數學史融入函數中的概念教學的案例設計,高中數學論文

數學史融入函數中的概念教學的案例設計,高中數學論文本篇論文目錄導航：【題目】【第一章】【第二章】【第三章】【4.1】數學史融入函數中的概念教學的案例設計【4.2】【4.34.4】【第五章】【總結/以下為參考文獻】第4章數學史融入高中數學的概念教學的案例分析從前面的研究及實際情況來看，將數學史附加于數學教學的做法并不能被多數學生認可。假如數學史給學生帶來的只是興趣，那么他們寧可花這些時間多做幾道題目。并且在應用數學史的層次上，只是停留在激發(fā)興趣的層面顯然是不夠的。所以，怎樣提高應用數學史的層次，使得數學史材料能讓學生對數學概念的理解有所幫助，是當前需要解決的焦點問題。也就是講需要挖掘數學史的深層次的作用，使得數學史真正融入高中數學的概念教學之中。而對于老師而言，也需盡可能的簡單易行可操作。為此，筆者嘗試對高中數學概念教學中幾個常見難點進行了數學史融入的相關教學設計，希望能構成一個教學形式。4.1數學史融入函數中的概念教學的案例設計(普通高中數學課程標準〕指出數學課堂教學應努力揭示數學概念、結論發(fā)展經過，體會蘊涵在華而不實的數學方式方法，追尋數學發(fā)展的歷史足跡，把數學的學術形態(tài)轉化成學生容易接受的教育形態(tài)。章建躍先生提出，老師必須特別重視數學概念教學，尤其是數學核心概念的教學。如何合理、有效地設計、組織教學，有利于學生更好地理解數學概念？這是值得每一位老師考慮和研究的課題。事實上，數學概念并非憑空而來。我們所學的數學概念，大都有著各自產生的背景和發(fā)展演變的經過，其間凝聚了數學家們的心血和智慧。對數是函數這一章節(jié)中的核心概念之一，對數概念的學習一直是高中學生學習數學的一大障礙。很多學生直到高考都沒有真正理解對數的概念，一看見對數就犯怵。M.克萊因以為，歷史上很多大數學家所碰到的困難，也正是學生也會碰到的學習障礙，因而歷史是教學的指南。他以為：教學材料中的字斟句酌的敘述，沒有能表現出創(chuàng)造經過中的斗爭、挫折，以及在建立一個可觀的構造之前，數學家所經歷的艱辛漫長的道路。而學生一旦認識到這些，他將不僅獲得真知灼見，還將獲得頑強地追查他所攻問題的勇氣，并且不會由于他自個的工作并非完美無缺而感到頹廢。因而，筆者嘗試運用數學史的有效融入方式，結合學情，對教學資料進行二次開發(fā),采用重構式教學方式方法，促進學生理解對數概念。4.1.1創(chuàng)設情境，引出新知4.1.2以史為鑒，追根索源師：我們首先來看看數學家們是怎樣來解決這個問題的。對數的基本思想能夠追溯到遙遠的古希臘時代，那個時候，阿基米德〔Archimedes,公元前287~公元前212年〕就已經研究過幾個10的連乘積和10的個數之間的關系，用當代的表示出形式來看，就是研究了這樣兩個數列：他發(fā)現它們之間有某種對應關系，但是阿基米德固然發(fā)現了規(guī)律，卻沒有把這項工作繼續(xù)下去，失去了對數破土而出的時機。15、16世紀的歐洲，航海和貿易的迅速發(fā)展，極大地推動了天文學和三角學的進步。十分是地理探險需要更為準確的天文知識，為了確定行星的位置或制作天文數表，往往要花上幾天甚至幾個月的時間進行計算。對計算速度和準確性的要求與日俱增，人們希望將乘、除、乘方、開方歸納為簡單的加、減、乘、除來實現。15世紀，法國數學家許凱〔N.Chuquet,1445~1488〕在兩個數列中也發(fā)現了類似的對應規(guī)律。他在其著作(算學三部〕中給出了雙數列之間的對應關系：上一列數之間的乘、除運算結果對應于下一列數之間的加、減運算結果，如4?32=128,對應于2+5=7.16世紀，德國數學家斯蒂菲爾〔M.Stifel,1487~1567〕針對雙數列更明確地提出了上一列數的乘、除、乘方和開方四種運算法則。還有其他很多數學家也發(fā)現了這樣的規(guī)律，但是由于種種原因，十分是分數指數還沒有得到認識，所以他們也沒有發(fā)明對數。那同學們，我們剛剛學習了分數指數冪，比這些古時候的大數學家們把握了更豐富的數學知識，我們是不是一起來發(fā)明對數呢？請學生先觀察剛剛的兩組數，到底阿基米德、斯蒂菲爾等數學家發(fā)現了如何的規(guī)律呢？組織學生進行分組討論，老師適當引導，要求結合指數運算法則。得出結論：下面一列數的加減運算結果與上面一列數的乘除運算結果有一種對應關系。師：能否用一個指數的運算法則來表述這個關系？生：同底數冪相乘，底數不變，指數相加。師：很好，看來同學們對前面的內容把握的不錯。那么，時間的長河流至16世紀至17世紀初，這個時期，各個領域的科學知識都在急速地發(fā)展。但是，這些科學知識發(fā)展也帶來了龐大的數學計算需求。十分是天文學、航海學、商業(yè)貿易、工程和軍事，它們對于計算速度和準確率的要求與日俱增。這個時期，哥白尼的太陽中心講開場流行，導致天文學成為當時最熱門的學科之一，以精到準確測量為基礎的天文學的隨之興起，天文學家們不得不去計算那些冗雜的天文數字,這些超復雜的計算消耗損費了他們大量的精神，有的天文學家甚至浪費了畢生的難得珍貴時間。比方，為確定一顆星球的位置，天文學家經常在計算上花去好幾個月的時間。面對這樣驚人的數字，這么笨拙的計算方式方法，如何才能簡化運算，能不能用加減運算來代替原來的乘法運算，就成了當時人們，十分是數學家們迫切需要考慮的問題。我們能不能一起來解決這樣一個問題呢？剛剛第二組數據中，第一行表示2的對應冪，第二行表示2的指數，那么，假如我們要計算第一行中兩個數的乘積，就能夠通過第二行中對應數字的加和減來實現。比方，計算16?64的值，就能夠先查詢第二行的對應數字：16對應4,64對應6,然后再把第二行中的對應數字加起來：4+6=10,第二行中的10對應第一行中的1024,所以有：16?64=1024.也就是講假如我們有類似這樣一張表格，就能夠通過指數的加減運算來得到冪的積或商。那在詳細施行的經過中，我們最好能把指數表示出來。也就是講假如N能夠用ba來表示，那么b能夠用N表示嗎？教學意圖：提供對數知識歷史背景和原始問題，加強真實感，引發(fā)學生進行探究，追溯數學家發(fā)現對數的經過，通過觀察分析表格中雙數列對應關系，使學生深入認識到對數對簡化運算的重大作用和引進對數的必要性。同時，通過豐富的情景和動人的數學家的歷史故事，激發(fā)學生的求知欲和創(chuàng)造欲。4.1.3以史促思，建構概念后來，英國數學家納皮爾〔J.Napier,1550~1617〕遭到上述表格的啟發(fā)，發(fā)現了能夠利用這個規(guī)律來簡便運算的有效工具，于1614年出版(巧妙的對數定理講明書〕，這標志著對數的誕生。為了這一劃時代意義的發(fā)明，納皮爾整整花費了二十多年時間！他把b稱為N的對數,今天，我們仍然沿用這個稱呼，把b稱為以a為底N的對數。17世紀，笛卡兒〔R.Descartes,1596~1650〕發(fā)明了冪的記號，指數概念才應運而生。直到17世紀末，才有人認識到對數能夠定義為冪指數。之后，歐拉〔L.Euler,1707~1783〕深入揭示了指數與對數之間的密切聯(lián)絡，并創(chuàng)教學意圖：引導學生在指數式與對數式之間進行互化的經過中，進一步認識對數概念的本質，加深對對數概念的理解，把握其互化方式方法。從中讓學生感受轉化與化歸思想方式方法，學會用聯(lián)絡的觀點分析問題和處理問題。4.1.4以史為鏡，深化理解為了使納皮爾發(fā)明的對數能夠更方便地被人們使用，對數歷史上的另一位重要人物英國數學家布里格斯〔Briggs,Henry,1561~1630〕和納皮爾決定把10作為對數的底。納皮爾逝世后，布里格斯又對納皮爾的對數進行了改良，他把10進行了54次的開平方后，得到了一個略大于1的數，并取10作為對數的底，造出了常用對數表。比方考慮2中的〔3〕，底數為10,這樣的以10為底的對數就稱為常4.1.5以史啟真，誘發(fā)再探師：1971年的5月15日,尼加拉瓜發(fā)行了一套名為改變世界相貌的十個數學公式的數學紀念郵票,華而不實就有我們剛剛學習的納皮爾指數與對數關系公式。拉普拉斯曾經講過：對數的發(fā)現，以其節(jié)省勞力而延長了天文學者的生命。伽利略宣稱：給我時間、空間和對數,我能夠創(chuàng)造出一個宇宙來。由此可見，對數在天文學和自然科學中有重要作用。恩格斯把對數的發(fā)明和解析幾何的創(chuàng)造、微積分的建立稱為17世紀數學的三大成就和最重要的數學方式方法.那今天的課堂上我們了解了那些知識呢？生：我們了解了對數的誕生經過，學習了對數的概念，以及指數式、對數式之間的互化。生：指數式、對數式之間的互化中具體表現出了轉化思想。師：同學們暢所欲言的討論，既梳理了指數、對數等相關知識的內容，又尋味了對數發(fā)展史的各個階段所凝聚的思想、智慧與精神。根據研究數與函數的方式方法，接下來研究什么呢？生：對數的運算規(guī)律〔性質〕和對數函數概念及其性質。師：很好！今天我們認識了對數，感遭到了數學家們考慮問題的巧妙歷程和智慧，也感遭到了數學發(fā)展推動人類認識世界的宏大氣力。希望大家課后通過練習，進一步穩(wěn)固、理解和把握對數的概念，明天我們將繼續(xù)來研究對數的一些運算性質，進一步學習這個新的認識世界的工具！教學意圖：課堂小結意在畫龍點睛，讓學生對所學的知識作簡單的回首，了解對數的實際應用價值，體驗華而不實蘊含的數學思想方式方法，并引導學生運用類比的方式方法，猜測對對數進一步研究的方向，誘發(fā)學生產生進行再探究欲望。4.1.6以史定教，凸現重構要真正實現數學史有效地融入數學概念教學中，不僅需要老師注重挖掘數學知識點背后的歷史，深切進入理解數學史的知識意義和方式方法意義，而且需要老師注重結合教學實際和學生的認知水平、數學基本活動經歷體驗，對數學史料進行有效地選擇、加工，運用發(fā)生教學法，采用順應式、重構式等有效的融入方式，將數學史中與所學的對數概念相關思想方式方法融入到新知識引入中，創(chuàng)設以數學史料為背景的問題鏈，引導學生進行自主探究，再現數學歷史原貌，展示對數概念的發(fā)生、發(fā)展經過，讓學生獲得知識的經過中，體驗華而不實蘊含的思想方式方法，促進學生去感悟和建構對數概念，理解對數概念所蘊含的本質特征，加強學習數學的自信心，培養(yǎng)理性考慮和固執(zhí)的探求精神。本節(jié)課應用了大量有關對數的數學史，由于華而不實牽涉數列等一些學生并未學習或接觸過的內容，在講法上作出了一些不影響史實的改動，并從歷史發(fā)生原理出發(fā)，對有關對數知識歷史發(fā)展經過中的關鍵步驟與環(huán)節(jié)，進而對知識的歷史進行重構，使其合適學生認知和課堂教學，并設計一系列由易至難、環(huán)環(huán)相扣的問題。通過重構歷史上對數概念的發(fā)生、發(fā)展經過的方式，引導學生自個建構新概念，進而真正意義上理解對數概念的內涵和本質。老師需要對所教主題的數學歷史知識有深入的理解，才能對知識的歷史進行重構，以史為鑒，擅長把現成的知識復原為現實的問題,創(chuàng)設富有數學歷史背景的問題鏈，讓學生在問題探究和解決中經歷數學知識的發(fā)生、發(fā)展經過，并通過追尋大師的足跡、仰望大師的風采，汲取人類文明中的無窮智慧和堅韌不撥的探究精神。假如僅一知半解、只見樹木不見森林，知識的重構就難以到達自然而然的教學效果，數學史