解線性方程組的解法

關(guān)于解線性方程組的解法第一頁，共二十八頁，2022年，8月28日2線性方程組是線性代數(shù)中最重要最基本的內(nèi)容之一，是解決很多實(shí)際問題的的有力工具，在科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理的許多領(lǐng)域（如物理、化學(xué)、網(wǎng)絡(luò)理論、最優(yōu)化方法和投入產(chǎn)出模型等）中都有廣泛應(yīng)用.第一章介紹的克萊姆法則只適用于求解方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同，且系數(shù)行列式非零的線性方程組.本章研究一般線性方程組，主要討論線性方程組解的判定、解法及解的結(jié)構(gòu)等問題，還要討論與此密切相關(guān)的向量線性相關(guān)性等.其主要知識(shí)結(jié)構(gòu)如下：第二頁，共二十八頁，2022年，8月28日3線性方程組第三頁，共二十八頁，2022年，8月28日4§3.1

消元法第一章討論了含n個(gè)方程的n元線性方程組的求解問題.下面我們討論一般的n元線性方程組(systemoflinearequations)（3.1）寫成矩陣形式為其中第四頁，共二十八頁，2022年，8月28日5分別稱為方程組（3.1）的系數(shù)矩陣(coefficientmatrix)、未知量矩陣和常數(shù)項(xiàng)矩陣.當(dāng)時(shí)，稱為n元齊次線性方程組；當(dāng)時(shí)，稱為n元非齊次線性方程組.并稱為方程組（3.1）的增廣矩陣(augmentedmatrix).因?yàn)橐粋€(gè)線性方程組由它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)完全確定，所以線性方程組與它的增廣矩陣是一一對(duì)應(yīng)的.如果可以使（3.1）中的每個(gè)等式都成立，則稱為線性方程組（3.1）的一個(gè)解(solution).線性方程組（3.1）的解的全體稱為它的解第五頁，共二十八頁，2022年，8月28日6集(solutionset).若兩個(gè)線性方程組的解集相等，則稱它們同解(samesolution).若線性方程組（3.1）的解存在，則稱它有解或相容的.否則稱它無解或矛盾的.解線性方程組實(shí)際上先要判斷它是否有解，在有解時(shí)求出它的全部解.消元法是求解線性方程組的一種基本方法，其基本思想是通過消元變形把方程組化成容易求解的同解方程組.在中學(xué)代數(shù)里我們學(xué)過用消元法求解二元或三元線性方程組，現(xiàn)在把這種方法理論化、規(guī)范化、并與矩陣的初等變換結(jié)合起來，使它適用于求解含更多未知量或方程的線性方程組.為此，先看一個(gè)例子.第六頁，共二十八頁，2022年，8月28日7例1

解線性方程組解原方程組顯然原方程組與最后的方程組（叫階梯形方程組）同解，所以原方程組有唯一解第七頁，共二十八頁，2022年，8月28日8由此不難發(fā)現(xiàn)，在求解線性方程組的過程中，可以對(duì)方程組反復(fù)施行以下三種變換：1.交換兩個(gè)方程的位置；2.用一個(gè)非零數(shù)乘某個(gè)方程的兩邊；

3.把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上.稱它們?yōu)榫€性方程組的初等變換.顯然：線性方程組的初等變換不改變線性方程組的同解性.在例1的求解過程中，我們只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行了運(yùn)算，對(duì)線性方程組施行一次初等變換，就相當(dāng)于對(duì)它的增廣矩陣施行一次相應(yīng)的初等行變換，用方程組的初等變換化簡(jiǎn)線性方程組就相當(dāng)于用矩陣的初等行變換化簡(jiǎn)它的增廣矩陣.下面我們將例1的求解過程寫成矩陣形式：第八頁，共二十八頁，2022年，8月28日9所以原方程組有唯一解即第九頁，共二十八頁，2022年，8月28日10一般地，不妨設(shè)線性方程組（3.1）的增廣矩陣可通過適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q化為階梯形矩陣因而由初等行變換不改變矩陣的秩可知：線性方程組（3.1）的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩分別為第十頁，共二十八頁，2022年，8月28日11與由線性方程組的初等變換不改變線性方程組的同解性可知：線性方程組（3.1）與階梯形方程組（3.2）同解，且其解有三種情形：情形1，當(dāng)，即時(shí)，方程組（3.1）無解.情形2，當(dāng)，即時(shí)，方程組（3.1）有唯一解第十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日12情形3，當(dāng)，即時(shí)，方程組（3.2）可變成其中在相應(yīng)數(shù)域上可任意取值，稱為自由未知量，以下我們?cè)趯?shí)數(shù)域R上討論，任意給定自由未知量一組值：代人可求得的相應(yīng)值，把這兩組數(shù)合并起來就得到方程組（3.1）的一個(gè)解，因此方程組（3.1）有無窮多個(gè)解，其一般解為第十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日13（為自由未知量）或綜上所述，我們可得以下重要定理.第十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日14定理3.1（線性方程組有解判別定理）線性方程組有解的充要條件是它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣等秩，即推論3.1（解的個(gè)數(shù)定理）（1）n元線性方程組有唯一解的充要條件是.（2）n元線性方程組有無窮多解的充要條件是.此時(shí)它的一般解中含個(gè)自由未知量.（3）n元線性方程組無解的充要條件是.由于上述討論并未涉及常數(shù)項(xiàng)的取值，因此對(duì)時(shí)的n元齊次線性方程組第十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日15(3.3)即，顯然有，由定理3.1可得下述定理.定理3.2（1）n元齊次線性方程組只有零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的秩.（2）n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的秩.推論3.2（1）n個(gè)方程的n元齊次線性方程組只有零解的充要條件是它的系數(shù)行列式.（2）n個(gè)方程的n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式.第十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日16（3）若n元齊次線性方程組中方程個(gè)數(shù)m小于未知量個(gè)數(shù)n，則它必有非零解.書例

解線性方程組解對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換，有第十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日17所以同解方程組為一般解為（為自由未知量）第十七頁，共二十八頁，2022年，8月28日18或注自由未知量的選取不唯一，如例2中，可化為所以一般解為（為自由未知量）第十八頁，共二十八頁，2022年，8月28日19例3解線性方程組解解得唯一解第十九頁，共二十八頁，2022年，8月28日20例4解線性方程組解最后一個(gè)為矛盾方程組故方程組無解.第二十頁，共二十八頁，2022年，8月28日21例5t為何值時(shí)線性方程組

解有解?并求解.方程組有無窮多解。第二十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日22例6解線性方程組

解這是一個(gè)齊次線性方程組，且方程個(gè)數(shù)小于未知個(gè)數(shù)，故必有非零解。只需對(duì)系數(shù)矩陣施以初等行變換。第二十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日23求得全部解為第二十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日24例7下面的線性方程組當(dāng)a、b為何值時(shí)有解？在有解解的情況下，求出全部解。第二十四頁，共二十八