2021-2022學年上海市曹楊高一年級下冊學期期中數學試題【含答案】

2021-2022學年上海市曹楊第二中學高一下學期期中數學試題一、填空題1．函數的最小正周期為_____．【答案】【分析】直接利用三角函數的周期公式，即可求解.【詳解】解：由正弦函數的周期公式得，所以函數的最小正周期為，故答案為：2．復數（其中為虛數單位）的虛部為____．【答案】【分析】由復數的概念可直接得到虛部.【詳解】由復數的概念可知復數的虛部為.故答案為:.3．函數的定義域為___________________【答案】.【分析】由正切函數的定義域得出，解出不等式可得出所求函數的定義域．【詳解】由于正切函數為，解不等式，得，因此，函數的定義域為，故答案為．【點睛】本題考查正切型函數定義域的求解，解題時需結合正切函數的定義域列不等式進行計算，考查計算能力，屬于中等題．4．已知，則____．【答案】##0.4【分析】先通過誘導公式化簡，然后弦化切即可得到答案.【詳解】原式．故答案為：.5．若為銳角，且，則_____．【答案】【分析】通過平方關系求出和的值，再根據兩角和的余弦公式即可得解.【詳解】因為為銳角，且，所以，所以．故答案為：.6．方程在上的解集為__．【答案】【分析】首先利用輔助角公式化簡，然后利用特殊角的三角函數值確定解集，最后根據題干中給定角的取值范圍即可確定滿足條件的角的集合.【詳解】因為，所以，所以或，所以或，因為，所以或，故答案為：．7．已知向量在向量方向上的投影為，且，則__．(結果用數值表示)【答案】【分析】首先根據投影公式求得，再代入數量積公式，即可求解.【詳解】因為向量在向量方向上的投影為，且，所以，所以，則．故答案為：8．函數的單調遞減區(qū)間為_____．【答案】【分析】先將函數解析式化簡，再利用整體代入法即可求得函數單調遞減區(qū)間【詳解】，由，得又，則則函數，單調遞減區(qū)間為．故答案為：9．在△中，角，，所對的邊分別為，，，表示△的面積，若，，則__________．【答案】【詳解】試題分析：∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【解析】解三角形.【思路點睛】先利用余弦定理和三角形的面積公式可得，可得，再用正弦定理把中的邊換成角的正弦，利用兩角和公式化簡整理可求得，最后根據三角形內角和，進而求得．10．已知函數，若在區(qū)間上具有單調性，且，則_____．【答案】【分析】根據條件，運用三角函數的性質逐步推理，求出和.【詳解】由于，存在兩種情況：（1）周期為，則有，又，所以，，，即，又=T，則在區(qū)間上不具有單調性，不符合題意；（2）為函數的對稱軸，則…①，因為，所以…②，①-②得，所以，因為在區(qū)間上具有單調性，所以，即，所以，或6，若，則，由①得，因為，所以，，代入①也成立，符合題意；若，由①得，不可能滿足；所以；故答案為：.11．已知函數，若在區(qū)間內沒有零點，則ω的取值范圍是__.【答案】【分析】由三角恒等變換得，進而根據題意得，再分別解不等式即可得答案.【詳解】解：函數∵在區(qū)間內沒有零點，∴，即∴①或②，解①得，即，由于，故，即解②得，即，由于，故，即，綜上可得的取值范圍是故答案為：12．如圖，圓是半徑為1的圓，，設，為圓上的任意2個點，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】連接，，設是線段的中點，連接，則有.設為和的夾角.求出,利用二次函數即得解.【詳解】解：連接，，設是線段的中點，連接，則有.設為和的夾角.則，，（當即時取等）因為，所以當時，有最小值.，（當即時取等）當時，有最大值為3，即有最大值3，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是利用向量的運算建立函數模型，再利用二次函數的圖象和性質求解.二、單選題13．已知是平面上的非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】充分性用數量積的幾何意義驗證，必要性直接證明.【詳解】根據向量乘積的幾何意義則表示與在上投影數量的乘積，同理表示與在上投影數量的乘積，畫圖為：在的投影都為，但是所以充分性不成立.若，則成立,即必要性成立，所以B正確.故選：B．14．設函數，其中，，若對任意的恒成立，則下列結論正確的是（

）A． B．的圖像關于直線對稱C．在上單調遞增 D．過點的直線與函數的圖像必有公共點【答案】D【分析】利用輔助角公式將函數化簡，進而根據函數在處取得最大值求出參數，然后結合三角函數的圖象和性質判斷答案.【詳解】由題意，，，而函數在處取得最大值，所以，所以，，則.對A，因為，即，A錯誤；對B，因為，所以B錯誤；對C，因為，所以函數在上單調遞減，所以C錯誤；對D，因為的最大值為，而，所以過點的直線與函數的圖象必有公共點，D正確.故選：D.15．函數的圖像向左平移個單位長度后與函數的圖像重合，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函數圖像平移規(guī)則和三角函數誘導公式即可取得的最小值【詳解】函數的圖像向左平移個單位長度后為又因為，則的最小值為，故選：．16．如果對一切正實數，，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將不等式cos2x≥asinx恒成立轉化為asinx+1﹣sin2x恒成立，構造函數f（y），利用基本不等式可求得f（y）min＝3，于是問題轉化為asinx﹣sin2x≤2恒成立．通過對sinx＞0、sinx＜0、sinx＝0三類討論，可求得對應情況下的實數a的取值范圍，最后取其交集即可得到答案．【詳解】解：?實數x、y，不等式cos2x≥asinx恒成立?asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y），則asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，∵y＞0，f（y）23（當且僅當y＝6時取“＝”），f（y）min＝3；所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx恒成立，令sinx＝t，則0＜t≤1，再令g（t）＝t（0＜t≤1），則a≤g（t）min．由于g′（t）＝10，所以，g（t）＝t在區(qū)間（0，1]上單調遞減，因此，g（t）min＝g（1）＝3，所以a≤3；②若sinx＜0，則a≥sinx恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx＝0，0≤2恒成立，故a∈R；綜合①②③，﹣3≤a≤3．故選：D．【點睛】本題考查恒成立問題，將不等式cos2x≥asinx恒成立轉化為asinx+1﹣sin2x恒成立是基礎，令f（y），求得f（y）min＝3是關鍵，也是難點，考查等價轉化思想、分類討論思想的綜合運用，屬于難題．三、解答題17．已知，，．(1)求；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）用平面向量的模長及數量積運算即可求解.（2）用公式，展開即可求解.【詳解】（1）因為，，所以，即，即，又，所以（2）18．已知△的角、、所對的邊分別為、、，且．（1）求角的大??；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由正弦定理和三角函數的誘導公式、兩角和的正弦公式、同角的商數關系，可得所求值；（2）由向量的數量積的定義和余弦定理，結合配方法，可得所求值．【詳解】解：（1）由正弦定理可得，所以，因為，所以，又，所以；（2）因為，，所以，所以，則，所以．19．如圖所示，我國黃海某處的一個圓形海域上有四個小島，小島與小島、小島相距都為5公里，與小島相距為公里．已知角為鈍角，且．(1)求小島與小島之間的距離；(2)記為，為，求的值．【答案】(1)2(2)【分析】(1)在中，利用余弦定理即可求解；(2)在中，先利用正弦定理求出，然后利用兩角和的正弦公式即可求解.【詳解】（1）由題意可知：，，因為角為鈍角，，所以，在中，由余弦定理得，，所以，解得或（舍），所以小島與小島之間的距離為2．（2）在中，由正弦定理，因為，所以，則，因為，所以為銳角，所以，因為，，所以．20．借助三角比及向量知識，可以方便地討論平面上點及圖像的旋轉問題.試解答下列問題.(1)在直角坐標系中，將點繞坐標原點逆時針旋轉到點，求點的坐標；(2)如圖，設向量，把向量按逆時針方向旋轉角得到向量，求向量的坐標；(3)設為不重合的兩定點，將點繞點按逆時針方向旋轉角得點，判斷是否能夠落在直線上，若能，試用表示相應的值，若不能，說明理由.【答案】(1)(2)(3)能，答案見解析【分析】（1）設，以為終邊的角為，則利用兩角和的正弦和余弦公式求得和，進而求得點坐標；（2）先把平移到起點在原點得到，與（1）同理求得即得；（3）與（1）同理求得點，把點坐標代入直線，分情況討論求解即可．【詳解】（1）設，則，