山西省運(yùn)城市第五中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

山西省運(yùn)城市第五中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)y=x3+x2+mx+1是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（﹣∞，）參考答案：C【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0在R上恒成立即可．【解答】解：若函數(shù)y=x3+x2+mx+1是R上的單調(diào)函數(shù)，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故選C．2.方程表示的曲線是（）A．一個(gè)圓B．兩個(gè)半圓C．兩個(gè)圓D．半圓參考答案：A略3.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)為Sn，若公差d=﹣2，S3=21，則當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n的值為（）A．10 B．9 C．6 D．5參考答案：D【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】由題意求出等差數(shù)列的首項(xiàng)，得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由通項(xiàng)大于等于0求得n值．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，由d=﹣2，S3=21，得3a1+3d=21，∴a1+d=7．∴a1=7﹣d=9．則an=9﹣2（n﹣1）=11﹣2n．由an=11﹣2n≥0，得，∵n∈N*，∴n≤5．即數(shù)列{an}的前5項(xiàng)大于0，自第6項(xiàng)起小于0．∴當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n的值為5．故選：D．4.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是A．在區(qū)間上是增函數(shù)B．在上是減函數(shù)C．在上是增函數(shù)

D．當(dāng)時(shí)，取極大值

參考答案：C略5.設(shè)，…，是變量和的個(gè)樣本點(diǎn)，直線是由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到的線性回歸方程（如圖），以下結(jié)論中正確的是（

）（A）和的相關(guān)系數(shù)為直線的斜率（B）和的相關(guān)系數(shù)在0到1之間（C）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，分布在兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同（D）直線過點(diǎn)參考答案：D略6.某幾何體的三視圖如右圖所示，它的體積為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A略7.某城市新修建的一條道路上有12盞路燈，為了節(jié)省用電而又不能影響正常的照明，可以熄滅其中的3盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，則熄燈的方法有（）

A．種

B．種

C．種

D．種

參考答案：A略8.己知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足：，且，則(

)

A.9

B.12

C.l6

D.36參考答案：D略9.下列語句是命題的是（

）A．這是一道難題

B．0.5是整數(shù)

C．

D．指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？

參考答案：B略10.關(guān)于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是

A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

B．(－1,3)C．(1,3)

D．(－∞，1)∪(3，＋∞)參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx(c<0)，其圖象在點(diǎn)A(1,0)處的切線的斜率為0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．參考答案：12.下圖是一個(gè)物體的三視圖，根據(jù)圖中尺寸（單位：cm），計(jì)算它的體積為

cm3.參考答案：13.已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2－ax＋a2－a＋＝0的兩個(gè)實(shí)根，那么的最小值為_______，最大值為________．參考答案：0,14.將邊長為2的正沿邊上的高折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為_________參考答案：略15.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則…的值為

參考答案：16.為了分析某籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中發(fā)揮的穩(wěn)定程度，統(tǒng)計(jì)了該運(yùn)動(dòng)員在6場(chǎng)比賽中的得分，用莖葉圖表示如圖所示，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為．參考答案：【考點(diǎn)】BC：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．【分析】由莖葉圖先求出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出該組數(shù)據(jù)的方差，由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．【解答】解：由莖葉圖知該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：=（14+17+18+18+20+21）=18，方差S2=[（14﹣18）2+（17﹣18）2+（18﹣18）2+（18﹣18）2+（20﹣18）2+（21﹣18）2]=5，∴該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為S=．故答案為：．17.已知向量，在方向上的投影是____________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x2（x-1）．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求f（x）在區(qū)間[－1，2]上的最大值和最小值．參考答案：(1)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．(2)最大值，最小值．分析：（1）求導(dǎo)數(shù)后，由可得增區(qū)間，由可得減區(qū)間．（2）根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的極值和區(qū)間的端點(diǎn)值，比較后可得最大值和最小值．詳解：（1）∵，∴．由，解得或；由，解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．（2）由（1）知是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，所以極大值，極小值，又，，所以最大值，最小值．點(diǎn)睛：（1）求單調(diào)區(qū)間時(shí)，由可得增區(qū)間，由可得減區(qū)間，解題時(shí)注意導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與單調(diào)性的關(guān)系．（2）求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí)，可先求出函數(shù)的極值和區(qū)間的端點(diǎn)值，通過比較后可得最大值和最小值．19.已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)a=﹣1，b=﹣2時(shí)，求證：f（x）在（0，2）上是減函數(shù)；（Ⅱ）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，都存在x∈[1，2]，使得|f（x）|≤1成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】（Ⅰ）根據(jù)定義即可證明，（Ⅱ）對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，存在x∈[1，2]，使得|f（x）|≤1成立?對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，存在x∈[1，2]，使得成立?，分別構(gòu)造函數(shù)，分類討論即可求出．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)任意x1，x2∈（0，2）且x1＜x2，，，∴任意x1，x2∈（0，2）且x1＜x2時(shí)，f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0，2）上是減函數(shù)，得證．（Ⅱ）對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，存在x∈[1，2]，使得|f（x）|≤1成立?對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，存在x∈[1，2]，使得成立?．設(shè)，①當(dāng)b≤0時(shí)，，則②當(dāng)時(shí)，，則③當(dāng)時(shí)，，則④當(dāng)時(shí)，，則綜上，所求實(shí)數(shù)b的范圍是b≤﹣2或b≥620.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=（ρ∈R），曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）．（1）寫出直線l及曲線C的直角坐標(biāo)方程（2）過點(diǎn)M平行于直線l的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若|MA|?|MB|=，求點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方程，并說明軌跡是什么圖形．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，直接寫出直線l的普通方程，消去參數(shù)可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M（x0，y0）以及平行于直線l的直線參數(shù)方程，直線l與曲線C聯(lián)立方程組，通過|MA|?|MB|=，即可求點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方程．通過兩個(gè)交點(diǎn)推出軌跡方程的范圍．【解答】解：（1）∵直線l的極坐標(biāo)方程為θ=（ρ∈R），∴直線l的傾斜角為，且經(jīng)過原點(diǎn)，故直線的直角坐標(biāo)方程為y=x，∵曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)點(diǎn)M（x0，y0）及過點(diǎn)M的直線為l1：，由直線l1與曲線C相交可得：+，∵|MA|?|MB|=，∴||=，即：，∴點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方程x2+2y2=6，表示一橢圓．取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得﹣故點(diǎn)M的軌跡是橢圓x2+2y2=6夾在平行直線y=x之間的兩段弧．21.現(xiàn)將甲、乙兩個(gè)學(xué)生在高二的6次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績（百分制）制成如圖所示的莖葉圖，進(jìn)人高三后，由于改進(jìn)了學(xué)習(xí)方法，甲、乙這兩個(gè)學(xué)生的考試數(shù)學(xué)成績預(yù)計(jì)同時(shí)有了大的提升.若甲（乙）的高二任意一次考試成績?yōu)閤，則甲（乙）的高三對(duì)應(yīng)的考試成績預(yù)計(jì)為x+10（若x+10>100.則取x+10為100）.若已知甲、乙兩個(gè)學(xué)生的高二6次考試成績分別都是由低到高進(jìn)步的，定義X為高三的任意一次考試后甲、乙兩個(gè)學(xué)生的當(dāng)次成績之差的絕對(duì)值.（I）試預(yù)測(cè)：在將要進(jìn)行的高三6次測(cè)試中，甲、乙兩個(gè)學(xué)生的平均成績分別為多少？（計(jì)算結(jié)果四舍五入，取整數(shù)值）（Ⅱ）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：（1）見解析；（2）見解析【分析】（I）先依題意預(yù)測(cè)出高三的6次考試成績，由平均數(shù)的公式，分別計(jì)算即可;（Ⅱ）由題意先寫出隨機(jī)變量X的取值，以及對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列和期望.【詳解】（I）由已知，預(yù)測(cè)高三的6次考試成績?nèi)缦拢?/p>

第1次考試第2次考試第3次考試第4次考試第5次考試第6次考試甲7886899698100乙8185929496100

甲高三的6次考試平均成績?yōu)?，乙高三?次考試平均成績?yōu)樗灶A(yù)測(cè)：在將要進(jìn)行的高三6次測(cè)試中，甲、乙兩個(gè)學(xué)生的平均成績分別約為91，91.（Ⅱ）因?yàn)閄為高三的任意一次考試后甲、乙兩個(gè)學(xué)生的當(dāng)次成績之差的絕對(duì)值，所以X=0，1，2，3所以，，，.所以的分布列為0123

所以【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)的計(jì)算以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于基礎(chǔ)題型.22.（本小題滿分14分）動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，記點(diǎn)的軌跡為曲線．圓的圓心是曲線上的點(diǎn),圓與軸交于兩點(diǎn)，且.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)2,若點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為,試判斷直線與圓的位置關(guān)系,并說明理由.參考答案：（本小題滿分14分）(本小題主要考查求曲線的軌跡方程、直線、圓、拋物線等知識(shí),

考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí))

(1)解法1:設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,依題意,得,

即,

……2分

化簡(jiǎn)得:,

∴曲線的方程為.

……4分

解法2:由于動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，

根據(jù)拋物線的定義可知,動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線.

……2分

∴曲線的方程為.

…4分（2）解:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的半徑為，

∵點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),

∴().

∴

…6分

.