拉普拉斯變換LAPLACE TRANSFORM

LAPLACETRANSFORM1歷史的回顧——小結(jié)線性電路分析一、電阻電路的直流分析：二、低階動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析：拉普拉斯變換法是分析線性電路的最有效工具。列、解微分方程：較難。1、列；2、解：定動(dòng)態(tài)元件的初態(tài)狀態(tài)[uC(0+)、iL(0+)]和定積分常數(shù)。三、正弦穩(wěn)態(tài)分析：四、非正弦周期函數(shù)的諧波分析：五、非周期函數(shù)電路的傅立葉積分：

T→∞時(shí)的“周期函數(shù)”，廣泛用于信號(hào)處理：諧波分析，頻率響應(yīng)，失真，帶寬等計(jì)算。但，1、有時(shí)傅立葉積分不收斂；2、初始條件的處理；頻域分析：相量法。優(yōu)點(diǎn)：物理概念明確。2§13-1拉普拉斯變換的定義一、定義：又稱復(fù)頻率。f(t)與F(s)

相對(duì)應(yīng)定義在[0，∞]區(qū)間的函數(shù)f(t)，其對(duì)應(yīng)的拉氏變換式為：為復(fù)數(shù)，F(xiàn)(s)是f(t)的象函數(shù)f(t)是F(s)的原函數(shù)時(shí)域復(fù)頻域3二、拉氏變換存在定理：三、拉氏反變換：時(shí)域復(fù)頻域1、在t≥0的任一有限區(qū)間均分段連續(xù)；2、存在正的有限值常數(shù)M、c，使得則總可以找到合適的s值，使符號(hào)：約定：的積分收斂。4例13-1求象函數(shù)：

（1）單位階躍函數(shù)：（2）單位沖激函數(shù)：（3）指數(shù)函數(shù)：=15§13-2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)一、線性性質(zhì)：證明：略。例13-2若（1）（2）上述函數(shù)的定義域?yàn)閇0，∞]，求其象函數(shù)。解：（1）（2）6二、微分性質(zhì)：若則證：令積分分部積分法7例13-3

求象函數(shù)：（1）（2）二、微分性質(zhì)：解：8三、積分性質(zhì)：證明：分部積分法對(duì)前半式：上式證畢。若則令分子分子9例13-4

利用積分性質(zhì)求f(t)=t

象函數(shù)。解：四、延遲性質(zhì)：證畢。若則其中t＜t0時(shí)，證明：令10

∴

t

＞s時(shí)，t(t-s)將隨t

單調(diào)增長，即t→∞，et(t-s)→∞,例13-5

求矩形脈沖的象函數(shù)。解：由線性和延遲性τA0tf(t)例求：的象函數(shù)。對(duì)于任意大的s，∵值固定，上式無意義，∴積分不存在。不存在象函數(shù)。11練習(xí)13-1(1、3、5、7)。12§13-3拉普拉斯反變換一、查表法：二、部分分式展開法：若象函數(shù)F(s)為有理式，則可以寫成式中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù)，且電路分析中,m≤n。上式我們用部分分式展開法展開真分式，這時(shí)，需求出D(s)=0的根，其根有多種形式：131、單根：N個(gè)單根為p1、p2………pn

。②同理可得：Ki為待定之系數(shù)。二、部分分式展開法：①將上式兩邊乘以(s-p1)，令s=p1，代入上式，先約分，后代數(shù)。14例13-6

求的原函數(shù)。解：有根15③我們重新研究下式：必有不定式0/0，這就可用羅必達(dá)法則。再做例13-6結(jié)果同上。1、單根：N個(gè)單根為p1、p2………pn

。16∵F(s)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式之比，故K1，K2共軛。而對(duì)應(yīng)于f(t)則有兩項(xiàng)為在F(s)的展開式中，包含設(shè)2、共軛復(fù)根：，則K2必為二、部分分式展開法：17例13-7

求的原函數(shù)。思考：K1、K2不分先后，θ角如何確定呢？D(s)=0的根p1、2=-1±j2；解：一般由虛部為正的根來確定。四要素：K1的模和幅角，根的實(shí)部和虛部。183、重根：設(shè)有三重根，兩邊均乘以(s-p1)3。①K11：②K12：將上式對(duì)s求導(dǎo)。③K13：二、部分分式展開法：19解：顯而易見，有三重根-1，兩重根0，故求K2：求K1：的原函數(shù)。例13-8

求得乘乘s2得三、卷積法：四、留數(shù)法：20練習(xí)13-2(1、3)、13-3(1、3)、13-4。21練13-3（4）解：求原函數(shù)。22拉普拉斯法又稱運(yùn)算法，將電路中時(shí)域電流電壓變換成其對(duì)應(yīng)的復(fù)頻域拉氏變換的形式稱為運(yùn)算電路。對(duì)任一回路，KVL的運(yùn)算形式:∑U(s)=0對(duì)任一結(jié)點(diǎn)，KCL的運(yùn)算形式:∑I(s)=0由拉氏變換的線性性質(zhì)，易得：對(duì)任一回路，時(shí)域∑u(t)=0，對(duì)任一結(jié)點(diǎn)，時(shí)域∑i(t)=0，1、拓?fù)浼s束：一、運(yùn)算形式的兩種電路約束：§13-4運(yùn)算電路23時(shí)域2、元件約束：又可以改寫為：（2）電感：sL：運(yùn)算感抗，Li(0-)：附加電壓源。：運(yùn)算感納，+

U(s)

-I(s)R+u(t)

-iR（1）電阻：取拉氏變換i(t)+-Lu(t)

微分性質(zhì):為附加電流源。+_+-sLI(s)U(s)I(s)+_U(s)24（3）電容：對(duì)偶。注意各種符號(hào)的含義：一般用容抗形式，+

u

-iCsCCuC(0-)I(s)U(s)+_+_容納U(s)+_I

(s)+_1sCuC(0-)s25a、附加電源極性由i1，

i2決定；（4）互感：b、受控源極性由同名端決定。i2u111'i1+u2－2'2L2**M+－L111'2'2+－sL1sL2+++++－－－－－－++－注意：26（5）受控源：CCVS:UK(s)=rIG(s)VCCS:IE(s)=gUF(s)VCVS:UA(s)=μUB(s)CCCS:IM(s)=βIN(s)27在零狀態(tài)下，則，二、運(yùn)算電路：為歐姆定律的運(yùn)算形式。即運(yùn)算電路易得+_+_RLCS+_+_RsL+_

sC1時(shí)域電路283、求反變換得時(shí)域解?！?3-5用運(yùn)算法分析線性電路運(yùn)算法三步曲：1、由時(shí)域電路列出對(duì)應(yīng)的運(yùn)算電路；2、求解運(yùn)算電路，得I(s),U(s)；29例13-9

原電路處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開關(guān)S閉合，求i1(t)。②解：單個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)，用彌爾曼定理。①作運(yùn)算電路圖：+_1V1ΩCi1(t)St=01H1Ω1F解：+_1I1(s)s1+_sC1suC(0-)s1s1s1A30故共軛復(fù)根：即有單根：③求反變換：31

練13-6

已知iL(0-)=0A,求t

＞0時(shí)的uL(t)。②求UL(s)：解：+_+_10e-tV4Ω4Ω_+u12u11H+_uL(t)St=0+_+_44_+U1(s)s+_s+1102U1(s)UL(s)①作運(yùn)算圖：先用彌爾曼公式求U1(s)

，后UL(s)=3U1(s)

，移項(xiàng)，③時(shí)域：32例13-10RC并聯(lián)電路中激勵(lì)為iS(t)，②彌爾曼公式求U(s):（1）①作運(yùn)算電路圖:（這兩種響應(yīng)分別為階躍和沖激響應(yīng)，故為零狀態(tài)響應(yīng)）。求響應(yīng)u(t)。

iS(t)CR+_u(t)解：③求反變換：

IS(s)R+_U(s)sC1s133（2）

①作運(yùn)算電路圖:解：②求U(s):③求反變換：

IS(s)R+_U(s)sC11例13-10RC并聯(lián)電路中激勵(lì)為iS(t)，求響應(yīng)u(t)。34對(duì)于動(dòng)態(tài)元件一定要注意附加電源。請(qǐng)注意分母中（2s+5）的s的系數(shù)2。例13-11

電路原處于穩(wěn)態(tài)，求t≥0時(shí)uL(t)。本題：iL(0-)=1A①作運(yùn)算電路圖：用彌爾曼公式+_+_5Ω5Ω1H_+uL(t)iL(t)S5Vt=02e-2tV解：+_+_55s_+UL(s)s+22s5_+L.iL(0-)1②求UL(s):35方法一：分母求導(dǎo)法。③求反變換：方法二：約分法。Why?36在例13-3中，分母D(s)=0的求根是將D(s)分解因式，而每一因式為(s-pi)，s前無系數(shù);如有系數(shù)，則應(yīng)和分子約去?！嘟Y(jié)果同前：于是，③求反變換：方法二：約分法。37練習(xí)13-7、13-10、13-11、13-16。38例13-12

求t=0時(shí)開關(guān)閉合后的i1(t),i2(t)。又互感可以用受控源法處理，得∴均無附加電源。∵動(dòng)態(tài)元件均無初始儲(chǔ)能，①作運(yùn)算電路圖：+_0.1H0.1H1Ω1Ω0.05H﹡﹡S1Vt=0i1(t)i2(t)解：_+0.1s110.05sI2(s)s10.1s++__0.05sI1(s)I1(s)I2(s)②求I1(s)，I2(s)：用回路電流法{{{39解：②求I1(s),I2(s)：{行列式：③求反變換：40③求反變換：41例13-13

電路圖示，求打開S后電路中的電流iL(t)和兩個(gè)電感上的電壓。②求I(s),UL1(s),UL2(s)

：標(biāo)電流I(s)和電壓UL1(s),UL2(s)

。+_10V2Ωi(t)St=00.3H3Ω0.1H+_+_L1L2+_UL1+_2I(s)0.3s30.1s+_

s101.5①作運(yùn)算電路圖：解：+_UL242②求I(s),UL1(s),UL2(s)

：解：+_2ΩI(s)0.3s3Ω0.1s+_+_UL1UL2+_

s101.5③求反變換：43

S打開后，iL1,iL2強(qiáng)制為同一個(gè)i(0+)，∴

它們均產(chǎn)生了突變（這與一般情況下，電感電流不突變相矛盾），均突變至3.75A。③求反變換：④分析：0ti0ti223.753.7555+_10V2Ωi(t)St=00.3H3Ω0.1H+_+_L1L244∴iL(t)的突變，使得uL1(t)，uL2(t)出現(xiàn)了沖激函數(shù)。（2）不必確定積分常數(shù)。（1）由于拉氏變換下限取0-，故自動(dòng)地將沖激函數(shù)、階躍函數(shù)考慮進(jìn)去了，而無須先求t=0+時(shí)的躍變值；由此題看出運(yùn)算法：但兩部分沖激電壓相互抵消，以保證整個(gè)回路滿足KVL。t=0+時(shí)，t=0-時(shí)，i(0+)也可由磁鏈?zhǔn)睾闱蟮茫孩萦懻摚?5①作運(yùn)算電路圖：

錯(cuò)！S合上之前，電路為穩(wěn)態(tài)，電路中各元件，包括電容均有電流電壓，稱為正弦穩(wěn)態(tài)。有人推斷：要求uC(0-)

，就要知道唯一的電流源在t=0-的情況，現(xiàn)iS=2sin1000tA

，故iS

(0-)

=0，既然iS

都為零了，C上電壓也必為零，此題為零狀態(tài)響應(yīng)。只有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件：電容，練13-15

iS=2sin1000tA，R1=R2=20Ω,C=1000μF,用運(yùn)算法求t≥0的uC(t)。解：注意：因有相位關(guān)系，iS

最大，uC

不一定最大；iS

為零，uC

也不一定為零！S合上時(shí)，iS

(0-)

=0，

uC(0-)

卻不一定為零?，F(xiàn)求出uC(0-)

：方法——相量法。

iSuCR1R2S+_C46得運(yùn)算電路圖:①作運(yùn)算電路圖：解：+_-jΩ20Ω20Ω-1.9994s20Ω_+_+UC(s)sC11000s2×1000s2+10002練13-15

iS=2sin1000tA，R1=R2=20Ω,C=1000μF,用運(yùn)算法求t≥0的uC(t)。

iSuCR1R2S+_C先求47③反變換：②求UC(s)：-1.9994s20Ω_+_+UC(s)sC11000s2×1000s2+10002①作運(yùn)算電路圖：解：練13-15

iS=2sin1000tA，R1=R2=20Ω,C=1000μF,用運(yùn)算法求t≥0的uC(t)。48解：③反變換：練13-15

iS=2sin1000tA，R1=R2=20Ω,C=1000μF,用運(yùn)算法求t≥0的uC(t)。49練13-17（b）

用運(yùn)算法求i(t),uC(t