倍角公式和半角公式

倍角公式和半角公式知識講解倍角公式sin2d=2sinacosa；cos2a=cos2a一sin2a=1一2sin2a=2cos2a-1tan2a=2tana1—tan2a3tana-tan3asin3a=3sma-4sm3a;cos3a=4cos3a-3cosa;tan3a=1一3tan2a二、半角公式.a'1一cosasin=土2a:cos=土21+cosa1+1+cosasina1+cosaa /1一cosatan=土2一cosa sina三、萬能公式sina=2tana2asina=2tana2a1一tan2—21+tan2a2tana.a1+tan2-22tan1-a1一tan2—2四、公式的推導sin2a=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosacos2a=cos(a+a)=cosa-cosa一sina-sina=cos2a一sin2a再利用sin2a+cos2a=1，可得：tana+tana 2tanacos2a=cos2a一sin2a=2cos2a-1tana+tana 2tanatan2a=tan(a+a)=“1一tana-tana 1一tan2a

a

tan=2a

sin2a

tan=2a

sin2a

cos—2I.asin2—2aCOS2—2=±1-cosa1+cosaaaasin2sinsina2 22 1-cosaTOC\o"1-5"\h\ztan= 2= 2 2 一sina\o"CurrentDocument"a a asinacos一2sin—cos一2 2 2aaasina?sin— 2cos—sinsinaa 2 2 2tan= 2= 2 —=2 a a a1+cosacos—2cos—cos—2 2 2aacos—=sin—=0【說明】這里沒有考慮 2 2 ，實際處理題目的時候需要把等于0的情況分出來單獨討論一下．五、綜合運用1.倍角、半角、和差化積、積化和差等公式的運用1）并項功能：1±sin2a=sin2a+cos2a±2sinacosa=(sina±cosa)22）升次功能：cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a3）降次功能：1+cos2a 1—cos2acos2a= ,sin2a=222.三角變換中常用的數(shù)學思想方法技巧有：1）角的變換：和、差、倍、半、互余、互補的相對性，有效溝通條件與結論中角的差異，30°比如：15°=45°-30°=60°-45°= ,2a=(a-p)+p=(a+p)-p=2巴22a=(a+B)+(a-B)=(a+B)-?—a)=(—a)—(—a)442a—B-(a—B)+a-2a— =a—(B—a)I2丿廠3n廠3n——aI4廠2n——aI3廠5n——aI6(n \（n(n（n(nna+——a=—+a+——a=—+a+——a=—<2丿14丿14丿13丿16丿2

函數(shù)名稱的變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)，在三角函數(shù)中正余弦是基礎，通?；袨橄?，變異名為同名；有時可以使用萬能公式將所有函數(shù)名化為正切；常數(shù)代換：在三角函數(shù)運算、求值、證明中，有時需要將常數(shù)轉化為三角函數(shù)值，例如：1=例如：1=sin2a+cos2a=sec2a.nn-tan2a=sin =tan—24冪的變換：降冪是三角變換時常用的方法常用的降幕公式有：cos2a=1+羅加,sin2a=1-c<?s2a但降幕并非絕對，有時也需要對某些式子進行升幕處理，比如1+cos2a=2cos2a,1-cos2a=2sin2a；1土sin2a=(sina土cosa)2；公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應用，例如：tana土tanp=tan(a±p)-(1mtana-tanp)；輔助角公式的運用：在求值問題中，要注意輔助角公式9所在的象限由a,—的符號y=asina+bcosa=\a2+b2sin（a+申）9所在的象限由a,—的符號a確定．

典型例題一，選擇題（共8小題）1.（2018?綿陽模擬）若，則tan2a=（ ）A.■3B.3C. D.tana11,可求tana=-3,可求tana=-3,【解答】解：，tan2a=故選：D.2?（2018?海淀區(qū)校級三模）已知角a的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊落到直線y=-2x上，則cos2a=（ ）A.- B.C. D.-【解答】解：???角a的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊落到直

線y=-2x上，.'.tana=-2,則cos2a=故選：A?）-1是（）?（2018?中山市一模）函數(shù)y=2sin2）-1是（）A?最小正周期為n的偶函數(shù)B?最小正周期為n的奇函數(shù)71 71C.最小正周期為2的偶函數(shù)D?最小正周期為2的奇函數(shù)【解答】解：函數(shù)y=2sin2（x+化簡可得y=-cos(2x+3n)=cos2x???????函數(shù)y是最小正周期T==n的偶函數(shù).故選：A?的結?（2018春?福州期末）化簡果為（ ）的結A?-A?-2B?【C?-1D?1解 答=-2門0=-1故選：c?a（2017春?江西月考）已知a是第二象限角/且3sina+4cosa=0/則tan2=（ ）C?-2D?-

【解答】解：°?°3sina+4cosa=0,aa3tana+4=0，可得：tana=- =，整理可得：2tan22_3tan2-2=0,a???解得：tan亍=2,或-???a是第二象限角，7iaji...kn+斗V》Vkn+2，kGZ，a a?tan2>0，故tan2=2.a)/則cos2a)/則cos2.（2017春?簡陽市期末）已知cosa=,aG（等于（ ）B.-C. D.-【解答】解：T已知cosa= ,aG（),???亍G(V0V0V4n，那么14cosa2an),貝Ucos2=-故選：B??（2017春?西華縣校級期中）如果|cos0|=0cos亍的值等于（ ）A?B?- C?D?-【解答】解：|cos0|=V0V4n,cos0= ,06(1177 0 11779，得cos2=0 ?99，得cos2=??cos2>0，由cos0=2_-1=故選：C?

,cos2x=a,則sinx=( ).（,cos2x=a,則sinx=( )1IaJ2A. B.【解答】解：Tcos2x=a,?°?1-2sin2x=a,可得sin2x=,可得sinxV0,??sinx=-故選：B.二，填空題（共8小題）JT-7,0),則sin2e=-（2018春?浦東新區(qū)期末）若JT-7,0),則sin2e=-【解答】解：Tsin0=-

Tt，且e€(-2,o),??°?sin20=2sin0cos0=故答案為:?3，則sin2a的值為?（2018春?南京期末）已知3，則sin2a的值為_1【解答】解：Ta銳角，且,?sin??sin2a=2sinacosa=2X故答案為：?(2018春?揚州期末)求值：sin75°?cos75°=【解答】解：sin75°?cos75°=故答案為：.（2018?道里區(qū)校級三模）已知tana=-2,則tan2a=_ _【解答】解：T tana= - 2tan2a=故答案為：a.（2017?普陀區(qū)二模）若亍VaVn,sina= ，則tan亍=3Isi^a【解答】解：若WVaVn,sina= ，則cosa=-1Icosasinaa?*.tan2=故答案為：3.tanCt14.（2017春?邗江區(qū)校級期中）已知］_'，則tana的值為-2X2【解答】解：tana==1I彳=-故答案為-.（2016秋?浦東新區(qū)校級期中）已知0是第三象限角，若sin8=-，則0tan2的值為-3 .【解答】解：V0是第三象限角，若sin0=-?cos0=-1ICOS0sinS0?*.tan2=故答案是：-3.CTTOC\o"1-5"\h\z.（2015?閔行區(qū)二模）若cosa= ，且aG（0,n）,則tan2=_ _.【解答】解：Tcosa= ，且aG（0，n）,??sina= ，asma貝ytang=1+CO5「『= = ，故答案為：三，解答題（共8小題）. （ 2014春?瓜州縣校級期中）（1 ）化簡

sin2x14-sinxcosx(2)—個扇形的面積為1,周長為4，則中心角的弧度數(shù)為？【解答】 解 ： ( 1Si?l2X14-SiTLYCOSX=2sinx；(2)設扇形的圓心角的弧度數(shù)為a，圓的半徑為解得：a=2.,△ABC.(2013春?江西校級期末)已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx-COS2X+三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c且f(A),△ABC(I)求角A的大小；(II)若a=7,b=5,求c的值.【解答】解：(I)因為f(x)=\dinxcosx-COS2X+7T=sin(2x-￡)...(6分)兀又f(A)=sin(2A-W)=1,A€(0,n),...(7分)所以 ,1.A=—7T??? 占...(9分)(II)由余弦疋理a2=b2+C2-2bccosA得到，所以C2-5c-24=0…（11分）解得c=-3（舍）或c=8...(13分)所以c=8.（2013?亭湖區(qū)校級二模）已知A,B,C是三角形△ABC三內角，向量，且

(1 )求角A_(1 )求角A_1tanB——2的值.(I1R可)I[cosj4l5rnj4)=1【解答】解(i)v ???sin(月if)=寸???OVAVn???71A=—???2 ) 由71?（2013秋?縉云縣校級期中）已知：sina= ,aG（亍，n）,求sin2a和cos2a的值.【解答】解：sina= ,aw（亍，n）,TOC\o"1-5"\h\z故有cosa=- =故sin2a=2sinacosa=- ；cos2a=1-2sin2a= ..求證：（1）

14-sijixcosx1IcosxsinxX(2)tan〒=【解答】(1 )J等式的右邊1+sinxcosx=左邊，1^sinxcosx成立.( 2 ) 等 式 的1ICOSXsinxx==tan2=左邊，1ICOSX

sinxx成立.?:等式tan2=成立.Ptan2的值.P,tanPtan2的值.P,tan的值都是正值.?已知cosB=- ,(0<P<n)/求：sin2,cos2,P PP【解答】解：°?°0<B<n,^2€(0,2)，sin,cos2

：?cosB=-=2cos22-1,(0<P<n),Aco^=sinp戶cos0.??tan2= =2323?已知sina=Tt a，且a=(2,n),求cos2a,sin2a及sin2的值.【解答】解：Vsina=71，且a=(2,n),12cosa=-=-13,5o119 12o?：cos2a=1-2sin2a=1-1&9=1&9,sin2a=2sinacosa=-1 ,71 CT7T7T由aW(2,n)知，2G(斗,)/25=|1icosa25=a??sin2=a a a24?已知cosa=,a的終邊在第四象限，求sin2,cos2,tan2的值.

【解答】解：a的終邊在第四象限，且cosa=?°?2kn