(修改2015)第六講：有限與無限

第六講有限與無限的問題我們有時停留在認識“有限”，對“無限”的認識還不足教學內(nèi)容：第三節(jié)有限與無限的問題教學目標：1.了解“初等數(shù)學”中的“有限”和“高等數(shù)學”中的“無限”。2.進一步認識“有限”與“無限”，體會“有限”與“無限”的本質(zhì)區(qū)別和聯(lián)系3.能從“有限與無限”的數(shù)學角度分析有關(guān)的問題1.有理數(shù)是可數(shù)的：有理數(shù)集合可以和正整數(shù)集合建立一一對應2.認識無限認識無限讓學生體會自然數(shù)是數(shù)不完的；循環(huán)小數(shù)的小數(shù)位數(shù)有無限多個一般總認為：1.“部分小于整體”；“部分不可能等于整體”。2.自然數(shù)中偶數(shù)個數(shù)比自然數(shù)少，奇數(shù)也一樣。3.三角形中位線是底邊的一部分，比底邊少。一、創(chuàng)設情境：

有無限個房間的旅館客滿了，還要再安排新來的客人住下1號房間的客人搬到2號房間，2號房間的客人13

“有無限個房間”的旅館

1.“客滿”后又來1位客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2345┅k+1┅

空出了1號房間

14

2.客滿后又來了一個旅游團，旅游團中有無窮個客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2468┅2k┅

空下了奇數(shù)號房間

另解：將原來住著的旅客視為1個團，新來1個團，共有1+1個團的客人重新安排住宿?？梢?個2個房間分段，每一段房間恰好住2個客人，就能將2個團的客人都安排好住宿。每個團的客人編號：1234…K…房間編號分段：1,2；3,4；…；K,K+1；…16

3.客滿后又來了一萬個旅游團，每個團中都有無窮個客人原來的客人編號：

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅原來的客人現(xiàn)住房間編號：

10001200023000340004┅10001×k┅

騰出了一萬個、又一萬個的空房間

另解：將原來住著的旅客視為1個團，新來1萬個團，共有10000+1個團的客人重新安排住宿。可以10001個10001個房間分段，每一段房間恰好住10001個客人，就能將10001個團的客人都安排好住宿。每個團的客人編號：1234…K…房間編號分段：1-10001；10002-20002；…；1+10001×（K-1）至,10001K；…每個團的1號客人住第一段；2號客人住第二段，…，k號客人住第K段，…，就可以重新安排好住宿。18

4.[思考題]

該旅館客滿后又來了無窮個旅游團，每個團中都有無窮個客人，還能否安排？19

答：能。法I.將所有旅游團的客人統(tǒng)一編號排成下表，按箭頭進入1，2，3，4，5，…各號房間順序入住，則所有人都有房間住。一團：1.1→1.21.31.4……↙↙↙

二團：2.12.22.32.4……↙↙

三團：3.13.23.33.4……

……20思考題解答21

法II.

讓每個旅游團占據(jù)某固定素數(shù)的方冪由于素數(shù)有無窮多個，正整數(shù)又“唯一析因”，知，能安排住下，且還有空房，一團……

二團……

三團……

…………

附：證明“素數(shù)有無窮多個”（反證法）22

[思]

該旅館第一天恰有一個客人，第二天這個客人離開，又來了兩位客人，以后每天都有一位客人離開，又來了兩位客人，無窮多天之后，旅店老板發(fā)現(xiàn)旅店里一個客人都沒有了，這種情況可能發(fā)生嗎？23

答：可能發(fā)生。將所有客人按1，2，3，4，5，…的次序編號，先到的客人編號在前。如果編號在前的客人先離開，則第n號客人在第n+1天離開，于是無窮多天之后旅店里就沒有客人了。1,2,3,4,5，…，n,n+1,…24

[思]構(gòu)造一個無窮多個運動員百米賽跑，但結(jié)果沒有第一名的例子。（要求表達出每一個運動員的百米成績，且要求接近實際：不能跑進9秒）25解答運動員1234…百米成績10秒9.9秒9.89秒9.889秒…另解…26

[思]：構(gòu)造一個“部分到整體的一一對應”：從[0，1）→[0，+∞）。27

答：

即

28

的圖像（一）（二）（三）思考：黃金矩形也有類似情形嗎？四、47

（四）無限與有限的區(qū)別和聯(lián)系

1.區(qū)別

1）在無限集中，“部分可以等于全體”（這是無限的本質(zhì)），而在有限的情況下，部分總是小于全體。48

當初的伽利略悖論，就是因為沒有看到

“無限”的這一個特點而產(chǎn)生的。

1234567891011…n…?????????????149162536496481100121…n2…

[該兩集合：有一一對應，于是推出兩集合的元素個數(shù)相等；但由“部分小于全體”，又推出兩集合的元素個數(shù)不相等。這就形成悖論。]49伽利略（GalileoGalilei，1564-1642），意大利物理學家、天文學家和哲學家，近代實驗科學的先驅(qū)者。

50

2.）

“有限”時成立的許多命題，對“無限”不再成立

（1）實數(shù)加法的結(jié)合律在“有限”的情況下，加法結(jié)合律成立:

(a+b)+c=a+(b+c)，a，b，c

51

在“無限”的情況下，加法結(jié)合律不再成立。如52

有限半群若滿足消去律則一定是群?！虩o限半群若滿足消去律則一定是群?！?3

（2）有限級數(shù)一定有“和”。√

是個確定的數(shù)無窮級數(shù)一定有“和”?！?/p>

則不是個確定的數(shù)。稱為該級數(shù)“發(fā)散”。反之稱為“收斂”。54

有限多個無窮小量的乘積一定還是無窮小量。(所以，高等數(shù)學中學習“無窮小量”性質(zhì)時應注意“有限個”的條件）無窮多個無窮小量的乘積未必是無窮小量（甚至可以是無窮大量）。55

2.聯(lián)系

在“有限”與“無限”間建立聯(lián)系的手段，往往很重要。

1）數(shù)學歸納法

通過有限的步驟，證明了命題對無限個自然數(shù)均成立。

2）極限

通過有限的方法，描寫無限的過程。

如：；自然數(shù)N，都，使時，。

56

3）無窮級數(shù)

通過有限的步驟，求出無限次運算的結(jié)果，如

4）遞推公式,a1=*5）因子鏈條件（抽象代數(shù)中的術(shù)語）

57

3.數(shù)學中的無限在生活中的反映

1）大煙囪是圓的：每一塊磚都是直的（整體看又是圓的）(大家的經(jīng)驗：公園中通幽的“曲徑”是“條石”修成的；圓形的石拱橋；家中弧形的拱形裝飾）

2）銼刀銼一個光滑零件：每一銼銼下去都是直的（許多刀合在一起的效果又是光滑的）（微積分中有“局部以直代曲”微分思想）以下幾個近似計算公式就是在“局部以直代曲”微分思想下所得的結(jié)果當很小時，有：59

3）

不規(guī)則圖形的面積：大家都會求：正方形的面積，長方形的面積，三角形的面積，多邊形的面積，圓面積。但是，怎樣求不規(guī)則圖形的面積？法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。通過數(shù)方格數(shù)計算出面積的近似值。方格越小，所得面積越準。當方格無窮小時，不足近似值就會轉(zhuǎn)化為準確值了?。ㄐW數(shù)學中讓小學生數(shù)方格，不足一格當半個）

北師大小學數(shù)學五年級上冊P2361法Ⅱ.（高等數(shù)學中的方法：分割、求和、取極限——定積分）首先轉(zhuǎn)化成求曲邊梯形的面積，（不規(guī)則圖形→若干個曲邊梯形），再設法求曲邊梯形的面積：劃分，求和，矩形面積之和~

曲邊梯形面積；越小，就越精確；再取極限，就得到曲邊梯形的面積。=621.什么是悖論

悖論：從“正確”的前提出發(fā)，經(jīng)過“正確”的邏輯推理，得出荒謬的結(jié)論。

二、芝諾悖論（認識無限）63

例1“甲是乙”與“甲不是乙”這兩個命題中總有一個是錯的；這是正確的前提。例2.“本句話是七個字”與“本句話不是七個字”這兩個命題，數(shù)一數(shù)它們的字數(shù)，這是正確的推理，又均是對的，這就是悖論。64

例3.“萬物皆數(shù)”學說認為“任何數(shù)都可表為整數(shù)的比”；但以1為邊的正方形的對角線之長卻不能表為整數(shù)的比，這也是悖論。（因為.“萬物皆數(shù)”學說時，還沒有“無理數(shù)”，當然也沒有“有理數(shù)”概念，只是任何數(shù)都可表為整數(shù)的比）652.芝諾悖論

芝諾（前490？—前430？）是（南意大利的）愛利亞學派創(chuàng)始人巴門尼德的學生。他企圖證明該學派的學說：“多”和“變”是虛幻的，不可分的“一”及“靜止的存在”才是唯一真實的；運動只是假象。于是他設計了四個例證，人稱“芝諾悖論”。這些悖論是從哲學角度提出的。我們從數(shù)學角度看其中的一個悖論。

1）四個芝諾悖論之一：阿基里斯追不上烏龜。

A1A2A3A4…Ana2a1a4a3無限多個數(shù)的和與有限個數(shù)的和的問題只要速度不等，就會….672）癥結(jié)：無限段長度的和，可能是有限的；無限段時間的和，也可能是有限的。例：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，每天取得的產(chǎn)度構(gòu)成無窮遞縮等比數(shù)列{an}

?,1/4,1/8,1/16,1/32,…其和：?+1/4+1/8+1/16+1/32+…=1

3）芝諾悖論的意義：

a.促進了嚴格、求證數(shù)學的發(fā)展b.較早的“反證法”及“無限”的思想(關(guān)于“反證法”，我們在前面已經(jīng)經(jīng)歷過幾次了，如“猜帽子的顏色”；證明“病狗的條數(shù)”等，這是重要的數(shù)學推理證明方法）

c.尖銳地提出離散與連續(xù)的矛盾：空間和時間有沒有最小的單位？68

芝諾的前兩個悖論是反對“空間和時間是連續(xù)的”，后兩個悖論則是反對“空間和時間是離散的”。在芝諾看來，這兩種理論都有毛??；所以，“運動只是假象，不動不變才是真實”。芝諾的哲學觀點雖然不對，但是，他如此尖銳地提出了空間和時間是連續(xù)還是離散的問題，引起人們長期的討論，促進了認識的發(fā)展，不能不說是巨大的貢獻。69

三、潛無限與實無限

1．潛無限與實無限簡史

潛無限是指把無限看成一個永無終止的過程，認為無限只存在于人們的思維中，只是說話的一種方式，不是一個實體。70

從古希臘到康托以前的大多數(shù)哲學家和數(shù)學家都持這種潛無限的觀點。他們認為“正整數(shù)集是無限的”來自我們不能窮舉所有正整數(shù)。例如，可以想象一個個正整數(shù)寫在一張張小紙條上，從1，2，3，…寫起，每寫一張，就把該紙條裝進一個大袋子里，那么，這一過程將永無終止。因此，把全體正整數(shù)的袋子看作一個實體是不可能的，它只能存在于人們的思維里。稱為“潛無限”。大數(shù)學家高斯也持“潛無限”的觀點思考：如果是這樣，那么極限怎樣得到？71

但康托不同意這一觀點，他很愿意把這個裝有所有正整數(shù)的袋子看作一個完整的實體。這就是實無限的觀點。

康托的工作是劃時代的，對現(xiàn)代數(shù)學產(chǎn)生了巨大的影響，但當時，康托的老師克羅內(nèi)克爾，卻激烈反對康托的觀點。所以康托當時的處境和待遇都不太好。

72康托GeorgFerdinandPhilipCantor(1845～1918)德國數(shù)學家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學,翌年轉(zhuǎn)入柏林大學,主修數(shù)學，從學于E.E.庫默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克。1866年曾去格丁根學習一學期。1867年在庫默爾指導下以數(shù)論方面的論文獲博士學位。1869年在哈雷大學通過講師資格考試，后即在該大學任講師，1872年任副教授，1879年任教授。

73

2．無限集合也有“大小”

——從“一一對應”說起

實無限的觀點讓我們知道，同樣是無限集合，也可能有不同的“大小”。正整數(shù)集合是最“小”的無限集合。實數(shù)集合比正整數(shù)集“大”。實數(shù)集合上全體連續(xù)函數(shù)的集合又比實數(shù)集合更大。不存在最“大”的無限集合（即對于任何無限集合，都能找到更“大”的無限集合）。74

這需要“一一對應”的觀點。

1）“一一對應”——雙射（單射+滿射）

2）集合的勢|A|——集合中元素的多少

3）|N|=可數(shù)無窮勢a

，|Q|=a4）|R|=不可數(shù)無窮（稱連續(xù)統(tǒng)勢c）,

：無理數(shù)比有理數(shù)多得多。75

5）無窮集合可能有不同的勢，其中最小的勢是a；不存在最大的勢。

6）“連續(xù)統(tǒng)假設”長期未徹底解決“連續(xù)統(tǒng)假設”：可數(shù)無窮a是無限集中最小的勢，連續(xù)統(tǒng)勢c是（否？）次小的勢。

？76

康托1882年曾認為他證明了這一假設，后來發(fā)現(xiàn)證明有錯。

1900年希爾伯特提出的23個問題里，連續(xù)統(tǒng)假設是第一個問題。1938年哥德爾證明了連續(xù)統(tǒng)假設對ZF公理集合論是相容的，1963年科恩證明了連續(xù)統(tǒng)假設對ZF公理集合論是獨立的。這樣，在ZF公理集合論中，既不能證明也不能否定連續(xù)統(tǒng)假設。直到現(xiàn)在，這一問題仍吸引著一些數(shù)學家的興趣。77

四、哲學中的無限

1．哲學對“無限”的興趣

哲學是研究整個世界的科學。自從提出“無限”的概念，就引起了哲學家廣泛的關(guān)注和研究?，F(xiàn)在我們知道哲學中有下邊一些命題：

78

物質(zhì)是無限的；時間與空間是無限的；物質(zhì)的運動形式是無限的。一個人的生命是有限的；一個人對客觀世界的認識是有限的。79

2．數(shù)學對“無限”的興趣

數(shù)學則更嚴密地研究有限與無限的關(guān)系，大大提高了人類認識無限的能力。在有限環(huán)境中生存的有限的人類，獲得把握無限的能力和技巧，那是人類的智慧；在獲得這些成果過程中體現(xiàn)出來的奮斗與熱情，那是人類的情感；對無限的認識成果，則是人類智慧與熱情的共同結(jié)晶。一個人，若把自己的智慧與熱情融入數(shù)學學習和數(shù)學研究之中，就會產(chǎn)生一種特別的感受。如果這樣，數(shù)學的學習不僅不是難事，而且會充滿樂趣。本講思考題1.你現(xiàn)在怎樣從數(shù)學的角度看“部分”與“整體”的關(guān)系？你相信“部分可以等于整體”嗎？如果相信，請舉1個例子。2.你現(xiàn)在怎樣從數(shù)學的角度看“直”與“曲”？請舉1個“局部以直代曲”的例子思考與討論：1.部分總是小于整體。2.無限比有限大，無限比有限多，無限包含有限，無限由有限組成。2.9999+2=10001.3.平面內(nèi)兩直線平行或相交只要看交點個數(shù)。4.怎樣用有限表示無限？用有限處理無限的問題？5.數(shù)列極限是有限運算還是無限運算？思考、討論一、判斷1.部分可以等于整體.（）2.無限是有限的基礎。（）3.有限由無限構(gòu)成。（）4.無限由有限組成。（）5.無限是有限的延伸。（）二、簡答1.“客滿”的無限個房間的旅館怎樣安排新來的有無限個人的一個旅游團？2.舉一個例子說明怎樣用“有限”處理“無限”。1.部分可以等于整體在有限集里，部分小于整體。在無限集里，部分可以等于整體。這里的“等于”指“一一對應”。例如，“偶數(shù)”與“自然數(shù)”一樣多；三角形中位線與底邊的點集一樣多?！翱蜐M”的旅館中原有客人可以搬到奇數(shù)號房間而騰出偶數(shù)號房間。2.無限是有限的基礎自然數(shù)加法總能施行的前提是自然數(shù)集是無限集?？匆唤M平面直線是平行還是相交的前提是直線能沿著兩端無限延伸。投擲一枚硬幣，正面向上的可能性是1/2，前提是試驗可以重復無限多次。3.有限由無限構(gòu)成線段是無限多點構(gòu)成的；沒有大小的點卻構(gòu)成了有長短的線段！有限區(qū)間（0,1）由無窮多個實數(shù)構(gòu)成；有限的一個黃金矩形中可以作出無限多個黃金矩形，有限的正五邊形中可以作出無限多個正五邊形！4.無限由有限組成對于每一個自然數(shù)是有限的，卻組成了無限的自然數(shù)集！5.用“有限”處理“無限”偶數(shù)是無限的，寫不完的，但是，用有限的2n就表示了全體偶數(shù)；X∈R，這里用有限的x表示了無限的實數(shù)；無限區(qū)間上的反常積分是典型的用有限處理無限的例子，因此，用有限處理無限也是一種數(shù)學思想方法。極限就是有限處理無限的方法。本講結(jié)束，謝謝！90

抓三堆：

有三堆谷粒（例如100粒、200粒、300粒），甲、乙輪流抓，每次只能從一堆中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰贏。問：甲應該如何抓？為什么？91提示：