2024-2025學年中考數(shù)學專項復習：函數(shù)之新定義問題（含答案）

2024-2025學年中考數(shù)學專項復習函數(shù)專題訓

練一一新定義問題壓軸好題含答案

函數(shù)專題訓練一一新定義問題壓軸好題

1.（2024-湖南三模）定義:我們把一次函數(shù)g=kx+b（k*0）與正比例函數(shù)夕=c的交點稱為一次函數(shù)y

=M+b（k￥0）的“不動點”.例如求y=2c—1的“不動點”:聯(lián)立方程=解得,二1，則0

Iy=x5=1

=2/—1的“不動點”為（1,1）.

（1）由定義可知，一次函數(shù)y=3x+2的“不動點”為；

（2）若一次函數(shù)0=771①+/1的"不動點”為（2,72—1）,求771、71的值；

（3）若直線夕=皿—3（k￥0）與立軸交于點人,與沙軸交于點且直線0=A;①—3上沒有"不動點"，若

P點為工軸上一個動點，使得S&ABP=3s△AB。，求滿足條件的P點坐標.

2.（2024?芙蓉區(qū)校級開學）在平面直角坐標系力Og中，若點P的橫坐標和縱坐標相等,則稱點P為完美

點.已知二次函數(shù)g=ax2+4力+C（QW0）.

（1）當Q=1,c=2時，請求出該函數(shù)的完美點；

（2）已知二次函數(shù)g=Q/+42+c（aW0）的圖象上有且只有一個完美點（V，請求出該函數(shù)；

（3）在（2）的條件下，當時，函數(shù)沙=。爐+4/+C—~|~（QW0）的最小值為一3，最大值為1,求

m的取值范圍.

???

1

3.（2024-亭湖區(qū)校級模擬）我們定義：點P在一次函數(shù)夕=姐+b上，點Q在反比例函數(shù)夕=&上，若存

X

在P、Q兩點關于y軸對稱，我們稱二次函數(shù)夕=ax2+bx+c為一次函數(shù),=a+b和反比例函數(shù)夕=

—的“向光函數(shù)”，點P稱為“幸福點”.例如：點P（—L—2）在沙=c—1上，點Q（l,—2）在y=2上,

XX

P、Q兩點關于“軸對稱，此時二次函數(shù)"=必2-力—2為一次函數(shù)0=2：-1和反比例函數(shù)0=2的

X

“向光函數(shù)”，點P（—l,—2）是“幸福點”.

⑴判斷一次函數(shù)夕=*+2和反比例函數(shù)夕=3是否存在“向光函數(shù)”，若存在,請求出“幸福點”坐標;

X

若不是，請說明理由；

（2）若一次函數(shù)夕=x-k+l與反比例函數(shù)y=出±2只有一個''幸福點”,求其“向光函數(shù)”的解析式；

X

（3）已知一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=-有兩個“幸福點”4B（A在B左側），其“向光函數(shù)”

X

y—ax1+bx+c與力軸交于C、。兩點（。在。左側），若有以下條件:①a+b+c=0②“向光函數(shù)”經(jīng)

過點（—3,4）③a>b>0,記四邊形ACBD的面積為S,求2的取值范圍.

???

4.（2024-桃江縣一模）若拋物線y=ax2+bx+c^x軸交于A,B兩點，與y軸交于點。，且△ABC恰好

是直角三角形，并滿足=04.03（。為坐標原點），則稱拋物線y=ax2+bx+c是“直角型拋物

線”，其中較短直角邊所在直線為“直角倍增線”，較長直角邊所在直線為“直角倍減線”.

（1）若“直角型拋物線"y=ax2+bx+c的“直角倍增線”為直線y=-5x—3,求拋物線解析式；

（2）已知“直角型拋物線”y=a"+近+。與立軸的一個交點為（-2,0）,且的值t滿足方程：T2-

8x+7=0.其“直角倍減線”與反比例函數(shù)夕=1的圖象僅有一個交點，求其直角倍減線的函數(shù)解析

2x

式；

（3）已知拋物線“=空"+，^—，^c（c>0）是“直角形拋物線”，則函數(shù)夕="+3必+得c的最小

值.

???

1

5.(2024-岳麓區(qū)校級三模)我們約定，在直角坐標系中，若不相同的兩個點A(ai,bJ、B(a2,62)滿足

(&+a?)?+|仇+切=0,則稱4B互為“沖刺點”，若函數(shù),上存在一組沖刺點，則稱函數(shù),為“沖刺函

數(shù)”.

(1)判斷下列函數(shù)是否為“沖刺函數(shù)”，對的在括號里打“V”,錯的打“X”.

①沙=2刀+1();

②n=L()；

a-

③夕=婷+2/+1()；

(2)是否存在兩點既是一次函數(shù)y=—rr+b上的“沖刺點”，又是二次函數(shù)夕=&/+五+。3/0)

上的“沖刺點”，若存在，求出這樣的“沖刺點”坐標，若不存在，說明理由.

22

(3)若“沖刺函數(shù)"y=aX+x+c{a^0)上的“沖刺點”為A、B兩點，若P為函數(shù)y=ax+x+c(a^

0)上一動點，且該拋物線上有且只有3個點P滿足△MB的面積為L若以A、B為頂點的正方形邊長

為1,求c值.

???

6.(2024春?東城區(qū)校級期中)在平面直角坐標系力Oy中，對于點AQi，"),B(x2,紡),記＜4=\x1—x2\,dy

=尿一如，將a-dy\稱為點A,B的橫縱偏差,記為44,8),即n(A,B)=\dx-dy\.若點B在線段

尸Q上,將,B)的最大值稱為線段PQ關于點A的橫縱偏差,記為,FQ).

(1)4(0,—2),B(1,3),

①〃(A,B)的值是；

②點K在立軸上，若,K)=0,則點K的坐標是.

(2)點P,Q在0軸上，點P在點Q的上方，PQ=a，點7的坐標為(一5,1).

①當點Q的坐標為(0,1)時，求PQ)的值(答案可以用a表示)；

②當線段PQ在9軸上運動時，若的最小值為5,直接寫出a的取值范圍.

???

1

7.（2024?叢臺區(qū)校級四模）已知拋物線L：y=a"+bc—3a（aW0）經(jīng)過點A（—1,0）,且與多軸的另一個

交點為點C.

⑴當a=l時，解決下列問題.

①求拋物線的解析式、頂點坐標以及點。的坐標；

②坐標平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點。及L的一段,分別記為G，〃.平移該膠片，使

L所在拋物線對應的函數(shù)恰為沙="—3,求點G移動的最短路程；

（2）已知直線/：“=卜（工+1）.定義:橫縱坐標均為整數(shù)的點稱為“美點”.

①判斷直線Z是否過點A；

②當R=a=］時,直接寫出直線I與拋物線L圍成的封閉圖形邊界上“美點”的個數(shù)；

③當a=&時,記拋物線L在0WcW2024的部分為L2.光點Q從點A彈出，沿直線I發(fā)射,若擊中

拋物線〃上的“美點”，就算發(fā)射成功，直接寫出此時整數(shù)k的個數(shù).

備用圖

???

8.（2024?丹東二模）定義:在平面直角坐標系中，函數(shù)A的圖象經(jīng)過的兩個頂點，則函數(shù)R是

汝△ABC的“勾股函數(shù)”，函數(shù)R經(jīng)過直角三角形的兩個頂點的坐標分別為（g,勿），（叫，切），且

22,當自變量比滿足叫時，此時函數(shù)R的最大值記為Umax，最小值記為Umin，%=

y-y.

三變」!四，則/i是Rt/\ABC的“DX”值.

2

已知:在平面直角坐標系中，①△4BC,乙4cB=90°,軸.

⑴如圖，若點。坐標為（1,1）,47=80=4.

①一次函數(shù)%=—，+6是Rt/\ABC的“勾股函數(shù)”嗎？若是，說明理由并求出Rt^ABC的“DX”值，若

不是,請說明理由；

②是否存在反比例函數(shù)%=旦他/0）是電△ABC的“勾股函數(shù)”，若存在，求出R值，不存在，說明理

X

由.

（2）若點A的坐標為（2,2）,點8的坐標為（1,m）,二次函數(shù)為=〃+be+c是Rt/\ABC的“勾股函

數(shù)”.

①若二次函數(shù)禽="+b①+c經(jīng)過4。兩點，則放△ABC的“。X”值%=；

②若二次函數(shù)統(tǒng)="+be+c經(jīng)過4口兩點，且與Rt/\ABC的邊有第三個交點,求m的取值范圍；

③若二次函數(shù)統(tǒng)="+be+c經(jīng)過4口兩點，且Rt/\ABC的“0X”值/i=《山2,求7n的值.

???

1

9.(2024春，工業(yè)園區(qū)校級月考)我們約定:若關于x的二次函數(shù)“=的婷+多立+Ci與0=a2"+與c+

同時滿足電片0,a2y=0,|&1+a2\+y/b1—b2+(q+。2>=0,則稱函數(shù)仍與統(tǒng)"回旋”函數(shù).根據(jù)該約定，

解答下列問題：

(1)求二次函數(shù)y=x2-4x+3的“回旋”函數(shù)的解析式；

⑵若關于田的二次函數(shù)夕=謂+22+。的頂點在它的“回旋”函數(shù)圖象上，且且W①《忙￡時，—4

aa

W統(tǒng)44,求a,c的值；

(3)關于C的函數(shù)陰=&婷+近+。(0>0)的圖象頂點河,與刀軸的交點為43當它的“回旋”函數(shù)改

的頂點為N,與c軸的交點為C、。，從右到左依次是4、8、C、0,若38C,是否存在b使得

AMEW為矩形？

???

10.(2024春?門頭溝區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標系xOy中,P(g,y),Q(g,紡)，且61Wg，%如

果P。為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直,那么就稱該矩形為點P,。的“相

關矩形”.如圖為點P。的“相關矩形”的示意圖.

(1)已知點A的坐標為(1,1),

①如果點B的坐標為(4,3),求點A,8的“相關矩形”的面積；

②如果點。在c軸上，點A,C的“相關矩形”為正方形,求直線表達式.

(2)當0(0,2),F(-1,1)時，如果在線段EF上存在一個點河，使點。，M的“相關矩形”為

正方形，直接寫出m的取值范圍.

yfy八

3-3-

2345x2345a;

備用圖

???

1

n.（2024春?中山區(qū)校級期末）在平面直角坐標系xOy中，如果一次函數(shù)直線I與某個圖形G有且只有一

個交點，則定義該函數(shù)為圖形G的“AN函數(shù)”.

例如:如圖1,點河（2,2）,點N（2,5）,一次函數(shù)夕=2+1與線段MN交于點P（2,3）,則該函數(shù)是線段

A1N的“RN函數(shù)”.

（1）如圖2,在矩形ABCD中，點4—1,3）,點C（3,1）,若一次函數(shù)y=^x+b是矩形ABCD的函

數(shù)”，則b=

（2）如圖3,在菱形ABCD中，點4—1,—3），點C（6,0）,點B在"軸上，一次函數(shù)0=kx+^k+\是菱

形ABCD的“AN函數(shù)”.

①求點。的坐標;

②求R的值.

（3）如圖4,點A,。是直線y=-x+1上的兩點，點A的橫坐標為m,點。的橫坐標為m+2；將正方形

ABCD的邊AB,BC,CD所組成的圖形定義為G（其中點B的橫坐標為m），若直線Z：夕=小力—1是圖

形G的“RN函數(shù)”，直接寫出m

圖4

???

12.（2024-南海區(qū)一模）【定義】設拋物線與水平直線Z交于不重合的兩點人、過拋物線上點P（不同于

4、⑻作該水平線的垂線，垂足為。.我們把點P與點。間的距離稱為點尸關于直線I的鉛垂高,垂足

到點A和點8間的距離分別稱為點P關于直線/的左水平寬和右水平寬，鉛垂高與左、右水平寬的乘

積的比稱為點P關于拋物線的“T”系數(shù).例如，如圖1,拋物線夕=a"+近+c與刀軸交于點4b尸

是拋物線上一點，軸于點C,則PC的長為點P關于立軸的鉛垂高，AC,8C的長為點P關于

T軸的左水平寬與右水平寬，的值稱為點「關于y=a^+bx+c的“T”系數(shù).

7T.OXJL>O

【理解】如圖2，已知拋物線y=+t+4與立軸交于點入、B（點A在點B左側），點P是拋物線上一

點，PCLc軸于點C；

①當點P的坐標是（0,4）時，點P關于t軸的鉛垂高是，點P關于土軸的左水平寬是,

點P關于2軸的右水平寬是；

②當點P的橫坐標是小時，則點P關于沙=：/+力+4的“T”系數(shù)是；

【探究】經(jīng)過探究可以發(fā)現(xiàn)，若拋物線"=a〃+kc+c與水平直線Z交于點入、口,點p是拋物線上一

點，PC于點C,請求出點P關于拋物線y=ax2+bx+c的“T”系數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）；

【應用】校門口的隔離欄通常會涂上呈拋物線形狀的醒目顏色，如圖3,是一個被12根欄桿等分成13等

分的矩形隔離欄示意圖，其中顏色的分界處（點C,。）以及點4點B落在同一拋物線上，若第4根欄

桿涂色部分（CE）的長為36cm,則第6根欄桿涂色部分（DF）的長為cm.

圖3

???

1

13.（2024#-徐水區(qū)期末）我們給出如下定義:兩個圖形G和G?對于G上的任意一點P⑶，仍）與G2上

的任意一點Q（電，紡），如果線段PQ的長度最短,我們就稱線段PQ為“理想距離”.

（1）如圖1,點P在線段45（4（1,0）,8（3,0））上，點Q在線段CD上，如果PQ為理想距離，那么PQ的

長為;

（2）有射線EF（E（4,0）,尸（0,4））和線段4B,點P在線段4B上，點Q在射線EF上:

①如圖2,當4（1,0）,B（3,0）時，畫出理想距離的示意圖，PQ的長為

②如圖3,保持線段在宓軸上（點/在點B的左側），且AB為2個單位長度，4加0），理想距離

PQ的長滿足0<PQ<JE

%、

3-

C(-2.2)2D(0.2)

1-

AB

-2-10-i23X

—1■

圖1

???

14.（2024?新鄉(xiāng)模擬）某數(shù)學興趣小組遇到了這樣一個問題:給定兩個函數(shù)，任取自變量力的一個值，當?shù)?/p>

（。時，另一個函數(shù)對應的函數(shù)值比原函數(shù)的函數(shù)值大1;當工>0時，另一個函數(shù)對應的函數(shù)值比原函

數(shù)的函數(shù)值小1,我們稱這兩個函數(shù)為原函數(shù)的伴隨函數(shù)，例如:一次函數(shù)夕=—劣+2的伴隨函數(shù)為夕=

f-x+3（x<0）

|-x+l（x>0）

()(x<0)

（1）根據(jù)上述問題情境請寫出函數(shù)4=〃的伴隨函數(shù)：y=.

()(x>0)

（2）如圖，給出了函數(shù)“的圖象，請在同一坐標系中畫出它的伴隨函數(shù)的圖象（作圖時請注意自變

量的取值范圍）；

（3）當—2Wc<3時,請直接寫出二次函數(shù)y=—/+3^-2的伴隨函數(shù)的最大值和最小值.

???

1

15.(2024春?莊河市期末)【了解概念】已知函數(shù)仍是自變量力的函數(shù)，當紡=力+協(xié),稱函數(shù)%為函數(shù)陰的

“加和函數(shù)”.

在平面直角坐標系中，對于函數(shù)％圖象上一點A(m,n),稱點+n)為點A關于函數(shù)納的“加

和點”，點8在函數(shù)％的“加和函數(shù)”的圖象上.

【理解運用】例如：函數(shù)%=21.當例=2：+0=t=3c時，稱函數(shù)夕2=3c是函數(shù)歷的“加和函

數(shù)”.

在平面直角坐標系中，函數(shù)%=2x圖象上任意一點A(m,n),點、m+n)為點A關于力的“加和

點”，點B在函數(shù)%=2T的''加和函數(shù)"y2=3①的圖象上.

(1)求函數(shù)yi=yx的“加和函數(shù)”y2的表達式；

(2)點P(m,n)在函數(shù)％=—34+2的圖象上，點P關于函數(shù)少的“加和點”為點Q,若點Q與點P的縱

坐標互為相反數(shù)，求點P的坐標；

【拓展提升】

⑶在⑵的條件下，%的“加和函數(shù)”例，直線的交U軸于點小，已知點4如力)，8(-力，力),C(-t,-t),

(t>0).若將△「?下的邊構成的圖形記為河，當四邊形ABCD的邊與圖形''河”有且只有2

個交點時，直接寫出1的取值范圍.

???

16.（2024春?思明區(qū)校級期中）對于平面直角坐標系①。"中的圖形V,N,給出如下定義：P為圖形又上

任意一點，Q為圖形N上任意一點，如果P,Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形雙,

N間的“鄰近距離”，記為d（圖形"，圖形N）.

已知點4—2,—2）,8（3,-2）,0（3,3）,0（—2,3）.

（l）d（點O,線段入⑹=；

（2）若點G在立軸上，且d（點G,線段AB）＞2,求點G的橫坐標a的取值范圍；

（3）依次連接48,C,。四點，得到正方形4BCD（不含圖形內部）,記為圖形河,點E（t,0）,點尸（0,

均不與點。重合，線段EO,OF組成的圖形記為圖形N,若d（圖形圖形N）=l,直接寫出力

的值.

y

55

44

33

22

1111A

-5-4-3-2-1P2345H-5-4-3-2^1.°2345%

-2-2

-3-3

-4-4

-5-5

???

1

17.（2024?長沙三模）對某一個函數(shù)給出如下定義:如果函數(shù)的自變量力與函數(shù)值g滿足：當Q—m）Q—

71）<0時，（g—m）（y—n）<0（m,九為實數(shù)，且nzV九），我們稱這個函數(shù)在?n—zz上是“民主函數(shù)”.

比如：函數(shù)g=—=+1在一2上是“民主函數(shù)"理由：???由［7—（―1）］（力一2）40,得一14/42.

T—1—y,：,—141—y42,解得一1<g<2,［g—（—1）］（7/—2）40,是“民主函數(shù)”.

（1）反比例函數(shù)9=色是2—3上的“民主函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由；

X

（2）若一次函數(shù)夕=標+匕在7nm上是“民主函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式（可用含小的代數(shù)式表示）；

（3）若拋物線y=a/+bx+c（a>0,a+b>0）在1f3上是"民主函數(shù)"，且在1WreW3上的最小值為

4a,設拋物線與直線y=3交于A,B點，與夕軸相交于。點.若△ABC的內心為G,外心為V,試求

MG的長.

???

18.（2024-昆山市模擬）定義：若存在實數(shù)對坐標（為y）同時滿足一次函數(shù)0=p①+q和反比例函數(shù)"=

，則二次函數(shù)y=px2+qx-k為一次函數(shù)和反比例函數(shù)的“生成”函數(shù).

⑴試判斷（需要寫出判斷過程）:一次函數(shù)U=F+3和反比例函數(shù)夕=2是否存在“生成”函數(shù)，若存

X

在，寫出它們的“生成”函數(shù)和實數(shù)對坐標.

（2）已知：整數(shù)n,t滿足條件t<n<8館，并且一次函數(shù)g=（1+n）x+2m+2與反比例函數(shù)g=

存在“生成”函數(shù)g=（m+t）x2+（10m—t）x—2015,求7n的值.

x

（3）若同時存在兩組實數(shù)對坐標Qi,幼）和（g，紡）使一次函數(shù)y=ax+2b和反比例函數(shù)y=2為"生

x

成”函數(shù)，其中，實數(shù)a>b>c,a+b+c=0,設Z/=|g—力21,求心的取值范圍.（注：一元二次方程

a/+辰+c=0的求根公式為-b±VbJ-4ac）

1，2

???

1

函數(shù)專題訓練--新定義問題壓軸好題（解析版）

1.（2024-湖南三模）定義:我們把一次函數(shù)g=kx+b（k*0）與正比例函數(shù)夕=c的交點稱為一次函數(shù)y

=M+b（k￥0）的“不動點”.例如求y=2c—1的“不動點”:聯(lián)立方程=解得,二1，則0

Iy=x

=2/—1的“不動點”為（1,1）.

（1）由定義可知，一次函數(shù)y=3x+2的“不動點”為（一1—1）；

（2）若一次函數(shù)0=771①+/1的"不動點”為（2,72—1）,求771、71的值；

（3）若直線夕=皿—3（k￥0）與立軸交于點人,與沙軸交于點且直線0=A;①—3上沒有"不動點"，若

P點為工軸上一個動點，使得SAABP=3s△AB。，求滿足條件的P點坐標.

【分析】⑴根據(jù)題意，聯(lián)立（"―3①+2,即可求解；

Iy『

（2）由定義可知一次函數(shù)y—mx+71的“不動點”為（2,2）,再將點（2,2）代入g=mx+3即可求nz的值；

（3）由題意可知直線^=/｛：力一3與直線g=/平行，則有沙=力一3,在求出A（3,0）,B（0,一3）,設PQ,0）,由

SAABP=3S4W。，可得9X|t-3|X3X3,即可P點坐標.

【解答】解：⑴聯(lián)立3'+2,

Iy=x

解得

.?.一次函數(shù)夕=3t+2的“不動點”為（-1,-1）,

故答案為：（-1,-1）;

（2）V一次函數(shù)y=m6+n的“不動點”為（2,九一1）,

n—1=2,

n=3,

?,?“不動點”為（2,2）,

2=2m+3,

解得772=--｝；

⑶?,?直線g=——3上沒有“不動點”,

，直線g=k力一3與直線。=力平行，

：.k=l,

.*.?/=a?—3,

.\A（3,0）,B（0,-3）,

設設伍0）,

AP—|3—1|,

^AABP=3x\t-3|x3,

SAABO~x3x3,

?,S4ABp—3s△ABO,

-3|=9,

???力=12或1=—6,???

P（-6,0）或P（12,0）.

【點評】本題是一次函數(shù)的綜合題，理解定義，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質是解題的關鍵.

2.（2024?芙蓉區(qū)校級開學）在平面直角坐標系以九中，若點P的橫坐標和縱坐標相等,則稱點P為完美

點.已知二次函數(shù)u=aa：2+42：+c（a/0）.

（1）當a=l,c=2時，請求出該函數(shù)的完美點；

（2）已知二次函數(shù)夕=a婷+4c+c（a￥0）的圖象上有且只有一個完美點（■!■，!■）,請求出該函數(shù)；

（3）在（2）的條件下，當OWrrWm時，函數(shù)沙=￡1/+42：+。一年（￡1片0）的最小值為一3,最大值為1,求

m的取值范圍.

【分析】⑴根據(jù)完美點的概念，由g=力與拋物線解析式聯(lián)立即可求得答案；

（2）由題意得關于n的方程ax2++。=0有兩個相等的實數(shù)根，可得△=9—4ac=0,則4ac=9,再將完

美點的坐標代入即可求得答案；

（3）由題意得g=—d+4/一3=—（劣一2）2+1,可求得此拋物線的頂點坐標以及與坐標軸的交點坐標，根據(jù)

二次函數(shù)的圖象和性質，可求得力的取值范圍.

【解答】解：（1）當Q=1,c=2時，夕=力2+4/+2,

令g=力，則力之+3/+2=0,

解得:力］=-1,x2=—2,

:.該函數(shù)的完美點為R（—1,—1）,g（—2,—2）;

（2）令ax2+4/+c=/,即ax2+3力+c=0,由題意可得，圖象上有且只有一個完美點，，△=9—4ac=0,

則4ac=9.

又方程根為x——^—=—亶-=2，

2a2a2

.i9

..a=-1,c=--—,

該二次函數(shù)的解析式為y——X1+4rr—;

（3）y=_/2+41—-----1-——X1+4g-3二一（J;-2）2+1,

該二次函數(shù)圖象如圖所示，頂點坐標為（2,1）,

與g軸交點為（0,—3）,根據(jù)對稱規(guī)律，點（4,一3）也是該二次函數(shù)圖象上的點.在力=2左側，g隨力的增大

而增大；在力=2右側，g隨力的增大而減?。?/p>

丁當?！读r，函數(shù)g=—爐+4%—3的最小值為一3,最大值為1,

1???

24m<4.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，二次函數(shù)的性質以及根的判別式的知識，利用數(shù)形結

合和分類討論是解題關鍵.

3.(2024?亭湖區(qū)校級模擬)我們定義：點P在一次函數(shù)夕=姐+6上，點Q在反比例函數(shù)夕=且上,若存

X

在P、Q兩點關于y軸對稱，我們稱二次函數(shù)？/=ax2+bx+c為一次函數(shù)夕=a+b和反比例函數(shù)4=

—的''向光函數(shù)"，點P稱為''幸福點”.例如:點P(—1,—2)在y=c—1上，點Q(l,—2)在夕=2上,

XX

P、。兩點關于g軸對稱，此時二次函數(shù)4=/2一力一2為一次函數(shù)g=6-1和反比例函數(shù)沙=2的

x

“向光函數(shù)”，點P(—L—2)是“幸福點”.

⑴判斷一次函數(shù)9=力+2和反比例函數(shù)g=3是否存在“向光函數(shù)”，若存在,請求出“幸福點”坐標;

x

若不是，請說明理由；

(2)若一次函數(shù)"=力一卜+1與反比例函數(shù)夕=-2只有一個“幸福點”，求其“向光函數(shù)”的解析式；

X

(3)已知一次函數(shù)u=ax+b與反比例函數(shù)4=-有兩個“幸福點”4B(A在8左側)，其“向光函數(shù)”

X

沙=。力2+就+。與力軸交于。、。兩點(。在。左側)，若有以下條件:①a+b+c=0②“向光函數(shù)”經(jīng)

過點(—3,4)③a>b>0,記四邊形ACBO的面積為S,求C的取值范圍.

a

【分析】(1)設一次函數(shù)上任意一點P(a,a+2),則P點關于夕軸的對稱點Q(-a,a+2),根據(jù)題意可得

—a(a+2)=-3，求出a的值即可求''幸福點”；

(2)設一次函數(shù)上任意一點P(6,b—%+1),則P點關于夕軸的對稱點Q(—b,b-k+1),根據(jù)題意可得—b(b

一k+1)=出+2,再由八=(1—/(;)2—4(/；;+2)=0,求出％的值即可確定''向光函數(shù)”的解析式；

(3)由題意可得x+x=—■—,x-x=—,x+x=—~,x-x=色，再由已知條件得到b=2a—l,c=l

ABXABXcDXcDX

—3a，則S=XCDX{yA—yB)=X——X(4a—1),求得X(4—5-了,再由lv工<2,求出

22aa2aa

Sv9

/V-—V-二-?

a2

【解答】解：⑴存在“向光函數(shù)”，理由如下：

設一?次函數(shù)上任意一點F(a,Q+2),則P點關于g軸的對稱點Q(—a,a+2),

當一Q(Q+2)=—3時,解得Q=1或a=—3,

P(1,3)或(-3,-1)是''幸福點”，一次函數(shù)y=x+2和反比例函數(shù)夕=3存在''向光函數(shù)”；

X

(2)設一次函數(shù)上任意一點P(b,6—k+1),則P點關于v軸的對稱點Q(—b,6—k+1),

當一b(b—k+1)=k+2時，b?+b(l—fc)+fc+2=0,

一次函數(shù)y=*—k+1與反比例函數(shù)g="只有一個“幸福點”，

x

A—(1—fc)2—4(fc+2)—0,

解得k=—1或k=7,

當k=-1時，g=/+2,^=工，則“向光函數(shù)”為。="+2/+1;

x

當k=7時，沙=/-6,沙二旦，則“向光函數(shù)”為g=爐—6/+9;

x???

（3）設一次函數(shù)上任意一點、P（*,ai+b）,則P點關于g軸的對稱點Q（—0，aN+6）,

當一力（ar+b）=c時，ax2+bx+c=Q,

一次函數(shù)g=aR+b與反比例函數(shù)g=￡~有兩個“幸福點”，

x

A=fe2—4QC>0,x+x=---,x*x=-,

ABaABa

“向光函數(shù)"g=ax2+be+c與力軸交于C、_D兩點，

,?_b_c

??XX，XX，

C+D-XC*D——X

??,“向光函數(shù)”經(jīng)過點（一3,4）,

9a—3b+c=4,

=a+b+c=0,

.\b=2a—l,c=1—3a,

:.y=ax2+（2a—l）x+（1—3a）,

*.*a>b>0,

a>2a—1>0,

.1—-

??萬VaVI,

XX

???xD-xc=V（XD-\~XC^-4：XC-XD=4）1，VA—VB=Q（力A一*B）=W+BT~'B=4Q-1,

S=]xCDx（yA—yB）=^-x4）1x（4a—1）,

，￡=當P=!X（4」）2,

a2a22a

VK—<2,

a

2<—<4.

a2

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，一元二次方程根與系數(shù)的關系，

弄清新定義是解題的關鍵.

4.（2024-桃江縣一模）若拋物線y=ax2+bx+c^x軸交于A,B兩點，與g軸交于點。，且△48。恰好

是直角三角形，并滿足OC2=。4?。氏。為坐標原點），則稱拋物線y=ax2+bx+c是“直角型拋物

線”，其中較短直角邊所在直線為“直角倍增線”，較長直角邊所在直線為“直角倍減線”.

（1）若“直角型拋物線"y=a^+bx+c的“直角倍增線”為直線y=-5T—3,求拋物線解析式；

（2）已知“直角型拋物線"沙=a爐+就+c與力軸的一個交點為（-2,0）,且的值t滿足方程：x2-

82+7=0.其“直角倍減線”與反比例函數(shù)夕=1的圖象僅有一個交點，求其直角倍減線的函數(shù)解析

lx

式；

（3）已知拋物線夕=+—四eg>。）是“直角形拋物線”，則函數(shù)0="+3刀+需。的最小

值.

【分析】（1）由題意可知，A,B兩點必在原點兩側，且AB邊為直角三角形斜邊，由直線v=-5;r—3得點。

（0,-3），點A（-4,0）.由射影定理得002=OAxOB,故5（15,0）,再利用待定系數(shù)法解答即可；

（2）由力2—8力+7=0,得力=1或者力=7,由OC2=OAxOB,得點、C坐標為（0,V10）或（0,—,再代入

計算即可；

1???

（3）由g=+V3x—J^c（c>0）,設？1橫坐標為a,B橫坐標為b.故a+b=3,ab=3c.由002=

o

OAxO_B,得（一，^c）2=|3c],再計算即可.

【解答】解：⑴由題意可知兩點必在原點兩側，且AB邊為直角三角形斜邊，

在y=-5x—3中，令力=0,貝Uy=-3,

???C的坐標為（0,-3）,

令沙=0,則x=―

5

?,?點A.的坐標為（—,0）.

5

??.OC=3,OA=~,

5

???OC為R/AABC斜邊上的高,

由射影定理得：OC2=OA^OB,

??.O8=15,

???點B坐標為（15,0）,

將點。代入拋物線，即一3=c,

將A,B點坐標分別代入拋物線g=ax2-\-bx-\-c,

10=225a+15b-3

?.?a=—1bL=一一2—4,

3f5

拋物線表達式為：y—^-x1—■學力+3;

35

（2）V48的值力滿足：海一&r+7=0,

，力=1或者力=7,

???拋物線與力軸一個交點為（-2,0）,且需滿足A,B在原點兩側，

：.t—7,

即拋物線與力軸的另一個交點為（5,0）,

???002=04x05,且已知拋物線與力軸的兩個交點坐標，

??.002=2x5=10,

???OC=V10.

即點。坐標為（0,內）或（0,—，正），

設“直線倍減線”所在的直線為y—kx-\-V10^y—kx—V10,

代入3（5,0）,得：k=—凈或凈，

55

“直線倍減線”所在的直線為？/加一胸或9=—暝立+癡，

55

⑶=力2+通力—，^c（c>。），設在橫坐標為0,右橫坐標為b.

當g=0時，/2—3力+3c=0,

CL+b—3,ab—3c.

令/=0,則g=—V3c,

c>0,

OC=V3cf

???OC2=OAxOB,???

/.（V3c）2=3c,

c=1.

g="+3力+-^-c=力？+3/+告=（力+5）2_,

:.y=x2+3x+-|-c的最小值為一.

【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，根據(jù)給出的新定義，再運用二次函數(shù)的性質解答是解題關鍵.

5.（2024?岳麓區(qū)校級三模）我們約定，在直角坐標系中，若不相同的兩個點A（Qi，仇）、8（Q2,尻）滿足

儂+電）2+①+%|=。，則稱4B互為“沖刺點”，若函數(shù)"上存在一組沖刺點，則稱函數(shù)"為"沖刺函

數(shù)”.

⑴判斷下列函數(shù)是否為“沖刺函數(shù)”，對的在括號里打“V”,錯的打“義”.

①g=2力+1（x）；

②￡=4V）;

a-

③y=￡2+2c+l（x）；

（2）是否存在人、B兩點既是一次函數(shù)0=-x+b上的“沖刺點”，又是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a￥0）

上的“沖刺點”，若存在，求出這樣的“沖刺點”坐標，若不存在，說明理由.

（3）若“沖刺函數(shù)"y=ax2+x+c（a^0）上的“沖刺點”為4、8兩點,若P為函數(shù)y=ax'2+x+c（a豐

0）上一動點，且該拋物線上有且只有3個點P滿足△MB的面積為L若以A、B為頂點的正方形邊長

為1,求c值.

【分析】（1）根據(jù)（ai+a2p+3+仇|=0,得出一組沖刺點在直角坐標系中關于原點對稱，然后對三個函數(shù)圖

象進行判斷即可確定結論；

（2）先根據(jù)函數(shù)9=一2+6上有“沖刺點”，得出6=0,然后把兩個函數(shù)解析式聯(lián)立得出關于田的一元二次方

程，由根與系數(shù)的關系得出x+x=——W0,進而得出兩函數(shù)不會存在共同的"沖刺點”；

ABa

（3）根據(jù)“沖刺點”的關于原點對稱，設出A、B兩點的坐標并代入夕=a式+2+c,求出兩點坐標進而判定

AB兩點在直線夕=c上，然后由以為頂點的正方形邊長為1,結合△MB的面積為1,得出點P的軌跡

所在兩條直線的解析式，再由拋物線分別與兩條直線有且僅有3