第三章 第七節(jié) 正弦定理和余弦定理

第七節(jié)正弦定理和余弦定理正弦定理與余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容（R是△ABC外接圓的半徑）

在△ABC中，有a2=_______________;b2=_______________c2=_______________b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC面積公式定理正弦定理余弦定理變形公式①a=_________,b=_________,c=_________；②sinA∶sinB∶sinC=_______③

2RsinA2RsinB2RsinCa∶b∶c,sinC=定理正弦定理余弦定理解決的問題①已知兩角和任一邊，求其它邊和角②已知兩邊和其中一邊的對角，求其它邊和角①已知三邊,求各角②已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他角注意：1.用正弦定理求角時，有時會出現(xiàn)多個解，要注意分析取舍2.在已知兩邊及一邊的對角時，有時用余弦定理列方程比正弦定理更簡捷，要靈活使用定理。判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打“√”或“×”）.（1）在△ABC中，A＞B必有sinA＞sinB.()（2）正弦定理對直角三角形不成立.()（3）在△ABC中共有三個角、三個邊六個量，可以已知三個量求另外三個量.()（4）余弦定理對任意三角形均成立.()（5）正弦定理可以實現(xiàn)邊角互化，但余弦定理不可以.()答案：（1）√（2）×（3）×（4）√（5）×例2：在△ABC中，a,b，c分別是角A，B，C的對邊，且（1）求角B的大小.（2）若求a,c的值.（1）（2013·唐山模擬）在△ABC中,則B=()（2）（2013·惠陽模擬）已知a,b,c分別是△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，若則sinC等于()變式訓(xùn)練CA(3).在△ABC中，B＝30°，C＝120°，則a∶b∶c＝_____.

（4）（2013·西安模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c.①若求A的值；②若求sinC的值.（5）如圖,在△ABC中，點D在BC邊上，AD=33,（1）求sin∠ABD的值.（2）求BD的長.【拓展提升】

1.已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的情況已知兩邊和其中一邊的對角,解三角形時,注意解的情況.如已知a,b,A,則有兩解、一解、無解三種情況.2.解三角形中的常用公式和結(jié)論(1）A+B+C=π.(2)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC，tan（A+B）=-tanC.

(3)(4)三角形ABC中（8）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c，且滿足則邊a=()(7).在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，則角A等于______.(5)(2013·重慶模擬)在△ABC中，角A，B，C所對邊長分別為a,b,c，若a2+b2=2c2，則角C的最大值為()(6)（2013·濟南模擬）已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，則cosC等于()CBC(2).△ABC滿足acosB=bcosA，則△ABC的形狀為()(A)直角三角形(B)等邊三角形(C)等腰三角形(D)等腰直角三角形(1)(2013·哈爾濱模擬)在△ABC中,若a=2bcosC,則△ABC是()(A)銳角三角形 (B)等腰三角形(C)鈍角三角形 (D)直角三角形B變式訓(xùn)練（3）△ABC中，若b=asinC,c=acosB,則△ABC的形狀為------三角形C(4)△ABC中，已知a-b=ccosB－ccosA，則△ABC的形狀為()(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰或直角三角形D【拓展提升】

1.三角形形狀的判斷思路(1)若出現(xiàn)邊與邊的關(guān)系時主要看是否有等邊或是否符合勾股定理等.(2)若出現(xiàn)角與角的關(guān)系時主要是看是否有等角、有無直角或鈍角等.2.判定三角形形狀的兩種常用途徑(1)邊化角：通過正弦定理或余弦定理，化邊為角,利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系后進行判斷.(2)角化邊：利用正弦定理或余弦定理，化角為邊,通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系后進行判斷.四、正、余弦定理綜合問題【典例】(12分)（2012·江蘇高考）在△ABC中，已知（1）求證：tanB=3tanA.（2）若求A的值．變式訓(xùn)練1.(2012·湖北高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,則角C等于()(A)30° (B)45° (C)60° (D)120°D2.(2013·合肥模擬)在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,則A的取值范圍是()(A)(0,] (B)[,π)(C)(0,] (D)[,π)C3.(2012·北京高考)在△ABC中,a=2,b+c=7,cosB=,則b=

.4.在△ABC中，若2acosB=c，則的取值范圍是()4C5.(2013·巢湖模擬）已