第2章-線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(王恒迪)

第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程2.2傳遞函數(shù)2.3

系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.4信號(hào)流程圖2.5脈沖響應(yīng)函數(shù)2.1列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程人們常將描述系統(tǒng)工作狀態(tài)的各物理量隨時(shí)間變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形表示出來(lái)，這種描述系統(tǒng)各個(gè)物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形稱為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型有兩種方法：機(jī)理分析法和實(shí)驗(yàn)辨識(shí)法。

機(jī)理分析法是通過(guò)理論推導(dǎo)得出，這種方法是根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律來(lái)編寫(xiě)；實(shí)驗(yàn)辨識(shí)法是給系統(tǒng)輸入一定形式的信號(hào)（階躍信號(hào)、單位脈沖信號(hào)、正弦信號(hào)等），根據(jù)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理而辨識(shí)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。本章著重討論機(jī)理分析法。機(jī)理分析法的操作步驟：

目的：確定輸出量與輸入量之間的函數(shù)關(guān)系。（1）確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。（2）從輸入端開(kāi)始，按信號(hào)遵循的物理規(guī)律(電學(xué)、力學(xué)等)列原始方程。（3）消去中間變量，寫(xiě)出輸出量與輸入量之間的微分方程。（4）整理，輸出項(xiàng)（一般在左側(cè)）=輸入項(xiàng)（一般在右側(cè)）。例

編寫(xiě)RC電路的微分方程。

（1）確定輸入量、輸出量為ui

、u0

（或?qū)憺閡i(t)、u0(t)）。（2）假設(shè)中間變量i，根據(jù)電路原理列微分方程（3）消去中間變量i，可得電路微分方程RCuiuoi例編寫(xiě)RLC電路的微分方程。解：（1）確定輸入量、輸出量為ui(t)和u0(t)。

（2）根據(jù)電路原理列微分方程（3）消去中間變量i，可得電路微分方程dtduCi0=例具有質(zhì)量彈簧阻尼器的機(jī)械位移系統(tǒng)，寫(xiě)出外力F與質(zhì)量塊的位移y之間的動(dòng)態(tài)方程。其中彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k，阻尼器的阻尼系數(shù)為f(粘性摩擦阻力與速度成正比)，質(zhì)量塊的質(zhì)量為m。（1）確定輸入、輸出量為F、y。（2）根據(jù)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)原理列微分方程（3）消去中間變量，可得系統(tǒng)的微分方程

以上兩例中的物理系統(tǒng)不盡相同，但它們的數(shù)學(xué)模型卻是相同的，我們把具有相同數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱之為相似系統(tǒng)。在相似系統(tǒng)中，占據(jù)相應(yīng)位置的物理量稱為相似量。數(shù)學(xué)模型（微分方程）為研究系統(tǒng)提供了理論分析方法；相似系統(tǒng)揭示了不同系統(tǒng)之間的內(nèi)在聯(lián)系；利用相似系統(tǒng)的概念，我們可以用一個(gè)易于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)來(lái)研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng)，并根據(jù)相似系統(tǒng)的理論出現(xiàn)了仿真研究法。

對(duì)于同一個(gè)物理系統(tǒng)，當(dāng)輸入量、輸出量改變時(shí)，所求出的數(shù)學(xué)模型卻是不同的。2.2傳遞函數(shù)求解微分方程可求出系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，但如果方程階次較高，則計(jì)算非常繁瑣，因此對(duì)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)分析不便，所以應(yīng)用傳遞函數(shù)將實(shí)數(shù)中的微分運(yùn)算變成復(fù)數(shù)中的代數(shù)運(yùn)算，可使問(wèn)題分析大大簡(jiǎn)化。一、傳遞函數(shù)的概念及意義

（1）傳遞函數(shù)的定義：

線性系統(tǒng)在零初始條件下，輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換之比。線性定常系統(tǒng)微分方程的一般表達(dá)式:

其中為系統(tǒng)輸出量，為系統(tǒng)輸入量。在初始條件為零時(shí)，兩端取拉氏變換：零初始條件：測(cè)體溫時(shí)先甩甩體溫計(jì)平衡電橋使用之前先調(diào)平衡，使輸出為0移項(xiàng)后得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：上式中Y(s)為輸出量的拉氏變換；R(s)為輸入量的拉氏變換；G(s)為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)。稱為n階系統(tǒng)（即階次由n確定）。（2）關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明

a.傳遞函數(shù)的概念只適應(yīng)于線性定常系統(tǒng)。

b.傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)本身的特性參數(shù)有關(guān)，而與輸入量變化無(wú)關(guān)。

c.傳遞函數(shù)是描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的一種數(shù)學(xué)模型，但它是在系統(tǒng)工作在某個(gè)相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)（初始條件為0）時(shí)得出的。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

d.對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，分子的次數(shù)m≤分母的次數(shù)n，且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)。因?yàn)閷?shí)際的物理系統(tǒng)總是存在慣性，輸出不會(huì)超前于輸入。

e.一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的關(guān)系，不能表征內(nèi)部所有狀態(tài)的特征。

（3）傳遞函數(shù)的兩種表達(dá)形式

a.傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)表示形式

zi：傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；pj：傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；

Kg：傳遞系數(shù)s的最高次項(xiàng)系數(shù)=1b.傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)表示形式

τi：各分子項(xiàng)的時(shí)間常數(shù)；Tj：各分母項(xiàng)的時(shí)間常數(shù)；

K：放大系數(shù)、放大倍數(shù)常數(shù)項(xiàng)=1與教材不一樣電路微分方程RCuiuo兩端拉氏變換傳遞函數(shù)電路微分方程兩端拉氏變換傳遞函數(shù)補(bǔ)充知識(shí)：復(fù)阻抗——阻抗的一種表示方式，復(fù)阻抗在電路中（串聯(lián)、并聯(lián)）的等效阻抗計(jì)算和一般電阻電路完全一樣。復(fù)阻抗遵循歐姆定律和基爾霍夫定律。通過(guò)復(fù)阻抗的概念可以省掉微分方程的推導(dǎo)和計(jì)算過(guò)程，直接寫(xiě)出一個(gè)電路的傳遞函數(shù)，非常方便。電阻的復(fù)阻抗電容的復(fù)阻抗電感的復(fù)阻抗利用復(fù)阻抗列方程傳遞函數(shù)RCuiuoi或者發(fā)現(xiàn)流過(guò)R和C的電流相等，所以電壓之比就等于對(duì)應(yīng)的復(fù)阻抗之比：傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)或者發(fā)現(xiàn)流過(guò)R、L和C的電流相等，所以電壓之比就等于對(duì)應(yīng)的復(fù)阻抗之比：利用復(fù)阻抗列方程傳遞函數(shù)拋磚引玉：集成運(yùn)算放大器：檢測(cè)兩個(gè)輸入端的電壓信號(hào)差值,并將該差值乘以數(shù)值A(chǔ)后在端口3輸出。其中A為差模增益，也稱為開(kāi)環(huán)增益。

反相輸入端：表示由該端電壓v1與輸出電壓v3反相，用“-”號(hào)表示；同相輸入端：表示由該端電壓v2與輸出電壓v3同相，用“+”號(hào)表示。 v1v2v3+v1v2v3+RfRii1i2uiuoRu+u－i+i-這里僅討論信號(hào)從反相輸入端輸入的情況，運(yùn)放工作在線性區(qū)時(shí)：虛短：輸入信號(hào)的差值趨于零，即：u+=u-。反相輸入端與同相輸入端又非真正短路，因此稱為“虛短”。虛斷：由于輸入端口的輸入阻抗為無(wú)窮大，因此輸入端電流i+=i-=0，但實(shí)際上又不是真正的開(kāi)路，因此稱為“虛斷”。虛地：輸入端口的電壓近似為0，u+=u-=0，即電壓為0但不是實(shí)際接地。+RfRii1i2uiuoRu+u－i+i-求傳遞函數(shù)Uo(s)/Ui(s)：基爾霍夫電流定律（i+=i-=0），i1=i2；歐姆定律（u+=u-=0），拉氏變換，求傳遞函數(shù)i1i2uiuo求傳遞函數(shù)Uo(s)/Ui(s)：復(fù)阻抗的基爾霍夫電流定律（i+=i-=0），I1=I2；復(fù)阻抗的歐姆定律（u+=u-=0），求傳遞函數(shù)+R1R2Ci1i2uiuo求傳遞函數(shù)Uo(s)/Ui(s)：

M點(diǎn)基爾霍夫電流定律兩式聯(lián)立，求傳遞函數(shù)+R1R2R4R3i3M+R2R3利用虛地，則如圖短接，R2和R3并聯(lián)。二、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其暫態(tài)特性無(wú)論什么樣的系統(tǒng)，它的傳遞函數(shù)都是一些基本因子組合而得到的。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)。把復(fù)雜的物理系統(tǒng)劃分為若干個(gè)典型環(huán)節(jié)，利用傳遞函數(shù)和框圖來(lái)進(jìn)行研究，這是研究系統(tǒng)的一種重要方法。

（1）比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)/無(wú)慣性環(huán)節(jié)）特點(diǎn)：輸入量與輸出量的關(guān)系為一種固定的比例關(guān)系。0tKR(s)Y(s)r(t)y(t)y(t)/r(t)（2）慣性環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：只包含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入，其輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，存在時(shí)間上的延遲（時(shí)間常數(shù)T），輸出無(wú)振蕩。R(S)Y(S)輸入信號(hào)為單位階躍1(t)（拉氏變換為1/s）時(shí)，輸出查拉氏變換表，可知階躍響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律上升的曲線。（2）慣性環(huán)節(jié)

0t

y(t)

r(t)y(t)r(t)輸入信號(hào)為單位階躍1(t)（拉氏變換為1/s）時(shí)，輸出t=T時(shí)，y(t)=0.632，說(shuō)明什么？1、T越大，慣性越大，延遲時(shí)間越長(zhǎng)。2、求出y(t)=0.632r(t)的時(shí)間，可知道該環(huán)節(jié)的表達(dá)式。0.632T慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)有一個(gè)負(fù)實(shí)極點(diǎn)ｐ＝－１/Ｔ，無(wú)零點(diǎn)。何為極點(diǎn)(p)？何為零點(diǎn)(z)？在坐標(biāo)圖（復(fù)平面）中如何表示（×○）？按指數(shù)規(guī)律上升（3）積分環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：輸出量與輸入量的積分成正比，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能（保持不變）。

Y(s)R(s)tr(t)0y(t)

y(t)

r(t)

當(dāng)積分環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)為單位階躍1(t)（拉氏變換為1/s）時(shí)，則輸出為t，隨著時(shí)間直線增長(zhǎng)。ui

uo+RC（4）振蕩環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的二階微分方程式來(lái)表示。環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩，振蕩的程度與阻尼系數(shù)有關(guān)。T：時(shí)間常數(shù)；ζ：阻尼比、阻尼系數(shù)（0<ζ<1）；ωn

：固有頻率（ωn

=1/T）。R(s)Y(s)振蕩環(huán)節(jié)的兩個(gè)極點(diǎn)為

0ωntξ=0.2ξ=0.5ξ=1y(t)/r(t)振蕩環(huán)節(jié)對(duì)階躍輸入的響應(yīng)具有振蕩，振蕩的程度與阻尼系數(shù)有關(guān)。若ζ≥1，輸出不再振蕩，此時(shí)不再是振蕩環(huán)節(jié)，而等價(jià)于兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。極點(diǎn)分布圖

（5）微分環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：是積分環(huán)節(jié)的逆運(yùn)算，其輸出量反映了輸入信號(hào)的變化趁勢(shì)。按傳遞函數(shù)的不同，微分環(huán)節(jié)可分為三種：純微分環(huán)節(jié)（理想微分環(huán)節(jié)），實(shí)踐中難以實(shí)現(xiàn)一階微分環(huán)節(jié)（比例加微分環(huán)節(jié)）二階微分環(huán)節(jié)（實(shí)際微分環(huán)節(jié),T2<<1時(shí)）

（6）延遲環(huán)節(jié)

（時(shí)滯環(huán)節(jié)、滯后環(huán)節(jié)、時(shí)延環(huán)節(jié)）特點(diǎn)：輸出信號(hào)經(jīng)過(guò)一段延遲時(shí)間τ后，可完全復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)。時(shí)域表達(dá)式：y(t)=r(t－t)

tr(t)y(t)y(t)/r(t)0τR(s)Y(s)齒輪嚙合時(shí)有側(cè)隙，主動(dòng)齒輪正反轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速是輸入，從動(dòng)齒輪正反轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速是輸出，該系統(tǒng)是不是延遲環(huán)節(jié)？主動(dòng)齒輪正轉(zhuǎn)后反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)過(guò)側(cè)隙時(shí)的轉(zhuǎn)速為n1，之后齒面接觸，轉(zhuǎn)速為n2，從動(dòng)齒輪只能體現(xiàn)n2，無(wú)法體現(xiàn)n1，是死區(qū)（非線性環(huán)節(jié)）。典型環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型注意三點(diǎn)：

（1）典型環(huán)節(jié)是按數(shù)學(xué)模型的共性去建立的，它與系統(tǒng)中采用的元件不是一一對(duì)應(yīng)的。（2）分析或設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)必先建立系統(tǒng)或被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，復(fù)雜系統(tǒng)可看作是多個(gè)典型環(huán)節(jié)的組合，將其各部分與典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型對(duì)比后，即可知其由什么樣的典型環(huán)節(jié)組成。將有助于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的研究和分析。（3）典型環(huán)節(jié)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型描述。

Y(s)R(s)2.3系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖一、概念

1.動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖：又稱為框圖，是將系統(tǒng)的所有環(huán)節(jié)用方框表示，方框兩端為輸入和輸出，用箭頭線表示信號(hào)傳遞的方向。動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖可以形象直觀地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系以及信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞過(guò)程。也是計(jì)算系統(tǒng)傳遞函數(shù)的工具。特點(diǎn)：具有圖示模型的直觀，又有數(shù)學(xué)模型的精確。2.結(jié)構(gòu)圖的組成：

方框（環(huán)節(jié)）方框的兩側(cè)為輸入信號(hào)線和輸出信號(hào)線，方框內(nèi)寫(xiě)入環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的輸出等于輸入乘以方框中的傳遞函數(shù)。分支點(diǎn)（引出點(diǎn)、測(cè)量點(diǎn)）表示同一信號(hào)傳輸?shù)綆讉€(gè)地方。可以有多路輸出，但只能有一路輸入。信號(hào)線帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的流向，在直線旁邊可以注出信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。綜合點(diǎn)（比較點(diǎn)、相加點(diǎn)）比較點(diǎn)表示對(duì)兩路或以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算，

“＋”表示相加（可以省略），“－”表示相減（不可以省略）?？梢杂卸嗦份斎耄荒苡幸宦份敵?。

3.動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟：（1）確定系統(tǒng)輸入量與輸出量。（2）將復(fù)雜系統(tǒng)劃分為若干個(gè)典型環(huán)節(jié)。（3）求出各典型環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)和相應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖。（4）按變量的傳遞順序，依次將各環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖連接起來(lái)。例繪制兩級(jí)RC濾波電路的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖假設(shè)一些中間變量。列寫(xiě)原始方程:i1(t)i2(t)u1(t)ur(t)uc(t)R1R2C1C21、電阻R1i1(t)i2(t)u1(t)ur(t)uc(t)R1R2C1C22、電容C13、電阻R24、電容C2電阻R1電容C1電阻R2電容C21、兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)并不等于兩個(gè)單級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的簡(jiǎn)單組合，負(fù)載效應(yīng)：后一級(jí)網(wǎng)絡(luò)作為前一級(jí)網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載，對(duì)前級(jí)網(wǎng)絡(luò)的輸出產(chǎn)生影響。2、如何求取傳遞函數(shù)？ur(t)uc(t)R1R2C1C2二、結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化法則常用的結(jié)構(gòu)圖變換方法可歸納為兩類(lèi)：一類(lèi)是環(huán)節(jié)的合并，另一類(lèi)是信號(hào)的分支點(diǎn)或相加點(diǎn)的移動(dòng)。

結(jié)構(gòu)圖的變換必須遵循的原則是：變換前后的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變，因而也稱為結(jié)構(gòu)圖的等效變換。（一）環(huán)節(jié)的合并

法則一環(huán)節(jié)串聯(lián)，前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出是后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入。傳遞函數(shù)相乘。法則二環(huán)節(jié)并聯(lián)，各環(huán)節(jié)的輸入相同，輸出相加減。傳遞函數(shù)相加（考慮相加點(diǎn)的正負(fù)性）?！▌t三反饋連接的等效傳遞函數(shù)。若反饋信號(hào)B(s)與給定信號(hào)R(s)相減，稱為負(fù)反饋（更常用）；若反饋信號(hào)B(s)與給定信號(hào)R(s)相加，稱為正反饋。

E(s)：偏差信號(hào)，可以看出，閉環(huán)控制對(duì)輸出產(chǎn)生直接影響的是偏差信號(hào)。若反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)H(s)=1，稱為單位反饋。（二）信號(hào)相加點(diǎn)及分支點(diǎn)的移動(dòng)

法則四相加點(diǎn)從環(huán)節(jié)輸入端移到輸出端。±±在移動(dòng)的之路上串入具有相同傳遞函數(shù)的方框，保持相加點(diǎn)符號(hào)的不變性。

R2(s)原來(lái)要經(jīng)過(guò)G(s)環(huán)節(jié)的，移動(dòng)后不經(jīng)過(guò)原來(lái)的G(s)環(huán)節(jié)，必須彌補(bǔ)這種損失，再串入G(s)環(huán)節(jié)。法則五相加點(diǎn)從環(huán)節(jié)輸出端移到輸入端?！馈涝谝苿?dòng)的之路上串入具有相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的方框，保持相加點(diǎn)符號(hào)的不變性。

R2(s)原來(lái)沒(méi)有經(jīng)過(guò)G(s)環(huán)節(jié)的，移動(dòng)后要經(jīng)過(guò)原來(lái)的G(s)環(huán)節(jié)，必須消除多余的部分，再串入1/G(s)環(huán)節(jié)。法則六分支點(diǎn)從環(huán)節(jié)輸入端移到輸出端。在移動(dòng)的之路上串入具有相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的方框。

R(s)下面的分支原來(lái)沒(méi)有經(jīng)過(guò)G(s)環(huán)節(jié)的，移動(dòng)后要經(jīng)過(guò)原來(lái)的G(s)環(huán)節(jié)，必須消除多余的部分，再串入1/G(s)環(huán)節(jié)。法則七分支點(diǎn)從環(huán)節(jié)輸出端移到輸入端。在移動(dòng)的之路上串入具有相同傳遞函數(shù)的方框。

Y(s)進(jìn)行了分支，即R(s)G(s)進(jìn)行了分支，相當(dāng)于移動(dòng)前經(jīng)過(guò)了G(s)環(huán)節(jié)，移動(dòng)后沒(méi)有經(jīng)過(guò)G(s)環(huán)節(jié)，必須彌補(bǔ)這種損失，再串入G(s)環(huán)節(jié)。法則八多個(gè)相鄰的分支點(diǎn)之間可以隨意交換位置。多個(gè)相鄰的相加點(diǎn)之間可以隨意交換位置。

相加點(diǎn)和分支點(diǎn)之間一般不能換位。還可以畫(huà)成法則九

負(fù)號(hào)在支路上的移動(dòng)。例系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下，試求傳遞函數(shù)Y(s)/R(s)。例系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下，試求傳遞函數(shù)Y(s)/R(s)。這是一個(gè)多回路結(jié)構(gòu)圖，且有分支點(diǎn)、相加點(diǎn)的交叉。為了從內(nèi)回路到外回路逐步化簡(jiǎn)，首先要消除交叉連接，變換為單回路系統(tǒng)。單回路系統(tǒng)將相加點(diǎn)2后移，然后與相加點(diǎn)3交換。內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換其他解題方法將相加點(diǎn)③前移，然后與相加點(diǎn)②交換。分支點(diǎn)A后移例化簡(jiǎn)兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，求傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s)。結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)步驟小結(jié)確定輸入量與輸出量。如果作用在系統(tǒng)上的輸入量有多個(gè)，則必須分別對(duì)每個(gè)輸入量逐個(gè)進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)，求得各自的傳遞函數(shù)。若結(jié)構(gòu)圖中有交叉聯(lián)系，應(yīng)運(yùn)用移動(dòng)規(guī)則，首先將交叉消除，化為無(wú)交叉的多回路結(jié)構(gòu)。對(duì)多回路結(jié)構(gòu)，可由里向外進(jìn)行變換，直至變換為一個(gè)等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。三、閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)

注意：是閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，非開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。根本性定義：閉環(huán)系統(tǒng)反饋信號(hào)的拉氏變換B(s)與偏差信號(hào)拉氏變換E(s)之比。對(duì)于圖示的單回路系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)又等于前向通路的傳遞函數(shù)乘以主反饋通路的傳遞函數(shù)。四、閉環(huán)傳遞函數(shù)G(s)或Φ(s)1.閉環(huán)傳遞函數(shù)：在初始條件為零的情況下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換Y(s)與輸入量的拉氏變換【R(s)或N(s)】之比。

例試求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)。解法一系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解法二系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解法一解法二解法二B(s)？2.閉環(huán)傳遞函數(shù)的求法典型結(jié)構(gòu)的閉環(huán)控制系統(tǒng)中有兩個(gè)輸入量——給定輸入R(s)和擾動(dòng)輸入N(s)，它們同時(shí)作用于系統(tǒng)。對(duì)于線性系統(tǒng)而言，可通過(guò)分別討論在不同輸入信號(hào)作用下的系統(tǒng)傳遞函數(shù)和相應(yīng)的輸出，再通過(guò)疊加得到總的輸出。（1）給定輸入R(s)單獨(dú)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)，此時(shí)令N(s)=0。11（2）擾動(dòng)輸入N(s)單獨(dú)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)，此時(shí)令R(s)=0。（1）給定輸入R(s)單獨(dú)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)，此時(shí)令N(s)=0。輸入或輸出不一樣，則閉環(huán)傳遞函數(shù)不一樣，但是分母一樣。閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母又稱為特征多項(xiàng)式，令分母=0，又稱為特征方程。常寫(xiě)為D(s)=0。（2）擾動(dòng)輸入N(s)單獨(dú)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)，此時(shí)令R(s)=0。給定輸入和擾動(dòng)輸入同時(shí)作用下閉環(huán)系統(tǒng)總的輸出（疊加性）：3.誤差傳遞函數(shù)：誤差信號(hào)E(s)的拉氏變換與輸入信號(hào)【R(s)或N(s)】的拉氏變換之比，相當(dāng)于【R(s)或N(s)】是輸入，E(s)是輸出。（1）給定輸入R(s)單獨(dú)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)，此時(shí)令N(s)=0。方法一：11（1）給定輸入R(s)單獨(dú)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)，此時(shí)令N(s)=0。方法二：（2）擾動(dòng)輸入N(s)單獨(dú)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)，此時(shí)令R(s)=0。方法一：疊加性（2）擾動(dòng)輸入N(s)單獨(dú)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)，此時(shí)令R(s)=0。方法二：給定輸入和擾動(dòng)輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)總的偏差輸出量（疊加性）：2.4信號(hào)流程圖一、基本概念及常用術(shù)語(yǔ)信號(hào)流程圖簡(jiǎn)稱信號(hào)流圖，是一種用圖線表示線性方程組的方法。信號(hào)流圖和框圖類(lèi)似，都可用來(lái)表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號(hào)傳送過(guò)程中的數(shù)學(xué)關(guān)系，因而信號(hào)流圖也是數(shù)學(xué)模型一種表示形式。

對(duì)于信號(hào)流圖，可利用梅遜公式，不需作變換而直接得出系統(tǒng)中任何兩個(gè)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。信號(hào)流圖的繪制方法：例如一個(gè)線性方程為信號(hào)流圖采用的基本圖形符號(hào)有三種：

節(jié)點(diǎn)：系統(tǒng)中的一個(gè)變量（或信號(hào)）稱為節(jié)點(diǎn)，用小圓圈“?！北硎?。

支路：連接兩節(jié)點(diǎn)的線段稱為支路，用“→”表示，其中的箭頭方向表示信號(hào)的傳遞方向。

增益：標(biāo)注在支路旁的兩個(gè)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，稱為支路的增益(即傳遞函數(shù))，也稱為傳輸。當(dāng)增益為１時(shí)，可以省略。下面舉例說(shuō)明信號(hào)流圖繪制的步驟，設(shè)一系統(tǒng)的線性方程組為：箭頭線的畫(huà)法信號(hào)流圖只適用于線性系統(tǒng)。在節(jié)點(diǎn)上可以把所有輸入支路的信號(hào)疊加，并把相加后的信號(hào)傳送到所有的輸出支路。常用術(shù)語(yǔ)：源節(jié)點(diǎn)：只有輸出支路，沒(méi)有輸入支路的節(jié)點(diǎn)。對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的輸入信號(hào)，又稱為輸入節(jié)點(diǎn)或源點(diǎn)。匯節(jié)點(diǎn)：只有輸入支路，沒(méi)有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的輸出信號(hào)，或稱為輸出節(jié)點(diǎn)或匯點(diǎn)?；旌瞎?jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。出支路：離開(kāi)節(jié)點(diǎn)的支路。入支路：進(jìn)入節(jié)點(diǎn)的支路。通路/通道/路徑：從某一節(jié)點(diǎn)開(kāi)始沿支路箭頭方向經(jīng)過(guò)各相連支路到另一節(jié)點(diǎn)（或同一節(jié)點(diǎn)）所構(gòu)成的路徑，其間每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過(guò)一次。前向通路：從源節(jié)點(diǎn)出發(fā)到匯節(jié)點(diǎn)終止的通路，一個(gè)系統(tǒng)可不止一條前向通路。開(kāi)通路：從某一節(jié)點(diǎn)開(kāi)始沿支路箭頭方向經(jīng)過(guò)各相連支路到另一節(jié)點(diǎn)（非該通路的起點(diǎn)）所構(gòu)成的路徑。閉通路/回路/回環(huán)：如果通路的終點(diǎn)就是通路的起始點(diǎn)，則稱為閉通路。自回環(huán)：如果一個(gè)通路從一個(gè)節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，只經(jīng)過(guò)一個(gè)支路又回到該節(jié)點(diǎn)，則稱為自回環(huán)。不接觸回路/不接觸回環(huán)：如果一個(gè)信號(hào)流圖有多個(gè)回環(huán)，各回環(huán)之間沒(méi)有任何公共節(jié)點(diǎn)，就稱為不接觸回路，反之稱為接觸回環(huán)。通路增益：通路中所有支路增益之積，又叫通路傳輸。回環(huán)增益：又稱為回環(huán)傳輸，指閉通路中各支路增益的乘積。二、如何作信號(hào)流圖方法一：按代數(shù)方程方法進(jìn)行。例

繪制二級(jí)RC濾波電路的信號(hào)流圖。i1i3u3u1u2R1R2C1C2i2i1i3u3u1u2R1R2C1C2i2u1i1u3-1u3i3u2-1i1i2i3-1i3u2i2u3綜合作出系統(tǒng)信號(hào)流圖u1i1i2u3i3u2u2-1-1-1u1i1u3-1u3i3u2-1i1i2i3-1i3u2i2u3方法二：由系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖變形得來(lái)。變形原則：信號(hào)線變?yōu)楣?jié)點(diǎn)，傳遞函數(shù)變?yōu)橹吩鲆?。GH-Y(s)R(s)R(s)G-HY(s)Y三、由梅遜公式求傳遞函數(shù)（總傳輸）梅遜公式：T——閉環(huán)傳遞函數(shù)（總傳輸）Δ——信號(hào)流圖的特征式其中——為所有不同回路的增益之和

——每?jī)蓚€(gè)互不接觸回路增益乘積之和

——每三個(gè)互不接觸回路增益乘積之和

——每m個(gè)互不接觸回路增益乘積之和

n——前向通路的條數(shù)

——第K條前向通路的增益

——第K條前向通路的余因子，在Δ中除去與第K條前向通路相接觸的回路增益后剩余的Δ值例

用梅遜公式求下圖中信號(hào)流圖的傳遞函數(shù)。解：（1）找出上圖中所有的前向通路：只有一條前向通路（2）找出系統(tǒng)中存在的所有的回路：共有三個(gè)回路，三個(gè)回路的傳輸之和為（3）這三個(gè)回路都存在公共節(jié)點(diǎn)，即不存在不接觸回路。故系統(tǒng)的特征方程式為：（4）由于這三個(gè)回路都與前向通路相接觸，故其余因子Δ1=1。（5）故該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：例用梅遜公式求下圖中信號(hào)流圖的傳遞函數(shù)。解

首先確定信號(hào)流圖中由源節(jié)點(diǎn)到匯節(jié)點(diǎn)間的前向通路數(shù)：從圖中可知前向通路數(shù)n=2,第一條前向通道的傳輸為T(mén)1=acegi。第二條前向通道的傳輸為

T2=kgi。

幾條回路？

5條，其增益之和L1=ab＋cd＋ef＋gh＋ij＋kfdb

幾組每?jī)蓚€(gè)互不接觸的回路？其增益乘積之和L2=abef+abgh+abij

+cdgh+cdij+efij+kfdbij

幾組每三個(gè)互不接觸的回路？其增益乘積之和L3=abefij

特征式=1-L1+L2-L3

第一條前向通路與所有回環(huán)均有接觸，所以1=1第二條前向通路與回環(huán)cd不接觸，所以2=1-cd

第一條前向通道的傳輸為T(mén)1=acegi。第二條前向通道的傳輸為T(mén)2=kgi。

不同回路的增益之和L1=ab＋cd＋ef＋

gh＋ij＋

kfdb

L2=abef+abgh+abij

+cdgh+cdij+efij+kfdbij

L3=abefij

=1-L1+L2-L3

1=1，2=1-cd

2.5脈沖響應(yīng)函數(shù)單位脈沖信號(hào)：分析：，其拉氏變換R(s)=1。由可知結(jié)論：系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的拉氏變換即為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)r(t)單位脈沖函數(shù)y(t)脈沖響應(yīng)函數(shù)補(bǔ)充1：控制系統(tǒng)的反饋特性閉環(huán)控制系統(tǒng)(一般是負(fù)反饋)又名反饋控制系統(tǒng)。這類(lèi)系統(tǒng)之所以被廣泛應(yīng)用，其原理是它有著開(kāi)環(huán)系統(tǒng)所沒(méi)有的特性。反饋能減小參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)的影響上圖分別為開(kāi)環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的輸出假設(shè)由于參數(shù)的變化，使G(s)變?yōu)椋渲校瑒t開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的輸出變?yōu)槠漭敵龅淖兓繉?duì)于閉環(huán)系統(tǒng)，其輸出由于于是得假設(shè)由于參數(shù)的變化，使G(s)變?yōu)椋渲?，則開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的輸出變?yōu)?/p>

對(duì)比可知，由于G(s)的變化，閉環(huán)系統(tǒng)輸出的變化量?jī)H是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)輸出變化量的1/(1+GH)倍。

假設(shè)由于參數(shù)的變化，使G(s)變?yōu)椋渲?，則開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的輸出變化量為復(fù)習(xí)：拉氏變換設(shè)函數(shù)f(t)滿足：

1、f(t)為實(shí)函數(shù)；

2、當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0；

3、當(dāng)t0時(shí)，f(t)的積分在s的某一域內(nèi)收斂。則函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=σ+jω（σ，ω均為實(shí)數(shù)）；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換或象函數(shù);f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號(hào)。

拉氏變換的幾個(gè)重要定理（2）微分定理（1）線性性質(zhì),若其中：a、b為任意常數(shù)則為f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值。0初始條件下有：在初始條件為0的前提下，原函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換等于其象函數(shù)乘以。

拉氏變換的幾個(gè)重要定理（3）積分定理0初始條件下有：在初始條件為0的前提下，原函數(shù)的重積分的拉氏變換等于其象函數(shù)除以。

拉氏變換的幾個(gè)重要定理（4）終值定理常見(jiàn)函數(shù)的拉氏變換1拉氏變換的定義

（2）單位階躍2常見(jiàn)函數(shù)L變換（5）指數(shù)函數(shù)（1）單位脈沖（3）單位斜坡（4）單位加速度（6）正弦函數(shù)（7）余弦函數(shù)拉氏變換重要定理（1）線性性質(zhì)（2）微分定理（3）積分定理（4）實(shí)位移定理（5）復(fù)位移定理（6）初值定理（7）終值定理《自動(dòng)控制原理》國(guó)家精品課程浙江工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化研究所97

2.6

控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB表示MATLAB是由美國(guó)Mathworks開(kāi)發(fā)的大型數(shù)學(xué)軟件包，在自動(dòng)控制、圖象及信號(hào)處理等許多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。MATLAB的安裝、啟動(dòng)等與一般軟件相同。啟動(dòng)MATLAB后進(jìn)入標(biāo)準(zhǔn)的Windows命令窗口。在MATLAB命令窗口里，用戶可以直接輸入命令程序，單擊菜單欄按鈕，就可以進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果也在命令窗口中顯示。程序較長(zhǎng)時(shí)，可以打開(kāi)一個(gè)新窗口，在新窗口里編寫(xiě)和修改程序。然后為這個(gè)程序命名，并保存在同一子目錄下。此后在命令窗口打入程序名并回車(chē)，就執(zhí)行該程序。Simulink是用于連續(xù)、離散以及混合的線性、非線性控制系統(tǒng)建模、仿真和分析的軟件包，并為用戶提供了用方框圖進(jìn)行建模的圖形接口，很適合用于控制系統(tǒng)的仿真。MATLAB只能作為輔助的分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)的工具，不能代替控制理論分析與設(shè)計(jì)方法。《自動(dòng)控制原理》國(guó)家精品課程浙江工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化研究所982.6.1傳遞函數(shù)模型的MATLAB表示1．有理分式形式的傳遞函數(shù)在MATLAB中表示為在MATLAB窗口中鍵入按回車(chē)鍵，命令窗口輸出如下結(jié)果Tramsferfunction：《自動(dòng)控制原理》國(guó)家精品課程浙江工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化研究所992.6.1傳遞函數(shù)模型的MATLAB表示2．零極點(diǎn)形式的傳遞函數(shù)在MATLAB中表示為在MATLAB窗口中鍵入按回車(chē)鍵，命令窗口輸出如下結(jié)果Zero/pole/gain：《自動(dòng)控制原理》國(guó)家精品課程浙江工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化研究所1002.6.2結(jié)構(gòu)圖的MATLAB表示兩個(gè)環(huán)節(jié)的并聯(lián)兩個(gè)環(huán)節(jié)的串聯(lián)反饋連接第八節(jié)用MATLAB處理控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型自動(dòng)控制理論傳遞函數(shù)模型控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型有以下4種形式。傳遞函數(shù)模型(tf對(duì)象)零、極點(diǎn)增益模型ZPK對(duì)象狀態(tài)空間模型(SS對(duì)象)動(dòng)態(tài)框圖本節(jié)主要介紹傳遞函數(shù)模型和建立零、極點(diǎn)形式的傳遞函數(shù)。令系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為在MATLAB建立傳