雙曲線專(zhuān)題教案

雙曲線專(zhuān)題教學(xué)目標(biāo)：1、掌握雙曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)，離心率，通徑，最值。2、熟練地運(yùn)用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)會(huì)求最值的方法和焦點(diǎn)三角形的解法。重點(diǎn)：雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)。難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的漸進(jìn)線?！窘虒W(xué)內(nèi)容】1、引入：太陽(yáng)神有一牛群，由白、黑、花、棕四種顏色的公、母牛組成。在公牛中，白牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于黑牛數(shù)的1/2+1/3；黑牛數(shù)多于棕牛，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于花牛數(shù)的1/4+1/5；花牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于白牛數(shù)的1/6+1/7。在母牛中，白牛數(shù)是全體黑牛數(shù)的1/3+1/4；黑牛數(shù)是全體花牛數(shù)1/4+1/5；花牛數(shù)是全體棕牛數(shù)的1/5+1/6；棕牛數(shù)是全體白牛數(shù)的1/6+1/7。問(wèn)這牛群是怎樣組成的？（阿基米德分牛問(wèn)題）2、雙曲線的基本概念.雙曲線的定義：雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)々，勺的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a（a>0,且2a<|勺勺|）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)勺,勺叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距. 成功在勵(lì)志2成功在勵(lì)志注意：1.雙曲線的定義中，常數(shù)2a應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足的約束條件：歸F|—pFj卜2a<|?|，這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來(lái)理解；.若去掉定義中的“絕對(duì)值”，則僅能表示雙曲線的一支；.若常數(shù)a滿(mǎn)足約束條件：忸勺|一P叮卜2a=|FF2|，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；.若常數(shù)a滿(mǎn)足約束條件：||尸勺|-|尸叮|=2a>|勺F2|，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；.若常數(shù)a=0，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段FF2的垂直平分線。.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： I?X2V2.當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：——1=1（a>0,b>0）,其中c2=a2+b2；a2b2V2X22.當(dāng)焦點(diǎn)在V軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：—--=1（a>0,b>0）,其中c2=a2+b2.a2b2注意：1.只有當(dāng)雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)才能得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；.在雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有c2=a2+b2；成才要得法.雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，即系數(shù)為正的項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上成才要得法3.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì):X2V2（1）對(duì)稱(chēng)性：雙曲線一--—=1（a>0,b>0）是以x軸、V軸為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，且a2b2是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)對(duì)稱(chēng)中心稱(chēng)為雙曲線的中心。（2）范圍：雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線x=-a和x=a的兩側(cè)，是無(wú)限延伸的。因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足x<-aorx>a。（3）頂點(diǎn)：①雙曲線與它的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)稱(chēng)為雙曲線的頂點(diǎn)。X2V2②雙曲一-J=1（a>0,b>0）與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分a2b2別為AJ-a,。）,A2（a,0），頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)。③兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)B（-a,0）,B2（a,0）為v軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸。實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為|A1A2|=2a,|B1Bj=2b。a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。注意：①實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱(chēng)為等軸雙曲線。（4）離心率： ①雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作2cce=——=—。2aaTOC\o"1-5"\h\zc c- ，②因?yàn)閏>a>0，所以雙曲線的離心率e=->1。由c2=a2+b2，可得aIb 'c2-a2 b b==' e2-1，所以一決定雙曲線的開(kāi)口大小，一越大，e也越大，雙曲線開(kāi)\o"CurrentDocument"aa2 a a口就越開(kāi)闊。步以離心率可以用來(lái)表示雙曲線開(kāi)口的大小程度。③等軸雙曲線a=b，所以離心率e=<2。（5）漸近線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〕A/、V軸的平行線x=±a，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、B/乍x軸的平行線7 bV=±b,四條直線圍成一個(gè)矩形（如圖），矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程是V=士一x。ab我們把直線V=士一x叫做雙曲線的漸近線。（雙曲線與它的漸近線無(wú)限接近，但永不相交）a特別注意：雙曲線的焦點(diǎn)三角形，弦長(zhǎng)公式，中點(diǎn)弦問(wèn)題與橢類(lèi)似?！纠}講解】例1已知雙曲線-￡+==1，求雙曲線的實(shí)（虛）軸頂點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程,16 9成才要得法漸近線方程.成功在勵(lì)志

成才要得法練習(xí)：求雙曲線nx2-my2=mn(m>0,n>0)的實(shí)(虛)半軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，漸近線方程.例2已知。O1：(x+5)2+y2=4,。02：(x-5)2+y2=9(1)若動(dòng)圓P與。1,。2均內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心P點(diǎn)的軌跡；(2)若動(dòng)圓Q與。1,。2均外切，求動(dòng)圓圓心。點(diǎn)的軌跡。練習(xí)：在方程mx2-my2=n中，若mn<0,則方程的曲線是()A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線例成功在勵(lì)志設(shè)雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2)，且與雙曲線與-x2=1具有相同漸近線，求雙曲線C標(biāo)成功在勵(lì)志4準(zhǔn)方程.x2y2 x2y2練習(xí)：1.雙曲線斤——7=1與k—7^=入一■定有相同的()TOC\o"1-5"\h\z9 16 9 16A.焦點(diǎn)B.準(zhǔn)線C.漸近線0.離心率x2 y22.與雙曲線入-tt=1有共同的漸近線，并且過(guò)點(diǎn)A(6,8<2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 9 16成才要得法例4設(shè)F,F分別為雙曲線x2-蕓=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)12 a2b2成才要得法9一夕使得I尸々|+|尸/21=3b,p^lF^卜|PF2|=4ab，求雙曲線的離心率.練習(xí)：(1)雙曲線9y2-16x2=144的離心率x2y2一，… … (2)已知雙曲線--)=1(a>0,b>0)的一條漸近線與曲線y=\：2x-1相切，則該雙a2b2曲線的離心率為 例5已知雙曲線。的離心率為2，焦點(diǎn)為F,F2,點(diǎn)A在C上，若匕A|=2|勺山，求cosZAF2F的值.例6雙曲線E與橢圓x+[=1有公共焦點(diǎn)，且離心率為3.(1)求雙曲線E的方程;2516 2(2)若斜率為1的直線l交雙曲線E于A,B兩點(diǎn)，且|AB|=4-；30，求l的方程.例7已知雙曲線x2-4y2=4以及點(diǎn)M(8,1)，過(guò)點(diǎn)M的直線與雙曲線相交于A,B兩點(diǎn),M為線段AB的中點(diǎn)，求直線的方程.成才要得法成功在勵(lì)志成才要得法【過(guò)手練習(xí)】1.已知方程3+ =1的圖象是雙曲線，那么k的取值范圍是（）2—kk-1A.k<1 b,k>2 c,k<1或k>2 d,1<k<2x2y22.雙曲線.-2=1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是雙曲線上一點(diǎn)，滿(mǎn)足\PF21=1F1F21，直線PF1與圓x2+y2=a2相切，則雙曲線的離心率e為（）TOC\o"1-5"\h\z“5 - 2v3 5A.—B.\3 C. D.一4 3 3.過(guò)雙曲線x2-氣=1的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于AB兩點(diǎn)，若|AB|=4，則這樣的直線l有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條.過(guò)原點(diǎn)的直線l，如果它與雙曲線y2-x2=1相交，則直線l的斜率k的取值范圍是 .3 4x25.設(shè)P為雙曲線丁-y2=1上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌4跡方程是 .【拓展訓(xùn)練】例8已知雙曲線錯(cuò)誤!未找到引用源。的一條漸近線方程為錯(cuò)誤!未找到引用源。，兩條準(zhǔn)線的距離為l.（1）求雙曲線的方程；（2）直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且和雙曲線交于兩點(diǎn)M、N,點(diǎn)P為雙曲線上異于M、N的一點(diǎn)，且直線PM,PN的斜率均存在，求kPM?kPN的值.【鏈接高考】x2y2已知雙曲線a-2_=1（"0,b>0）的一條漸近線平行于直線1：y=2x+10，雙曲線的成才要得法成功在勵(lì)志成才要得法TOC\o"1-5"\h\z一個(gè)焦點(diǎn)在直線/上，則雙曲線的方程為 （ ）A二-龍=1 A上—22=1c堂—更=1。主—些=15 20 20 5 25 100 100 25【課后作業(yè)】.等軸雙曲線C:x2-22=a2與拋物線22=16x的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn)，|AB|^4<3，則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)等于（）A.\2B.2v2 C.4 D.8X2 22T 「5.已知雙曲線二--=1的一條漸近線的方程為2=丹x,則雙曲線的焦點(diǎn)到直線的距離9 m 3為（）A.2 B.<14 C.工'5 D.2<5.若直線過(guò)點(diǎn)（3,0）與雙曲線4x2-9y2=36只有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條.方程二——匕=1（keR）表示雙曲線的充要條件是（ ）k-2k+3A.k〉2或k<-3 B,k<-3 C,k〉2 D,-3<k<2X2 22.過(guò)雙曲線——=1（a〉0,b〉0）的左焦點(diǎn)作垂直于軸的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，以a2 b2為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率等于 ..已知雙曲線X2-22=1（a〉0