳躍的高度永遠(yuǎn)是1相互獨立的隨機變量序列

N(t)表示[0，t]時間內(nèi)到達(dá)的隨機點數(shù),

則N(t)

(Nt)是一個隨機變量．分析這些隨機過程的公同特點一.Poisson過程定義若計數(shù)過程{N(t),t≥0}

滿足是平穩(wěn)的獨立增量過程服從參數(shù)是λt

的Poisson分布,即則稱計數(shù)過程{N(t),t≥0}是參數(shù)(強度,比率)為λ

的Poisson過程.定理設(shè){N(t),t≥0}

是參數(shù)為λ

的Poisson

過程，則證明1)由定義,顯然有又對s≥0,t≥0,不妨設(shè)s≤t,則有是獨立增量平穩(wěn)性由定義計數(shù)過程的到達(dá)時間與到達(dá)時間間隔分布設(shè){Nc(t),t≥0}是計數(shù)過程，即Nc(t)表示時間區(qū)間[0,t)內(nèi)到達(dá)的隨機點數(shù).到達(dá)時間(序列)表示第i個隨機點的到達(dá)時刻,則稱為計數(shù)過程的到達(dá)時間序列.到達(dá)時間間隔(序列)它表示第n-1個隨機點與第n個隨機點的到達(dá)時間間隔,則稱為Poisson過程的到達(dá)時間間隔(序列)顯然有給出上述定義以后，我們自然需要回答下列問題(1):計數(shù)過程與泊松過程的關(guān)系，(2):關(guān)于Poisson過程中的這兩個序列的概率分布引理(到達(dá)時間序列分布)設(shè){Nc(t),t≥0}是計數(shù)過程,其到達(dá)時間間隔相互獨立且同服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則到達(dá)時間分布服從Γ分布,密度為證明的分布函數(shù)的特征函數(shù)為則的特征函數(shù)為的密度函數(shù)為故定理4.1.1

如果計數(shù)過程Nc(t)的到達(dá)時間間隔是獨立同分布于參數(shù)為的指數(shù)分布，則計數(shù)過程Nc(t)一定是一個參數(shù)為的泊松過程.分析：要證明該定理只需要證明泊松定義中的第二第三條滿足即可.證明：由引例知故其概率密度函數(shù)為于是其中以上證明了Nc(t)服從參數(shù)為λ的泊松分布，下證平穩(wěn)的獨立增量性.即對于任意的0≤s<t,增量

Nc(t)-Nc(s)與Nc(u)(u≤s)獨立且

Nc(t)-Nc(s)～π(λ(t-s))

注意到定義則是一個從s開始的計數(shù)過程因此在的條件下，的到達(dá)時間間隔獨立同分布于參數(shù)為λ的指數(shù)分布，于是獨立性得證，進而平穩(wěn)性得證.定理

(到達(dá)時間間隔分布)設(shè){N(t),t≥0}

是參數(shù)為λ

的Poisson過程，是其到達(dá)時間間隔序列，則是相互獨立同服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布．證明獨立性由于poisson過程是平穩(wěn)的獨立增量過程所以相互獨立.下證同分布到達(dá)時間間隔的獨立性平穩(wěn)性

的獨立性平穩(wěn)性得證獨立性也可以證明如下以下證明相互獨立因此二維隨機變量（T1，T2）的聯(lián)合密度函數(shù)為由于的概率比密度函數(shù)為于是的概率比密度函數(shù)為定理(到達(dá)時間序列分布)設(shè){N(t),t≥0}是參數(shù)為λ的Poisson過程,則其到達(dá)時間服從Γ分布,密度為證明的分布函數(shù)第n個隨機點的到達(dá)時刻再求導(dǎo)數(shù)所以到達(dá)時間序列的密度函數(shù)為本題目還可以用特征函數(shù)證明.例1：假定某天文臺觀察到的流星流是一泊松過程，據(jù)以往的資料統(tǒng)計為每小時平均觀察到3顆流星.試求(1)在上午8點到12點期間，該天文臺沒有觀察到流星的概率；(2)下午(下午12點以后)該天文臺觀察到第一顆流星的時間的分布函數(shù).例2：設(shè)某電話總機在t分鐘接到的電話呼叫數(shù)N(t)是具有速率為λ的泊松過程，試求(1)3分鐘接到5次呼叫的概率；(2)已知3分鐘內(nèi)接受到5次呼叫，且第5次呼叫在第3分鐘內(nèi)到來的概率.例3.同一概率空間下的獨立泊松過程的疊加也是泊松過程分析：要證明隨機過程是泊松過程，只能用定義證明，零初值性和獨立增量性比較容易，只需要證明平穩(wěn)增量性即可.例4

某學(xué)生要去A教室上數(shù)學(xué)課，現(xiàn)有兩個入口B和C可以進入A教室，設(shè)在時刻t>0,從B口進入A教室的學(xué)生數(shù)為NB(t),從C口進入A教室的學(xué)生數(shù)為NC(t)，假設(shè)NB(t)和NC(t)是兩個分別服從參數(shù)為和的獨立的泊松過程。試討論下面三個實際問題：問題1在一個固定的3分鐘內(nèi)沒有學(xué)生進入A教室的概率有多大？問題2學(xué)生到達(dá)A教室的時間間隔的均值是多大？問題3已知一個學(xué)生進入了A教室，那么他（她）是從C口進入的概率有多大？例5：有紅綠藍(lán)三種顏色的汽車，分別以強度為λR,λG,λB,的泊松流到達(dá)某個路口，設(shè)它們相互獨立.把汽車合并成單個輸出過程（假設(shè)汽車沒有長度，沒有延時）.(1)求兩輛綠色汽車到達(dá)的時間間隔的概率密度函數(shù).(2)求兩輛汽車之間的時間間隔的概率密度函數(shù).(3)求在t0觀察到一輛紅色汽車，下一輛將是紅色、藍(lán)色、非紅的概率.(4)求在t0觀察到一輛紅色汽車，下三輛汽車是紅色，然后又是一輛非紅色汽車將到達(dá)的概率.解(1)兩輛紅色汽車到達(dá)的時間間隔TG的概率密度函數(shù)為(2)由于獨立的泊松過程之和仍是泊松過程，且其強度為λC=λR+λG+λB,設(shè)TC為兩輛汽車到達(dá)的時間間