清華大學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)第章位移法

第八章位移法§8-1位移法的基本概念§8-2等截面直桿的剛度方程§8-3無(wú)側(cè)移剛架和有側(cè)移剛架的計(jì)算§8-4位移法的基本體系§8-5對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算2§8-1位移法的基本概念一、關(guān)于位移法的簡(jiǎn)例只要求出結(jié)點(diǎn)B位移，各桿伸長(zhǎng)變形即可求出。然后進(jìn)一步可以求出桿件內(nèi)力第一步，分析單桿（剛度方程）3第二步，組裝結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)條件：節(jié)點(diǎn)平衡條件：即于是得基本未知量求出后，每根桿件的位移和軸力可求出。4上述方法既可用于超靜定結(jié)構(gòu)（n>3），又可用于靜定結(jié)構(gòu)（n=2）。位移法要點(diǎn)如下：基本未知量是結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移基本方程是平衡方程建立基本方程的過(guò)程分為兩步：a.離散結(jié)構(gòu)，進(jìn)行桿件分析，得出桿件的剛度方程；b.組裝結(jié)構(gòu)，得到基本方程。桿件分析是結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)。（剛度法）5二．位移法計(jì)算剛架基本思路分別分析桿AB和AC.相對(duì)于桿AB和AC,A點(diǎn)分別視為固定支座.桿AB和AC分別受載荷和支座位移作用.基本未知量取為A點(diǎn)水平線位移和轉(zhuǎn)角.6結(jié)點(diǎn)位移是處于關(guān)鍵地位的未知量?；舅悸罚菏紫劝褎偧懿鸪蓷U件，進(jìn)行桿件分析——桿件在已知端點(diǎn)位移和已知荷載作用下的計(jì)算；其次把桿件組合成剛架，利用平衡條件，建立位移法基本方程，借以求出基本未知量。7§8-2等截面直桿的剛度方程一、符號(hào)規(guī)則1．桿端彎矩

規(guī)定順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。桿端彎矩的雙重身份：1）對(duì)桿件隔離體，桿端彎矩是外力偶，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。2）若把桿件裝配成結(jié)構(gòu)，桿端彎矩又成為內(nèi)力，彎矩圖仍畫在受拉邊。MBAMCBABCMBC兩個(gè)問(wèn)題：已知端點(diǎn)位移下求桿端彎矩；已知荷載作用下求固端彎矩。82．結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。

桿件兩端相對(duì)側(cè)移△，其與弦轉(zhuǎn)角β

的正負(fù)號(hào)一致。而β以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。3．桿件兩端相對(duì)側(cè)移BAABABCD()()Fp91.兩端固定梁二、等截面直桿的剛度方程ABEIABEIMABMBAAiBAiBABiMABMBA10由上圖可得：即為:此外，可得桿端剪力為11

以上矩陣為剛度矩陣,系數(shù)稱為剛度系數(shù),該系數(shù)只與截面尺寸和材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù),稱為形常數(shù).以上就是彎曲桿件的剛度方程。為緊湊起見(jiàn)，可寫成矩陣形式122.一端固定、一端輥軸支座的梁

BAEIBAiBAi133.一端固定、一端滑動(dòng)支座的梁BAEIMABMBA144.

等截面直桿只要兩端的桿端位移對(duì)應(yīng)相同，則相應(yīng)的桿端力也相同。

1)BAMABMBABAMABMBA152)BAMABMBABAMABMBA3)BAMABBAMAB161.兩端固定梁三、固端彎矩qABFpAB

單跨超靜定梁在荷載作用下產(chǎn)生的桿端彎矩稱為固端彎矩。固端彎矩以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。172.一端固定、一端輥軸支座的梁ABFpBAq183.一端固定、一端滑動(dòng)支座的梁各種單跨超靜定梁的固端彎矩可查教材附表。ABABFpq19在既有荷載作用，又有端點(diǎn)位移情況下，桿端彎矩為：桿端剪力為：20四、正確判別固端彎矩的正負(fù)號(hào)ABABqqqBABAq21§8-3無(wú)側(cè)移剛架和有側(cè)移剛架的計(jì)算一、無(wú)側(cè)移剛架的位移法求解建立位移法方程有兩種方法：1）直接利用平衡條件建立位移法方程。2）利用位移法基本體系建立位移法方程。22解:取結(jié)點(diǎn)角位移θB作為基本未知量（鉸支座C角位移可不選），由上節(jié)表可求各桿固端彎矩：

故各桿桿端彎矩如下（各桿的線剛度相等）：23取結(jié)點(diǎn)B為隔離體，列出力矩平衡方程（位移法基本方程）：代入，平衡方程寫為由此可求出基本未知量至此，位移法關(guān)鍵問(wèn)題得到解決。最后可求出各桿桿端彎矩：24組裝原則：1.結(jié)點(diǎn)處各桿變形要協(xié)調(diào)一致，選取基本未知量時(shí)保證結(jié)點(diǎn)處的變形協(xié)調(diào)條件；2.裝配好的結(jié)點(diǎn)滿足平衡條件，由基本方程滿足。25解：令例8-3-1

用位移法求圖示剛架的M圖，各桿EI相同。1.利用平衡條件建立位移法方程ABCDE8kN/miii1）未知量：θB

θD()

()262）列出桿端彎矩表達(dá)式a)

固端彎矩ABCDE8kN/miiiib)

θB

產(chǎn)生桿端彎矩iABCDEiii()c)

θD

產(chǎn)生桿端彎矩iABCDEiii()273）建立位移法方程并求解由結(jié)點(diǎn)B和結(jié)點(diǎn)D的平衡條件可得：12MBDMBABMDBMDCMDED284）作彎矩圖將求得的θB

、θD

代入桿端彎矩表達(dá)式得：M圖(kN.m)ABCDE0.711.7827.0225.2438.761.4211.7329（1）在基本未知量中，要包括結(jié)點(diǎn)線位移；（2）在桿件計(jì)算中，要考慮線位移的影響；（3）在建立平衡方程時(shí)，要增加與結(jié)點(diǎn)線位移對(duì)應(yīng)的平衡方程。1.基本未知量的選取只分析線位移的選?。翰缓雎暂S向變形，則平面剛架每個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)線位移，上圖各有2、3、4個(gè)結(jié)點(diǎn)，故分別有4、6、8個(gè)結(jié)點(diǎn)線位移。二、有側(cè)移剛架的位移法求解30引入假設(shè)：(1).忽略軸力產(chǎn)生的軸向變形；(2).結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角和各桿弦轉(zhuǎn)角都很微小。則盡管桿件發(fā)生彎曲變形，但桿件兩端結(jié)點(diǎn)之間的距離仍保持不變。31因不考慮各桿長(zhǎng)度的改變，還可以用幾何構(gòu)造分析的方法確定結(jié)點(diǎn)的獨(dú)立線位移的個(gè)數(shù)。把所有剛結(jié)點(diǎn)（包括固定支座）改為鉸結(jié)點(diǎn)，則此鉸結(jié)體系的自由度數(shù)就是原結(jié)構(gòu)的獨(dú)立節(jié)點(diǎn)線位移的數(shù)目。（為了使此鉸結(jié)體系成為幾何不變而需添加的鏈桿數(shù)）322．基本方程的建立基本未知量分為剛結(jié)點(diǎn)角位移和獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移兩類，與此對(duì)應(yīng)，基本方程也分為兩類。如圖，基本未知量為剛結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)角和柱頂?shù)乃轿灰啤?3分析各桿兩端的位移，可寫出各桿的桿端彎矩如下：34基本未知量中，每一個(gè)轉(zhuǎn)角有一個(gè)相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力矩平衡方程，每一個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移有一個(gè)相應(yīng)的截面平衡方程。平衡方程個(gè)數(shù)與基本未知量個(gè)數(shù)相等，正好求解全部基本未知量。35例8-2，求剛架彎矩圖，忽略橫梁軸向變形。解：（1）基本未知量只有一個(gè)獨(dú)立線位移，本例沒(méi)有剛結(jié)點(diǎn)，沒(méi)有轉(zhuǎn)角基本未知量。（2）各柱的桿端彎矩和剪力各柱線剛度為36由此知桿端彎矩為由每柱的平衡求得桿端剪力為（3）位移法方程取柱頂以上橫梁部分為隔離體，由水平方向平衡條件，得37代入可求得（4）桿端彎矩和剪力（5）根據(jù)桿端彎矩可畫出彎矩圖（6）討論剪力按剛度分配,然后求彎矩381）未知量：2kN/m14kNEEIABCD2EI4EI(i)(i/2)(2i)例8-3-2

用位移法求圖示剛架內(nèi)力圖。解：()()2）列出桿端彎矩表達(dá)式39a）固端彎矩b）θD

產(chǎn)生的桿端彎矩2kN/m14kNEABCDii/22iEABCDii/22i()EABCDii/22i()c）產(chǎn)生的桿端彎矩403）建立位移法方程并求解MDCMDAMDED由結(jié)點(diǎn)D平衡：B2kN/mA14kNECDFQDAMDAMADFQEBMBEDA柱：作CE梁隔離體，求柱剪力。141EB柱2kN/mA14kNECDBFQDAMDAMADFQEBMBECE梁242解方程組①、②，得4）作內(nèi)力圖43EABCD1412216EABCD14383EFNEB=3kN14141433DFNDA=-17kNEABCD17FN=0344§8-4位移法基本體系1．位移法基本體系、基本結(jié)構(gòu)基本未知量統(tǒng)一用表示。（1）位移法的基本體系：在剛結(jié)點(diǎn)B加約束控制B的轉(zhuǎn)角（不控制線位移）；在結(jié)點(diǎn)C加水平支桿控制結(jié)點(diǎn)C的水平位移。（2）基本結(jié)構(gòu)：在結(jié)點(diǎn)B加約束使結(jié)點(diǎn)B不能轉(zhuǎn)動(dòng)；在結(jié)點(diǎn)C加水平支桿使結(jié)點(diǎn)C不能水平移動(dòng)。45（3）基本體系原結(jié)構(gòu)：簡(jiǎn)化計(jì)算，與力法措施相反，效果相同。

2．利用基本體系建立基本方程：（1）基本體系原結(jié)構(gòu)的條件第一步，控制附加約束，使結(jié)點(diǎn)位移全部為0，剛架處于鎖住狀態(tài)，即基本結(jié)構(gòu)。施加荷載，可求出基本結(jié)構(gòu)中內(nèi)力，同時(shí)附加約束產(chǎn)生約束反力（約結(jié)構(gòu)沒(méi)有）；第二步，控制附加約束，使基本結(jié)構(gòu)發(fā)生結(jié)點(diǎn)位移，這時(shí)附加約束中的約束反力將隨之改變。當(dāng)結(jié)點(diǎn)位移與原結(jié)構(gòu)實(shí)際值相等，則附加約束的約束力即完全消失，附加約束將不起作用，基本體系與原結(jié)構(gòu)完全相同。46b.單位位移單獨(dú)作用——相應(yīng)約束力為

基本體系轉(zhuǎn)化為原結(jié)構(gòu)的條件是：基本結(jié)構(gòu)在給定荷載以及給定結(jié)點(diǎn)位移共同作用下，附加約束中產(chǎn)生的總約束力等于零。即為建立位移法基本方程的條件。（2）基本方程，利用疊加原理a.荷載單獨(dú)作用——相應(yīng)約束力為c.單位位移單獨(dú)作用——相應(yīng)約束力為

47疊加得，即為位移法基本方程。3．計(jì)算過(guò)程（1）基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下的計(jì)算先求各桿固端彎矩，作基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下的彎矩圖取結(jié)點(diǎn)B為隔離體，求得“先鎖住后放松”、“先拆后搭”48495051具有n個(gè)基本未知量的問(wèn)題，位移法基本方程為上式也稱為位移法典型方程。稱為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。剛度系數(shù)，對(duì)稱矩陣，主系數(shù)大于0，副系數(shù)52§8-5對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算

結(jié)構(gòu)對(duì)稱是指結(jié)構(gòu)的幾何形狀、支座條件、材料性質(zhì)及各桿剛度EA、EI、GA均對(duì)稱。

利用結(jié)構(gòu)對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算，基本思路是減少位移法的基本未知量。一、奇數(shù)跨剛架

分析與對(duì)稱軸相交截面的位移條件，在根據(jù)對(duì)稱性取半邊結(jié)構(gòu)時(shí)，該截面應(yīng)加上與位移條件相應(yīng)的支座。1.對(duì)稱荷載53

對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱荷載作用下，其內(nèi)力和變形均對(duì)稱。

在取半邊結(jié)構(gòu)時(shí)，B截面加上滑動(dòng)支座，但橫梁線剛度應(yīng)加倍。

與對(duì)稱軸相交截面B的位移條件為:未知量FPFP

Bi2i1i12i2i1BC

FP54

Bii1i2ii1i2i

FP

FPii1i22iBCA未知量

FP552．反對(duì)稱荷載

對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下，其內(nèi)力和變形均反對(duì)稱。

FPi2i1BC未知量FP

FP

B

i2i1i1

i256Bi2i1i1

FP

FPB2i2i1

C未知量

FP57二、偶數(shù)跨剛架偶數(shù)跨剛架不存在與對(duì)稱軸相交的截面。1.對(duì)稱荷載

FP

FPBi2iii2i1

FPBi2i582.反對(duì)稱荷載FPBII1/2I2

將中柱改為跨度為的小跨，則原結(jié)構(gòu)變?yōu)槠鏀?shù)跨。利用奇數(shù)跨結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下的結(jié)論就可以得到圖示簡(jiǎn)化結(jié)果。dlFPFPBIII1I2

I2

dlFPFPBIII1/2I1/2I2

I2

FPBII1/2I2

59例8-4-1

作圖示結(jié)構(gòu)M

圖。三、舉例FPi0i0i1i12i1解：

i0i0i1