大學(xué)物理 第5章課件全

同學(xué)們好！第五章角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量角動(dòng)量變化率力矩角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性學(xué)時(shí)：6重要性：大到星系，小到基本粒子都有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；微觀粒子的角動(dòng)量具有量子化特征；角動(dòng)量遵守守恒定律，與空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性相對(duì)應(yīng)。§5.1

角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩一、角動(dòng)量問題：將一繞通過質(zhì)心的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，則由于該系統(tǒng)質(zhì)心速度為零，所以，系統(tǒng)總動(dòng)量為零，系統(tǒng)有機(jī)械運(yùn)動(dòng)，總動(dòng)量卻為零？說明不宜用動(dòng)量來量度轉(zhuǎn)動(dòng)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)量。*引人與動(dòng)量對(duì)應(yīng)的角量——角動(dòng)量（動(dòng)量矩）大?。悍较颍河沂致菪▌t1.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量xyzmo*質(zhì)點(diǎn)對(duì)某參考點(diǎn)的角動(dòng)量反映質(zhì)點(diǎn)繞該參考點(diǎn)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱。o例：玻爾氫原子理論假設(shè)之一：電子對(duì)核的角動(dòng)量量子化oo2.質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一參考點(diǎn)角動(dòng)量的矢量和由第一項(xiàng)：即將質(zhì)點(diǎn)系全部質(zhì)量集中于質(zhì)心處的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，該質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量描述質(zhì)點(diǎn)系整體繞參考點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：第二項(xiàng)：質(zhì)心對(duì)自己的位矢于是反映質(zhì)點(diǎn)系繞質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，與參考點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，描述系統(tǒng)的內(nèi)稟性質(zhì)：第三項(xiàng)：各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心角動(dòng)量的矢量和3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量即對(duì)的角動(dòng)量：轉(zhuǎn)軸角速度剛體上任一質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)軸與其轉(zhuǎn)動(dòng)平面交點(diǎn)繞圓周運(yùn)動(dòng)半徑為轉(zhuǎn)動(dòng)平面剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)：(1)質(zhì)點(diǎn)均在垂直于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，作半徑不同的圓周運(yùn)動(dòng)；

(2)各質(zhì)點(diǎn)的角速度大小相等，且均沿軸向。定義：質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量的大小，稱為質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量。剛體對(duì)z

軸的總角動(dòng)量為：式中剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)z軸的總角動(dòng)量為：對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：式中剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二、剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.定義剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于其各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離的平方之積求和。若質(zhì)量連續(xù)分布，則積分元選?。?.

計(jì)算剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J與剛體總質(zhì)量有關(guān)與剛體質(zhì)量分布有關(guān)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)練習(xí)1.由長(zhǎng)l的輕桿連接的質(zhì)點(diǎn)如圖所示，求質(zhì)點(diǎn)系對(duì)過A垂直于紙面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2.

一長(zhǎng)為的細(xì)桿，質(zhì)量均勻分布，求該桿對(duì)垂直于桿，分別過桿的中點(diǎn)和一端端點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：(1)軸過中點(diǎn)(2)軸過一端端點(diǎn)3.求質(zhì)量m,半徑R

的球殼對(duì)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：取離軸線距離相等的點(diǎn)的集合為積分元4.求質(zhì)量m,半徑R的球體對(duì)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：以距中心，厚的球殼為積分元Ro注意：

對(duì)同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量才具有可加減性。平行軸定理正交軸定理對(duì)平面剛體證明見教材80頁(yè)教材P.81一些均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表練習(xí)求長(zhǎng)L、質(zhì)量m的均勻桿對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解一：解二：解三：三、角動(dòng)量的時(shí)間變化率力矩1、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)位矢合力m定義：2、力矩1)對(duì)參考點(diǎn)的力矩大?。悍较颍悍挠沂致菪▌t2)對(duì)軸的力矩第一項(xiàng)方向垂直于軸，其效果是改變軸的方位，在定軸問題中，與軸承約束力矩平衡。第二項(xiàng)方向平行于軸，其效果是改變繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，稱為力對(duì)軸的矩，表為代數(shù)量：即：力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分量軸與轉(zhuǎn)動(dòng)平面的交點(diǎn)o到力作用點(diǎn)的位矢力對(duì)o

點(diǎn)的力矩在z軸方向的分量注意：1.力矩求和只能對(duì)同一參考點(diǎn)（或軸）進(jìn)行。矢量和代數(shù)和2.3、質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量的時(shí)間變化率對(duì)個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，由可得兩邊求和得于是：質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量的時(shí)間變化率等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力矩的矢量和(合外力矩)注意：合外力矩是質(zhì)點(diǎn)系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。由圖可知[例]質(zhì)量為，長(zhǎng)為的細(xì)桿在水平粗糙桌面上繞過其一端的豎直軸旋轉(zhuǎn)，桿與桌面間的摩擦系數(shù)為，求摩擦力矩。

1)桿的質(zhì)量均勻分布

2)桿的密度與離軸距離成正比解1）解2）設(shè)桿的線密度實(shí)際意義半徑R

，質(zhì)量m的勻質(zhì)圓盤，與桌面間摩擦系數(shù)μ，求摩擦力矩等效簡(jiǎn)化模型：長(zhǎng)R

，線密度總質(zhì)量m

的細(xì)桿本講內(nèi)容：三個(gè)基本概念1.角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系定軸剛體2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3.力矩同學(xué)們好上講內(nèi)容：三個(gè)基本概念1.角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系定軸剛體2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3.力矩§5.2

角動(dòng)量定理一、角動(dòng)量定理的微分形式1.質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的時(shí)間變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受的合力矩0質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量的時(shí)間變化率等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力矩的矢量和。內(nèi)力矩只改變質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量在系內(nèi)的分配，不影響總角動(dòng)量。2.質(zhì)點(diǎn)系3.定軸剛體比較由得是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度。是物體平動(dòng)慣性的量度。改變物體平動(dòng)狀態(tài)的原因改變物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律例:

一定滑輪的質(zhì)量為，半徑為，一輕繩兩邊分別系和兩物體掛于滑輪上，繩不伸長(zhǎng)，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。不計(jì)軸的摩擦，初角速度為零，求滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度隨時(shí)間變化的規(guī)律。已知：求：思路：先求角加速度解：在地面參考系中，分別以為研究對(duì)象，用隔離法，分別以牛頓第二定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律建立方程。以向下為正方向以向上為正方向思考：×+以順時(shí)針方向?yàn)檎较蛩膫€(gè)未知數(shù)：三個(gè)方程？繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，由角量和線量的關(guān)系：解得：

如圖示，兩物體質(zhì)量分別為和，滑輪質(zhì)量為，半徑為。已知與桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，求下落的加速度和兩段繩中的張力。解：在地面參考系中，選取、和滑輪為研究對(duì)象，分別運(yùn)用牛頓定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得：練習(xí)向里+列方程如下：可求解例.

質(zhì)量為M

的勻質(zhì)圓盤，可繞通過盤中心垂直于盤的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，繞過盤的邊緣有質(zhì)量為

m、長(zhǎng)為l的勻質(zhì)柔軟繩索（如圖）。設(shè)繩與圓盤無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，試求當(dāng)圓盤兩側(cè)繩長(zhǎng)差為s

時(shí)，繩的加速度的大小。解：在地面參考系中，建立如圖x坐標(biāo)，設(shè)滑輪半徑為r有：ox1x2sMABrxox1x2sMABrxCBCA用隔離法列方程:(以逆時(shí)針方向?yàn)檎?T1JT2.CAT1mAg.CBT2mBg解得：二、角動(dòng)量定理的積分形式積分形式（有限時(shí)間過程）微分形式(瞬時(shí)效應(yīng))質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系定軸剛體注意:1.力矩對(duì)時(shí)間的積累：角沖量定義：效果：改變角動(dòng)量3.同一式中，等角量要對(duì)同一參考點(diǎn)或同一軸計(jì)算。一定時(shí)間過程的變化量與對(duì)應(yīng)時(shí)間變化率與對(duì)應(yīng)2.比較：一定時(shí)間過程的變化量與對(duì)應(yīng)時(shí)間變化率與對(duì)應(yīng)三、旋進(jìn)——角動(dòng)量定理的應(yīng)用舉例1、陀螺若，則在重力矩作用下，陀螺將繞垂直于板面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，即倒地。(2)當(dāng)時(shí)，重力矩將改變的方向，而不改變的大小(因)。最終效果：陀螺繞豎直軸旋轉(zhuǎn)

——

旋進(jìn)旋進(jìn)角速度2.車輪的旋進(jìn)（演示）討論：

改變的方向，旋進(jìn)方向是否改變？改變配重G，對(duì)旋進(jìn)有什么影響？用外力矩加速（或阻礙）旋進(jìn)，會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？3.回轉(zhuǎn)儀實(shí)驗(yàn)：如圖所示的杠桿陀螺儀。當(dāng)陀螺儀高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，移動(dòng)平衡物B，桿不會(huì)傾斜，而是在水平面內(nèi)繞O旋轉(zhuǎn)。這種運(yùn)動(dòng)稱為旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)，它是在外力矩作用下產(chǎn)生的回轉(zhuǎn)效應(yīng)。4、炮彈的旋進(jìn)c5、旋進(jìn)現(xiàn)象在自然界廣泛存在：地球的旋進(jìn)；用電子在外磁場(chǎng)中的旋進(jìn)解釋物質(zhì)的磁化的本質(zhì)；…...大作業(yè)：物理現(xiàn)象的觀察和分析錄象：1-2-9②角動(dòng)量定理

1-2-9③角動(dòng)量守恒同學(xué)們好！§5.3

角動(dòng)量守恒定律一、角動(dòng)量守恒定律分量式：對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，當(dāng)時(shí)，由角動(dòng)量定理：當(dāng)時(shí)，恒矢量研究對(duì)象：質(zhì)點(diǎn)系當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受外力對(duì)某參考點(diǎn)（或軸）的力矩的矢量和為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該參考點(diǎn)（或軸）的角動(dòng)量守恒。角動(dòng)量守恒定律：注意1.守恒條件：或能否為2.與動(dòng)量守恒定律對(duì)比：當(dāng)時(shí)，恒矢量恒矢量當(dāng)時(shí)，彼此獨(dú)立請(qǐng)看:貓剛掉下的時(shí)候，由于體重的緣故，四腳朝天，脊背朝地，這樣下來肯定會(huì)摔死。請(qǐng)你注意，貓狠狠地甩了一下尾巴，結(jié)果，四腳轉(zhuǎn)向地面，當(dāng)它著地時(shí)，四腳伸直，通過下蹲，緩解了沖擊。那么，甩尾巴而獲得四腳轉(zhuǎn)向的過程，就是角動(dòng)量守恒過程。為什么貓從高處落下時(shí)總能四腳著地？

角動(dòng)量守恒現(xiàn)象舉例適用于一切轉(zhuǎn)動(dòng)問題，大至天體，小至粒子...直升飛機(jī)的尾翼要安裝螺旋槳？為什么銀河系呈旋臂盤形結(jié)構(gòu)？體操運(yùn)動(dòng)員的“晚旋”芭蕾、花樣滑冰、跳水…...茹科夫斯基凳實(shí)驗(yàn)例.

一半徑為R、質(zhì)量為

M的轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng),質(zhì)量為m的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣，最初人和臺(tái)都靜止。若人沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣跑一周(不計(jì)阻力)，相對(duì)于地面，人和臺(tái)各轉(zhuǎn)了多少角度？R選地面為參考系，設(shè)對(duì)轉(zhuǎn)軸人：J,;臺(tái)：J′,′解：系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。以向上為正：設(shè)人沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣跑一周的時(shí)間為t：人相對(duì)地面轉(zhuǎn)過的角度：臺(tái)相對(duì)地面轉(zhuǎn)過的角度：二.有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)物體在有心力作用下的運(yùn)動(dòng)力的作用線始終通過某定點(diǎn)的力力心有心力對(duì)力心的力矩為零，只受有心力作用的物體對(duì)力心的角動(dòng)量守恒。應(yīng)用廣泛，例如：天體運(yùn)動(dòng)（行星繞恒星、衛(wèi)星繞行星...）

微觀粒子運(yùn)動(dòng)（電子繞核運(yùn)動(dòng)；原子核中質(zhì)子、中子的運(yùn)動(dòng)一級(jí)近似；加速器中粒子與靶核散射...）例.

P.1005-18解：衛(wèi)星~質(zhì)點(diǎn)m

地球~均勻球體對(duì)稱性：引力矢量和過地心對(duì)地心力矩為零衛(wèi)星

m

對(duì)地心o

角動(dòng)量守恒O

dFmdmdm’dF1dF2h2h1已知:地球R=6378km

衛(wèi)星近地:h1=439km

v1=8.1kms-1

遠(yuǎn)地:h2=238km

求

:v2衛(wèi)星m對(duì)地心o

角動(dòng)量守恒增加通訊衛(wèi)星的可利用率探險(xiǎn)者號(hào)衛(wèi)星偏心率高近地遠(yuǎn)地h2h1地球同步衛(wèi)星的定點(diǎn)保持技術(shù)衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面傾角為零嚴(yán)格同步條件軌道嚴(yán)格為圓形運(yùn)行周期與地球自轉(zhuǎn)周期完全相同（23小時(shí)56分4秒）地球扁率，太陽(yáng)、月球攝動(dòng)引起同步衛(wèi)星星下點(diǎn)漂移（p.43圖3.5-8)用角動(dòng)量、動(dòng)量守恒調(diào)節(jié)~定點(diǎn)保持技術(shù)研究微觀粒子相互作用規(guī)律自學(xué)教材P.94[例五]三、角動(dòng)量守恒與空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性（了解）空間絕對(duì)位置是不可測(cè)量的空間具有平移對(duì)稱性動(dòng)量守恒空間絕對(duì)方向是不可測(cè)量的

空間具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性角動(dòng)量守恒空間各向同性：各方向?qū)ξ锢矶傻葍r(jià)。孤立系統(tǒng)在某個(gè)角位置具有角動(dòng)量，則在其它角位置也應(yīng)具有相同的角動(dòng)量，即孤立系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。當(dāng)有力矩作用于質(zhì)點(diǎn)系時(shí)，力矩的方向?yàn)橐豢蓽y(cè)量方向，空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性發(fā)生破缺。因此，角動(dòng)量將不再守恒，其規(guī)律為角動(dòng)量定理：第五章角動(dòng)量角動(dòng)量守恒習(xí)題課復(fù)習(xí)提要：一、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二、角動(dòng)量

質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系定軸剛體三、力矩

質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系定軸剛體五、角動(dòng)量守恒四、角動(dòng)量定理例.已知：兩平行圓柱在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，求：接觸且無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí).o1m1R1.o2R2m2o1.o2.解一：因摩擦力為內(nèi)力，外力過軸，外力矩為零，則：J1+J2系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，以順時(shí)針方向?yàn)檎航佑|點(diǎn)無(wú)相對(duì)滑動(dòng)：又：聯(lián)立1、2、3、4式求解，對(duì)不對(duì)？o1.o2.問題：(1)式中各角量是否對(duì)同軸而言？

(2)J1+J2

系統(tǒng)角動(dòng)量是否守恒？問題：(1)式中各角量是否對(duì)同軸而言？

(2)J1+J2

系統(tǒng)角動(dòng)量是否守恒？分別以m1,m2

為研究對(duì)象，受力如圖：o2F2o1.F1f1f2系統(tǒng)角動(dòng)量不守恒！解二：分別對(duì)m1,m2用角動(dòng)量定理列方程設(shè)：f1=f2=f，以順時(shí)針方向?yàn)檎齧1對(duì)o1軸：m2對(duì)o2軸：接觸點(diǎn)：o2F2o1.F1f1f2聯(lián)立各式解得：解一：m

和m2系統(tǒng)動(dòng)量守恒

mv0=(m+m2)v解二：m

和(m+m2)系統(tǒng)動(dòng)量守恒mv0=(m+m1+m2)v解三：mv0=(m+m2)v+m12v以上解法對(duì)不對(duì)？m2m1mA例.

已知：輕桿，m1=m,m2=4m,油灰球m，

m以速度v0撞擊m2，發(fā)生完全非彈性碰撞

求：撞后m2的速率v?因?yàn)橄嘧矔r(shí)軸A作用力不能忽略不計(jì)，故系統(tǒng)動(dòng)量不守恒。因?yàn)橹亓Α⑤S作用力過軸，對(duì)軸力矩為零，故系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。由此列出以下方程：或：得：m2m1mNyNxA注意：區(qū)分兩類沖擊擺

水平方向：Fx=0，px

守恒

mv0=(m+M)v

對(duì)o

點(diǎn)：，守恒mv0l=(m+M)vl質(zhì)點(diǎn)

定軸剛體（不能簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)）olmMFyFx(2)軸作用力不能忽略，動(dòng)量不守恒，但對(duì)o

軸合力矩為零，角動(dòng)量守恒(1)olmM質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)柔繩無(wú)切向力回顧作業(yè)P.724-10mMFOA、B、C系統(tǒng)不守恒；A、B、C系統(tǒng)對(duì)o軸角動(dòng)量守恒回顧作業(yè)P724-11C

BNxNyAo練習(xí)：已知m=20克，M=980克,v0=400米/秒，繩不可伸長(zhǎng)。求m

射入M

后共同的v=?哪些物理量守恒？請(qǐng)列方程。解：m、M系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒（Fx=0)豎直方向動(dòng)量不守恒（繩沖力不能忽略）對(duì)o

點(diǎn)軸角動(dòng)量守恒（外力矩和為零）omM或：v=4m·s-1得：解：碰撞前后AB棒對(duì)O的角動(dòng)量守恒思考：碰撞前棒對(duì)O角動(dòng)量L=?

碰撞后棒對(duì)O角動(dòng)量=？例.

已知：勻質(zhì)細(xì)棒m,

長(zhǎng)2l

；在光滑水平面內(nèi)以v0

平動(dòng)，與支點(diǎn)O

完全非彈性碰撞。

求：碰后瞬間棒繞O

的v0clBAl/2l/2

O撞前：(1)(2)各微元運(yùn)動(dòng)速度相同，但到O距離不等，棒上段、下段對(duì)軸O角動(dòng)量方向相反設(shè)垂直向外為正方向，總角動(dòng)量：質(zhì)元角動(dòng)量：線密度：取質(zhì)元：xdm-l/23l/2撞后：令得：例.

P.1005-17