廣東省東莞市肇彝中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

廣東省東莞市肇彝中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的漸近線方程為，若雙曲線上有一點(diǎn)M（），使，那雙曲線的交點(diǎn)（

）。A

在軸上

B

在軸上

C

當(dāng)時(shí)在軸上

D當(dāng)時(shí)在軸上

參考答案：正解：B。由得，可設(shè)，此時(shí)的斜率大于漸近線的斜率，由圖像的性質(zhì)，可知焦點(diǎn)在軸上。所以選B。誤解：設(shè)雙曲線方程為，化簡(jiǎn)得：，代入，，，焦點(diǎn)在軸上。這個(gè)方法沒(méi)錯(cuò)，但確定有誤，應(yīng)，焦點(diǎn)在軸上。誤解：選B，沒(méi)有分組。2.函數(shù)，的最大值是A.1

B.

C.0

D.-1參考答案：A3.在的展開(kāi)式中，x6的系數(shù)是（）A． ﹣27C106 B． 27C104 C．﹣9C106 D．9C104參考答案：D4.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為

（

）A．3

B．4

C．5

D．6

參考答案：A略5.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行,則(

)A

B.

C.1

D.參考答案：C6.已知F1,F2是定點(diǎn)，|F1F2|=8,動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=10，則點(diǎn)M的軌跡是(

)A、橢圓

B、直線

C、圓

D、線段參考答案：A略7.在△ABC中，點(diǎn)O是BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若,則的最大值為

(

）A．

1

B．

C．

D．2參考答案：A8.已知曲線f（x）=在點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率為1，則實(shí)數(shù)a的值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后求出f'（1）=1，進(jìn)而求出a的值．【解答】解：∵f'（x）=，曲線f（x）=在點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率為1，∴f'（1）==1解得：a=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及導(dǎo)數(shù)與斜率的關(guān)系，比較容易，屬于基礎(chǔ)題．9.某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入家庭125戶(hù)，中等收入家庭280戶(hù)，低收入家庭95戶(hù)．為了調(diào)查社會(huì)購(gòu)買(mǎi)力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取1個(gè)容量為100戶(hù)的樣本，記作①；某學(xué)校高一年級(jí)有12名女排運(yùn)動(dòng)員，要從中選出3名調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，記作②.那么完成上述兩項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用的抽樣方法是（

）A．①用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法；②用系統(tǒng)抽樣法B．①用分層抽樣法；②用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法C．①用系統(tǒng)抽樣法；②用分層抽樣法D．①用分層抽樣法；②用系統(tǒng)抽樣法參考答案：B對(duì)于①，總體由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差異明顯的3部分組成，而所調(diào)查的指標(biāo)與收入情況密切相關(guān)，所以應(yīng)采用分層抽樣法．對(duì)于②，總體中的個(gè)體數(shù)較少，而且所調(diào)查內(nèi)容對(duì)12名調(diào)查對(duì)象是“平等”的，所以適宜采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法．10.是定義在上的以3為周期的偶函數(shù)，且，則方程在區(qū)間內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是

（

）A.5

B.4

C.3

D.2參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{an}滿足等于

。參考答案：16或-812.已知向量且與互相垂直，則k的值是________.參考答案：略13.函數(shù)f（x）=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是．參考答案：2【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，直接解方程即可得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)x≤0時(shí)，由f（x）=0得x2﹣2=0，解得x=或x=（舍去），當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）=0得2x﹣6+lnx=0，即lnx=6﹣2x，作出函數(shù)y=lnx和y=6﹣2x在同一坐標(biāo)系圖象，由圖象可知此時(shí)兩個(gè)函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，對(duì)于比較好求的函數(shù)，直接解方程f（x）=0即可，對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)，由利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．14.若曲線在處的切線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)等于 ．參考答案：215.在拋物線上取橫坐標(biāo)為的兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時(shí)與拋物線和圓相切，則拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．參考答案：16.設(shè)向量與的夾角為，且，，則_

參考答案：略17.已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是BC1的中點(diǎn)，P是BB1一動(dòng)點(diǎn)，則（AP+MP）2的最小值為．參考答案：【考點(diǎn)】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題．【專(zhuān)題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)題意可得：可以把平面BCC1B1展開(kāi)，根據(jù)圖象可得AP+MP取最小值，則A，P，M三點(diǎn)共線，所以AP+MP的最小值為AM，再結(jié)合題意求出答案即可．【解答】解：根據(jù)題意可得：可以把平面BCC1B1展開(kāi)，若AP+MP取最小值，則A，P，M三點(diǎn)共線，所以AP+MP的最小值為AM，因?yàn)檎襟wABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是BC1的中點(diǎn)，所以|AM|==，所以（AP+MP）2的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間中點(diǎn)之間的距離，解決此題的關(guān)鍵是能夠把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在邊長(zhǎng)為2（單位：m）的正方形鐵皮的四周切去四個(gè)全等的等腰三角形，再把它的四個(gè)角沿著虛線折起，做成一個(gè)正四棱錐的模型．設(shè)切去的等腰三角形的高為xm．（1）求正四棱錐的體積V（x）；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，正四棱錐的體積V（x）取得最大值？參考答案：解（1）設(shè)正四棱錐的底面中心為O，一側(cè)棱為AN．則由于切去的是等腰三角形，所以AN=，NO=1﹣x，在直角三角形AON中，AO===，所以V（x）=??[2（1﹣x）]2?=（1﹣x）2，（0＜x＜1）．

（不寫(xiě)0＜x＜1扣1分）（2）V′（x）=[（2x﹣2）+]=（x﹣1），令V′（x）=0，得x=1（舍去），x=．當(dāng)x∈（0，）時(shí)，V′（x）＞0，所以V（x）為增函數(shù)；當(dāng)x∈（，1）時(shí)，V′（x）＜0，所以V（x）為減函數(shù)．所以函數(shù)V（x）在x=時(shí)取得極大值，此時(shí)為V（x）最大值．答：當(dāng)x為m時(shí)，正四棱錐的體積V（x）取得最大值．略19.在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2．（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積V；（2）若F為PC的中點(diǎn)，求證PC⊥平面AEF．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】（1）利用直角三角形的邊角關(guān)系可得BC，CD．SABCD=，利用V=S四邊形ABCD×PA，即可得出．（2）在Rt△ABC，∠BAC=60°，可得AC=2AB，PA=CA，又F為PC的中點(diǎn)，可得AF⊥PC．利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理可得：CD⊥PC．利用三角形的中位線定理可得：EF∥CD．于是EF⊥PC．即可證明PC⊥平面AEF．【解答】（本題滿分12分）解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴BC=，AC=2．在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，∴CD=2，AD=4．∴SABCD==．則V=．…．（6分）（2）∵PA=CA，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，∴AF⊥PC．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．∵E為PD中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，∴EF∥CD．則EF⊥PC．∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、直角三角形的邊角關(guān)系、四棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20.已知.（1）若在(0,+∞)有唯一零點(diǎn)，求a值；（2）求在[0,1]的最小值.參考答案：（1）（2）【分析】（1）先由得，令，用導(dǎo)數(shù)的方法求其最小值，進(jìn)而可得出結(jié)果；（2）先對(duì)求導(dǎo)，分別討論，，三種情況，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由得，令，，由得；所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故因?yàn)樵谟形ㄒ涣泓c(diǎn)，所以只需與直線有一個(gè)交點(diǎn)，.（2），.當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因此最小值為；當(dāng)時(shí)，由得；由得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因此；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；因此，最小值為；綜上，.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的零點(diǎn)，最值等，屬于?？碱}型.21.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使PB⊥平面DEF？證明你的結(jié)論．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【專(zhuān)題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（I）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PA∥平面BDE．（II）由已知求出平面BDE的一個(gè)法向量和平面DEC的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值．（Ⅲ）由已知得PB⊥DE，假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F，使PB⊥平面DEF，設(shè)，（0＜λ∠1），由此利用向量法能求出在棱PB上存在點(diǎn)F，PF=，使得PB⊥平面DEF．【解答】（I）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=DC=2，則A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），=（2，0，﹣2），=（0，1，1），，設(shè)是平面BDE的一個(gè)法向量，則由，得，取y=﹣1，得．∵=2﹣2=0，∴，又PA不包含于平面BDE，PA∥平面BDE，（II）解：由（Ⅰ）知=（1，﹣1，1）是平面BDE的一個(gè)法向量，又==（2，0，0）是平面DEC的一個(gè)法向量．設(shè)二面角B﹣DE﹣C的平面角為θ，∴cosθ=cos＜，＞=．故二面角B﹣DE﹣C的余弦值為．（Ⅲ）解：∵=（2，2，﹣2），=（0，1，1），∴=0，∴PB⊥DE，假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F，使PB⊥平面DEF，設(shè)，（0＜λ∠1），則=（2λ，2λ，﹣2λ），==（2λ，2λ，2﹣2λ），由=0，得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，∴∈（0，1），此時(shí)PF=，即在棱PB上存在點(diǎn)F，PF=，使得PB⊥平面DEF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角余弦值的求法，考查滿足直線與平面垂直的點(diǎn)的位置的確定，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．22.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知A=，bsin（+C）﹣csin（+B）=a，（1）求證：B﹣C=（2）若a=，求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】解三角形．【分析】（1）通過(guò)正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)已知表達(dá)式，推出B﹣C的正弦