山西省運(yùn)城市河?xùn)|第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

山西省運(yùn)城市河?xùn)|第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，則β－α等于 ()參考答案：A略2.若將函數(shù)f（x）=1+sinωx（0＜ω＜4，ω∈Z）的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，且y=g（x）的圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=，則分f（x）的最小正周期為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性，求得ω的值，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的周期公式即可計(jì)算得解．【解答】解：將函數(shù)f（x）=1+sinωx的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為：y=g（x）=sin[ω（x﹣）]+1=sin（ωx﹣）+1，∵y=g（x）的圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=，∴ω﹣=kπ+，k∈Z，解得：ω=6k+3，k∈Z，∵0＜ω＜4，∴ω=3，可得：f（x）=1+sin3x，∴f（x）的最小正周期為T=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性，三角函數(shù)周期公式的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．3.在n元數(shù)集S={a1，a2，…an}中，設(shè)X（S）=，若S的非空子集A滿足X（A）=X（S），則稱A是集合S的一個(gè)“平均子集”，并記數(shù)集S的k元“平均子集”的個(gè)數(shù)為fs（k），已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．fs（4）=fs（5） B．fs（4）=fT（5）C．fs（1）+fs（4）=fT（5）+fT（8） D．fs（2）+fs（3）=fT（4）參考答案：D【考點(diǎn)】子集與真子集．【分析】根據(jù)新定義求出k元平均子集的個(gè)數(shù)，逐一判斷．【解答】解：X（S）=5，將S中的元素分成5組（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5）．則fS（1）==1，fS（2）==4，fS（3）=?=4，fS（4）==6，fS（5）=?=6，同理：X（T）=0，將T中的元素分成5組（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3），（4，﹣4），（0）．則fT（1）==1，fT（2）==4，fT（3）=?=4，fT（4）==6，fT（5）=?=6，fT（8）==1，∴fS（4）=fS（5）=6，fS（4）=fT（5）=6，fS（1）+fS（4）=fT（5）+fT（8）=7．故選：D．4.如圖，為等腰直角三角形，，為斜邊的高，點(diǎn)在射線上，則的最小值為A．

B．C．

D．參考答案：B5.已知，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B6.已知和是平面上的兩個(gè)單位向量，且，，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，均為正常數(shù)，則的最大值為(

)A． B．

C．

D．參考答案：A略7.函數(shù)f（x）=?cosx的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)值，問題得以解決．【解答】解：f（﹣x）=?cos（﹣x）=?cosx=﹣f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，cosx＞0，＞0，∴f（x）＞0在（0，）上恒成立，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題8.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b＝1，，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，且，則△ABC的面積為A．

B．

C．或

D．或參考答案：D9.（04年全國(guó)卷IV）△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊.如果a、b、c成等差數(shù)列，∠B=30°，△ABC的面積為，那么b=

（

）

A． B．

C．

D．參考答案：答案：B10.已知函數(shù)f（x）=+a，若f（x）是奇函數(shù)，則a=（）A．0 B． C． D．參考答案：B考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)奇函數(shù)的定義f（x）+f（﹣x）=0，x=1，特殊值求解即可．解答：解：∵函數(shù)f（x）=+a，f（x）是奇函數(shù)，∴f（1）+f（﹣1）=0，即++a=0，2a=1，a=，故選：B點(diǎn)評(píng)：本題考查了奇函數(shù)的定義性質(zhì)，難度很小，屬于容易題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量、的夾角為，且，，則向量與向量的夾角等于

．參考答案：12.某同學(xué)對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究后，得出以下結(jié)論：①函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱圖形；②對(duì)任意實(shí)數(shù)，均成立；③函數(shù)的圖像與直線有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等；④當(dāng)常數(shù)滿足時(shí)，函數(shù)的圖像與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

▲

．參考答案：①②④①，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以關(guān)于軸對(duì)稱，所以①正確。②，所以②正確。③由，得或，所以,所以任意相鄰兩點(diǎn)的距離不一定相等，所以③錯(cuò)誤。④由，即，因?yàn)?，所以，所以必有，所以函?shù)的圖像與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以④正確。所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④。13.曲線在點(diǎn)(0,1)處的切線的方程為

．參考答案：

14.在的展開式中x的系數(shù)是__________.（用數(shù)字作答）參考答案：-5615.若某多面體的三視圖如右圖所示，則此多面體的體積是▲，此多面體外接球的表面積是▲.參考答案：3解:三視圖復(fù)原幾何體如圖：是正方體去掉一個(gè)角后的幾何體，它的外接球就是展開為正方體的外接球，外接球的直徑就是正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度，體對(duì)角線的長(zhǎng)度為：，所以外接球的半徑為：；所以外接球的表面積為：=3π．16.設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：a＜﹣1且a≠﹣2考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．專題：計(jì)算題；作圖題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：作函數(shù)f（x）=的圖象，從而利用數(shù)形結(jié)合知x2+ax+b=0有2個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，且其中一個(gè)為1，從而可得﹣1﹣a＞0且﹣1﹣a≠1；從而解得．解答：解：作函數(shù)f（x）=的圖象如下，，∵關(guān)于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，∴x2+ax+b=0有2個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，且其中一個(gè)為1；故1+a+b=0，故b=﹣a﹣1，故x2+ax+b=x2+ax﹣1﹣a=（x﹣1）（x+1+a）=0，故﹣1﹣a＞0且﹣1﹣a≠1；故a＜﹣1且a≠﹣2；故答案為：a＜﹣1且a≠﹣2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了因式分解的應(yīng)用．17.有編號(hào)依次為1，2，3，4，5，6的6名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔賽，今有甲、乙、丙、丁四位老師在猜誰將得第一名，甲猜不是3號(hào)就是5號(hào)；乙猜6號(hào)不可能；丙猜2號(hào)，3號(hào)，4號(hào)都不可能；丁猜是1號(hào)，2號(hào)，4號(hào)中的某一個(gè).若以上四位老師中只有一位老師猜驛，則猜對(duì)者是_____________.參考答案：丙三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某中學(xué)對(duì)某班50名學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行長(zhǎng)期的調(diào)查,學(xué)習(xí)習(xí)慣和數(shù)學(xué)成績(jī)都只分良好和一般兩種情況，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（因某種原因造成數(shù)據(jù)缺省，現(xiàn)將缺省部分?jǐn)?shù)據(jù)用表示）如下表所示:

數(shù)學(xué)成績(jī)良好數(shù)學(xué)成績(jī)一般合計(jì)學(xué)習(xí)習(xí)慣良好2025學(xué)習(xí)習(xí)慣一般21合計(jì)24

(1)在該班任選一名學(xué)習(xí)習(xí)慣良好的學(xué)生，求其數(shù)學(xué)成績(jī)也良好的概率。(2)已知A是學(xué)習(xí)習(xí)慣良好但數(shù)學(xué)成績(jī)一般的學(xué)生，B是學(xué)習(xí)習(xí)慣一般但數(shù)學(xué)成績(jī)良好的學(xué)生，在學(xué)習(xí)習(xí)慣良好但數(shù)學(xué)成績(jī)一般的學(xué)生和學(xué)習(xí)習(xí)慣一般但數(shù)學(xué)成績(jī)良好的學(xué)生中，各選取一學(xué)生作代表，求A、B至少有一個(gè)被選中的概率。參考答案：由已知：……………2分（1）從學(xué)習(xí)習(xí)慣良好的學(xué)生中任選一人共有25種情況，而數(shù)學(xué)成績(jī)良好的共有20種情況∴…………4分（2）記A、B至少有一個(gè)被選中為事件T記除A外其他學(xué)習(xí)習(xí)慣良好但數(shù)學(xué)成績(jī)一般的同學(xué)分別為除B外其他學(xué)習(xí)習(xí)慣一般但數(shù)學(xué)成績(jī)良好的同學(xué)分別為，則選人所有可能有：

共20個(gè)結(jié)果

……………6分其中中含,共8個(gè)結(jié)果………7分

…………8分(3)

………………11分∴我們有99.9%的把握認(rèn)為“該班學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)”有關(guān)系

………12分19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(其中).（Ⅰ）若為的極值點(diǎn),求的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,解不等式.參考答案：(Ⅰ)因?yàn)橐驗(yàn)闉榈臉O值點(diǎn),所以由,解得檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以為的極值點(diǎn),故.

……………4分(Ⅱ)當(dāng)時(shí),不等式,整理得,即或

令,,,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以,即,所以在上單調(diào)遞增,而；故；,所以原不等式的解集為.

……………12分20.如圖，在三棱錐中，平面平面，于點(diǎn)，且，，

（Ⅰ）求證：（Ⅱ）（Ⅲ）若，，求三棱錐的體積．

參考答案：解：（Ⅰ），……2分

………………3分（Ⅱ）因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，，所以平面?/p>

……………6分又平面，所以平面平面．…………7分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面．法一：中，，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，則，因此，

…………8分△的面積．

…………10分所以三棱錐的體積．

…………12分法二：中，，，由余弦定理得：，所以，所以．

…………………8分△的面積．

……………10分所以三棱錐的體積．

……12分

略21.（本小題13分）已知橢圓：的離心率，是橢圓上兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，線段的垂直平分線與橢圓相交于兩點(diǎn).（1）求直線的方程；（2）是否存在這樣的橢圓，使得以為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出該橢圓方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案：（1）離心率，橢圓：設(shè)直線的方程為，整理得

①

②

由是線段AB的中點(diǎn)，得

解得，代入②得，

直線的方程為（2）∵垂直平分，∴直線的方程為，即，代入橢圓方程，整理得

又設(shè)

∴假設(shè)存在這樣的橢圓，使得以為直徑的圓過原點(diǎn)，則得，又故不存在這樣的橢圓.22.（本小題滿分15分）

已知函數(shù)，（Ⅰ）若，且關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，滿足如下性質(zhì)：若存在最大（小）值，則最大（?。┲蹬c無關(guān).試求的取值范圍．參考答案：解：(1)令，，因?yàn)?，所以，所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正數(shù)解等價(jià)于關(guān)于的方程有相異的且均大于1的兩根，即關(guān)于的方程有相異的且均大于1的兩根，…………………2分所以，…………………4分解得，故實(shí)