2022-2023學年上海市浦東新區(qū)高一年級上冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年上海市浦東新區(qū)高一上學期期末數(shù)學試題一、填空題1．____________.（用符號“”或“”填空）【答案】【分析】根據(jù)實數(shù)的定義及集合與元素的關系判斷即可.【詳解】解：.故答案為：.2．已知集合，且，則實數(shù)a的值為____________.【答案】或【分析】根據(jù)元素與集合的關系求解.【詳解】因為，，所以，解得或，故答案為：或3．函數(shù)的定義域是__________.【答案】【分析】先利用對數(shù)式中真數(shù)為正得到，再將分式不等式化為一元二次不等式進行求解.【詳解】要使有意義，須，即，解得或，即函數(shù)的定義域是.故答案為：.4．是2的倍數(shù)，是6的倍數(shù)，則是的____________條件（填“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”）.【答案】必要非充分【分析】由充分性和必要性的定義即可得出答案.【詳解】是2的倍數(shù)推不出是6的倍數(shù)，如，但是6的倍數(shù)能推出是2的倍數(shù).故是的必要非充分條件.故答案為：必要非充分.5．用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示（其中）____________.【答案】【分析】根據(jù)冪指數(shù)和根式之間的互化即可求解.【詳解】，故答案為：6．設，則關于x的不等式的解集是____________.【答案】【分析】由于，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，解不等式即可.【詳解】因為，且，則根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，解得，所以不等式的解集為.故答案為：7．已知一元二次方程的兩個實根為，則____________.【答案】3【分析】先利用韋達定理求出，再由，代入即可得出答案.【詳解】一元二次方程的兩個實根為，所以，所以.故答案為：3.8．請將下列各組對象能組成集合的序號填在后面的橫線上____________.①上海市2022年入學的全體高一年級新生；②在平面直角坐標系中，到定點的距離等于1的所有點；③影響力比較大的中國數(shù)學家；④不等式的所有正整數(shù)解.【答案】①②④【分析】根據(jù)集合的概念即可判斷.【詳解】解：對于①，“上海市2022年入學的全體高一年級新生”，研究對象是明確的，符合集合的定義，能構(gòu)成集合；對于②，“在平面直角坐標系中，到定點的距離等于1的所有點”，研究對象是明確的，符合集合的定義，能構(gòu)成集合；對于③，“影響力比較大的中國數(shù)學家”，其中影響力比較大的沒有明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對于④，“不等式的所有正整數(shù)解”，研究對象是明確的，符合集合的定義，能構(gòu)成集合.故答案為：①②④.9．設a、b、c、d是實數(shù)，則下列命題為真命題的是____________.①如果，且，那么；②如果，且，那么；③如果，那么；④如果，那么.【答案】①③④【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)一一判斷求解.【詳解】對于①,因為，且，根據(jù)不等式的可加性，所以，故①正確；對于②，例如有，故②錯誤；對于③,，因為，所以，即，故③正確；對于④，因為，所以且，所以，故④正確，故答案為：①③④.10．已知對數(shù)函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點，且該函數(shù)圖象經(jīng)過點，則實數(shù)的值是____________.【答案】9【分析】根據(jù)點在圖象上可求出，進而可求解.【詳解】因為對數(shù)函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點，所以解得，所以，因為該函數(shù)圖象經(jīng)過點，所以解得，故答案為:9.11．已知正數(shù)a和b滿足，用a及b表示____________.【答案】【分析】令，由，可得，進而可得以現(xiàn)由即可得答案.【詳解】解：因為均為正數(shù)，令，則有，，又因為，所以，所以，所以，所以所以.故答案為：12．某同學在學習了基本不等式和冪指對運算后，通過查閱資料發(fā)現(xiàn)了一個不等式“，當且僅當時等號成立”，請借助這個不等式，解答下題：對任意，恒成立，則b的取值范圍____________.【答案】【分析】由題意轉(zhuǎn)化為恒成立，即求的最小值，根據(jù)可得，從而得到答案.【詳解】由，可得，由得，對任意，恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最小值，因為，所以，所以，解得，當且僅當即時等號成立，所以b的取值范圍為.故答案為：.二、單選題13．下列函數(shù)與函數(shù)相同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】當兩函數(shù)定義域相同，對應關系相同時，為同一函數(shù)，對四個選項中的函數(shù)一一分析定義域和對應關系，選出答案.【詳解】函數(shù)定義域為R，A選項，定義域為，A錯誤；B選項，定義域為R，且，與函數(shù)相同，B正確；C選項，，與函數(shù)不相同，C錯誤；D選項，定義域為，D錯誤.故選：B14．下列函數(shù)中，值域是的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性對選項依次求值域即可．【詳解】對于A：的值域為；對于B：的值域為；對于C：的值域為；對于D：，，，的值域為；故選：D15．關于冪函數(shù)的圖象，下列選項描述正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象一定經(jīng)過和B．冪函數(shù)的圖象一定關于y軸或原點對稱C．冪函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第四象限D(zhuǎn)．兩個不同的冪函數(shù)的圖象最多有兩個公共點【答案】C【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，函數(shù)的圖象不經(jīng)過點，所以A不正確；對于B，是非奇非偶函數(shù)，所以B不正確；對于C，對于冪函數(shù)，當時，一定成立，所以任何冪函數(shù)的圖象都不經(jīng)過第四象限，所以C正確；對于D，，則令，解得：或或，所以冪函數(shù)和有三個交點，所以D不正確.故選：C.16．已知定義域為的函數(shù)滿足：①對任意，恒成立；②若則.以下選項表述不正確的是（

）A．在上是嚴格增函數(shù) B．若，則C．若，則 D．函數(shù)的最小值為2【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的性質(zhì)，再舉例判斷A；取值計算判斷B，C；借助均值不等式求解判斷D作答.【詳解】任意，恒成立，且，假設，則有，顯然，與“若則”矛盾，假設是錯的，因此當且時，，取，有，則，于是得，，，，，對于A，函數(shù)，，，并且當時，，即函數(shù)滿足給定條件，而此函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)，A不正確；對于B，，則，B正確；對于C，，則，而，有，又，因此，C正確；對于D，，，則有，當且僅當，即時取等號，所以函數(shù)的最小值為2，D正確.故選：A【點睛】關鍵點睛：涉及由抽象的函數(shù)關系求函數(shù)值，根據(jù)給定的函數(shù)關系，在對應的區(qū)間上賦值即可.三、解答題17．解不等式.【答案】【分析】對兩邊同時平方，由一元二次方程的解法即可得出答案.【詳解】由可得：，則，則或.故不等式的解集為：18．已知集合，集合，用列舉法表示集合.【答案】【分析】集合A,B中的元素均為函數(shù)圖像上的點，故A與B的交集即為與的交點的集合.【詳解】聯(lián)立，解得：或，故19．要建造一面靠墻、且面積相同的兩間相鄰的長方形居室（靠墻一側(cè)利用原有墻體），如圖所示.如果已有材料可建成的圍墻總長度為，那么當寬x（單位：m）為多少時，才能使所建造的居室總面積最大？居室的最大總面積是多少？（不考慮墻體厚度）【答案】居室的寬為5m時，居室的最大總面積是.【分析】由題意，若把材料全部用完，得到兩間居室的總長為，再由長方形的面積公式建立模型求解.【詳解】解：由題意，若把材料全部用完，則兩間居室的總長為，設所建造的居室總面積，則，當居室的寬為5m時，居室的面積最大，居室的最大總面積是.20．小明在學習“用函數(shù)的觀點求解方程與不等式”時，靈光一動，為課本上一道習題“已知為正數(shù)，求證：.”得到以下解法：構(gòu)造函數(shù)，因為，當且僅當時取等號；所以對于函數(shù)可得，當且僅當時，即，當且僅當時可取等號.閱讀上述材料，解決下列兩個問題：(1)若實數(shù)不全相等，請判斷代數(shù)式“”的取值是正還是負；（直接寫出答案，無需理由）(2)求證：，并指出等號成立的條件.【答案】(1)正(2)證明見解析，當且僅當時取等號【分析】（1）將代數(shù)式化為，由此可知恒正；（2）由，可知，由此可得結(jié)論；根據(jù)的條件可得取等條件.【詳解】（1），不全相等，，取值為正.（2）由（1）知：（當且僅當時取等號），，即（當且僅當時取等號）.21．已知是定義在上的函數(shù)，對于上任意給定的兩個自變量的值，當時，如果總有，就稱函數(shù)為“可逆函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“可逆函數(shù)”，并說明理由；(2)已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，證明：是“可逆函數(shù)”；(3)證明：函數(shù)是“可逆函數(shù)”的充要條件為“”.【答案】(1)不是“可逆函數(shù)”，理由見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可確定與恒有兩個不同的交點，知不是“可逆函數(shù)”；（2）任取，可得，知在上為增函數(shù)，符合“可逆函數(shù)”定義；（3）當時，任取且，由可知充分性成立；假設當是“可逆函數(shù)”時，，構(gòu)造方程，化簡整理為一元二次方程，由方程有兩個不等實根可知，與“可逆函數(shù)”定義矛盾，知假設錯誤，必要性得證.【詳解】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則與恒有兩個不同的交點，記為，則，，不符合“可逆函數(shù)”定義，不是“可逆函數(shù)”.（2）任取，則；在區(qū)間上是增函數(shù)，，又，，，在區(qū)間上是增函數(shù)，則當時，恒成立，是“可逆函數(shù)”.（3）先證明充分性：當時，，則的定義域為；任取且，則，即，為“可逆函數(shù)”，充