遙感圖像特征分析

關(guān)于遙感圖像特征分析第一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日第二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日第三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日第四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日大小(size)，指地物尺寸、面積、體積在圖象上的記錄。它是地物識(shí)別的重要標(biāo)志。它直觀地反映目標(biāo)相對(duì)于其它目標(biāo)的大小。若提供圖象的比例尺或空間分辨率，則可直接測(cè)得目標(biāo)的長(zhǎng)度、面積等定量信息。第五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日形狀(shape)，指地物目標(biāo)的外形、輪廓。圖象記錄的多為地物的平面、頂面形狀；側(cè)視成象雷達(dá)則得側(cè)視的斜象。地物的形狀是識(shí)別它們的重要而明顯的標(biāo)志。不少地物往往可以直接根據(jù)它特殊的形狀加以判定。第六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日第七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日紋理(texture)即圖象的細(xì)部結(jié)構(gòu)以一定頻率重復(fù)出現(xiàn)，指圖象上色調(diào)變化的頻率。它是一種單一細(xì)小特征的組合。這種單一特征可以很小，以至于不能在圖象上單獨(dú)識(shí)別如葉片、葉部陰影、河灘的沙礫等。目視解譯中，紋理指圖象上地物表面的質(zhì)感(平滑、粗糙、細(xì)膩等印象)。紋理不僅依賴于表面特征，且與光照角度、圖象對(duì)比度有關(guān)，是一個(gè)變化值。對(duì)光譜特征相似的物體常通過(guò)紋理差異加以識(shí)別，如在中比例尺航空象片上的林、灌、草，針葉林粗糙、灌叢較粗糙、幼林有絨感(絨狀影紋)、草地細(xì)膩、平滑感等第八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日

圖案(pattern)，即圖型結(jié)構(gòu)，指?jìng)€(gè)體目標(biāo)重復(fù)排列的空間形式。它反映地物的空間分布特征。許多目標(biāo)都具有一定的重復(fù)關(guān)系，構(gòu)成特殊的組合形式。它可以是自然的，也可以是人為的。這些特征有助于圖象的識(shí)別，如住宅區(qū)的建筑群、水田的壟塊、果園、排列整齊的樹(shù)冠等。第九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日第十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日第十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日位置(site)，指地理位置，它反映地物所處的地點(diǎn)與環(huán)境。地物與周邊的空間關(guān)系，如菜地多分布于居民點(diǎn)周圍及河流兩側(cè)；機(jī)場(chǎng)多在大城市郊區(qū)平坦地等。它對(duì)植物識(shí)別尤為重要，如有的植被生長(zhǎng)于高地、有的植被只能長(zhǎng)于濕地等第十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日組合(association)，指某些目標(biāo)的特殊表現(xiàn)和空間組合關(guān)系。即物體間一定的位置關(guān)系和排列方式——空間配置和布局。如磚場(chǎng)由磚窯的高煙夕、取土坑、堆磚場(chǎng)等組合而成，軍事目標(biāo)可能有雷達(dá)站、軍車、軍營(yíng)等第十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日第十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日第十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日1遙感圖象光譜特征描述第十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日地物光譜特征植被水體*第十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日影響植物光譜的因素

葉子的顏色：植物葉子中含有多種色素，在可見(jiàn)光范圍內(nèi)，其反射峰值落在相應(yīng)的波長(zhǎng)范圍內(nèi)。葉子的組織構(gòu)造葉子的含水量植物覆蓋程度第十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日不同植物類型的區(qū)分第十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日水體的光譜特征*第二十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日水體的光譜特征黃河水（泥沙含量960mg/L)長(zhǎng)江水（92.5mg/L)湖水（47.9mg/L)*第二十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日2遙感圖象邊緣特征描述第二十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日邊緣邊緣是指周圍像素灰度有階躍變化或屋頂變化的那些像素的集合。Poggio指出:“邊緣或許對(duì)應(yīng)著圖像中物體（的邊界）或許并沒(méi)有對(duì)應(yīng)著圖像中物體（的邊界）,但是邊緣具有十分令人滿意的性質(zhì),它能大大地減少所要處理的信息但是又保留了圖像中物體的形狀信息”*第二十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日理論曲線實(shí)際曲線(a)階躍函數(shù)(b)線條函數(shù)兩種常見(jiàn)的邊緣一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)示意圖(1)階躍不連續(xù)，即圖像強(qiáng)度在不連續(xù)處的兩邊的像素灰度值有著顯著的差異；(2)線條不連續(xù)，即圖像強(qiáng)度突然從一個(gè)值變化到另一個(gè)值，保持一較小行程后又回到原來(lái)的值．常見(jiàn)的邊緣類型*第二十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日邊緣檢測(cè)方法傳統(tǒng)邊緣檢測(cè)方法:Roberts算子、Sobel算子、高斯-拉普拉斯算子等Canny邊緣檢測(cè)小波多尺度邊緣檢測(cè)…第二十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日Canny邊緣檢測(cè)Canny提出了衡量邊緣檢測(cè)算法好壞的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn):(1)探測(cè)正確－即圖像中的邊緣不被檢測(cè)算子漏檢，也不會(huì)將非邊緣標(biāo)記為邊緣。(2)定位正確－圖像中邊緣位置與檢出的邊緣位置盡可能接近。(3)對(duì)邊緣單響應(yīng)－對(duì)圖像中單個(gè)邊緣，檢測(cè)算子為單響應(yīng)。第二十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日Canny邊緣檢測(cè)器的實(shí)現(xiàn)1）求圖像與高斯平滑濾波器卷積:

2）使用一階有限差分計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)陣列P與Q：3）幅值和方位角:第二十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日4）非極大值抑制（NMS）：細(xì)化幅值圖像中的屋脊帶，即只保留幅值局部變化最大的點(diǎn)。*將梯度角的變化范圍減小到圓周的四個(gè)扇區(qū)之一，*方向角：*幅值：在每一點(diǎn)上，鄰域的中心象素M與沿著梯度線的兩個(gè)象素相比。如果M的梯度值不比沿梯度線的兩個(gè)相鄰象素梯度值大，則令M=0*第二十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日(5)滯后閾值化

由于噪聲的影響，對(duì)圖像中單個(gè)邊緣的錯(cuò)誤響應(yīng)，經(jīng)常會(huì)導(dǎo)致本應(yīng)連續(xù)的邊緣出現(xiàn)斷裂的問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題可以利用滯后閾值化加以解決。如果任何像素對(duì)邊緣算子的響應(yīng)超過(guò)高閾值，將這些像素標(biāo)記為邊緣；響應(yīng)超過(guò)低閾值的像素，如果與已經(jīng)標(biāo)為邊緣的像素4－鄰接或8－鄰接，則將這些像素也標(biāo)記為邊緣，這個(gè)過(guò)程反復(fù)迭代，剩下的孤立的響應(yīng)超過(guò)低閾值的像素則視為噪聲，不再標(biāo)記為邊緣。這兩個(gè)閾值根據(jù)信噪比確定。第二十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日Canny邊緣檢測(cè)結(jié)果7X7高斯濾波模板13X13高斯濾波模板第三十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日Canny邊緣檢測(cè)結(jié)果第三十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日小波邊緣檢測(cè)算法基于小波分析的邊緣檢測(cè)算法總結(jié)如下：（1）對(duì)原始圖像進(jìn)行多級(jí)小波分解，得到多尺度的模圖像。（2）計(jì)算并記錄小波變換域中模為局部最大值的點(diǎn)。（3）通過(guò)自適應(yīng)閾值法進(jìn)行閾值處理，得到多尺度的邊界圖像。（4）進(jìn)行逆小波變換，得到邊界圖像。*第三十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日飛機(jī)與其邊緣圖第三十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日直線檢測(cè)算法Hough變換檢測(cè)直線Hough變換利用圖像空間和Hough參數(shù)空間的點(diǎn)－線對(duì)偶性，把圖像空間中的檢測(cè)問(wèn)題轉(zhuǎn)換到參數(shù)空間。通過(guò)在參數(shù)空間里進(jìn)行簡(jiǎn)單的累加統(tǒng)計(jì)，然后在Hough參數(shù)空間尋找累加器峰值的方法檢測(cè)直線。第三十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日

變換前

變換后第三十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日利用Hough變換提取橋梁(a)原圖(b)分割后圖像圖4-4Hough變換的對(duì)橋梁的分割結(jié)果

第三十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日相位編組直線檢測(cè)原理：利用梯度方向獲取直線支撐區(qū)。第三十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)驗(yàn)結(jié)果：圖一：原始圖像圖二：白色表示線支持區(qū)域圖三：最小二乘擬合結(jié)果第三十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日3遙感圖象紋理特征描述第三十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日(a)(b)人工紋理與自然紋理(a)人工紋理；（b）自然紋理

紋理的概念第四十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日將特定的紋理區(qū)域用一定規(guī)則提取出來(lái)紋理信息提取第四十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日目前的紋理提取技術(shù)的分類統(tǒng)計(jì)方法利用灰度值的空間分布這一特性，提出了一大批的紋理統(tǒng)計(jì)方法與統(tǒng)計(jì)特征。幾何方法紋理元構(gòu)成紋理。模型方法通過(guò)模型參數(shù)來(lái)定義紋理，模型的參數(shù)決定著紋理的質(zhì)量。

信號(hào)處理方法（基于數(shù)學(xué)變換）括空間域?yàn)V波、傅立葉濾波、Gabor和小波變換等。*第四十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日統(tǒng)計(jì)方法的分類共生矩陣羅氏紋理能量自相關(guān)局部二元模式*第四十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日共生矩陣方法概述在圖像上任意取一點(diǎn)A(x,y),以及偏離它的另一點(diǎn)(x+a,y+b),設(shè)A點(diǎn)對(duì)的灰度值為(f1,f2)。然后再令A(yù)點(diǎn)(x,y)在整幅圖像上移動(dòng)，則會(huì)得到各個(gè)(f1,f2)及偏離點(diǎn)(x+a,y+b)的(f1,f2)值。設(shè)灰度值的級(jí)數(shù)為K，則f1和f2的組合有K的平方種。對(duì)于整幅圖像，統(tǒng)計(jì)出每一種(f1,f2)值的出現(xiàn)次數(shù)，然后排列成為一個(gè)方陣，再用(f1,f2)出現(xiàn)的總次數(shù)將它們歸一化為出現(xiàn)的概率P(f1,f2)，則稱這樣的方陣為灰度共生矩陣。*第四十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日共生矩陣方法下圖就是一個(gè)測(cè)試圖像，大小為4*4。這個(gè)圖的灰度級(jí)定為四級(jí)，為0，1，2，3，所以有16種不同灰度值的組合：假如我們定為偏移方向是0度角，偏移距離為1個(gè)像素點(diǎn)，那么我們就可以得到我們的一個(gè)GLCM了，如下圖：第四十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日共生矩陣靠右的一排像素沒(méi)有相鄰的像素能用以計(jì)算了，實(shí)際計(jì)算只有前面的像素，如下圖可以再進(jìn)行計(jì)算相反的GLCM，這次的偏移方向是相反的，角度為180度，偏移量不變。然后將兩次得到的矩陣相加，即可以得到相對(duì)對(duì)稱的矩陣，而不是有偏差的矩陣第四十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日共生矩陣對(duì)于整幅圖像而言，可以使用滑動(dòng)窗口來(lái)計(jì)算你所要計(jì)算的像素值。如下圖第四十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日共生矩陣的參數(shù)對(duì)比度參數(shù)規(guī)律性參數(shù)描述性統(tǒng)計(jì)量參數(shù)第四十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)比度(Contrast)對(duì)比度使用了所要計(jì)算的像素點(diǎn)和GLCM中的對(duì)角線的距離的平方作為權(quán)值來(lái)表示。為了描述一個(gè)區(qū)域中的對(duì)比度，必須創(chuàng)造一個(gè)權(quán)值，當(dāng)像素灰度值相差越大時(shí)，權(quán)值越大，相差越小時(shí)，權(quán)值越小，相同時(shí)，權(quán)值為0。而GLCM的對(duì)角線表示了沒(méi)有對(duì)比度的值，越遠(yuǎn)離對(duì)角線，對(duì)比度越大。解釋：當(dāng)i和j相等時(shí)，權(quán)值為0，表示沒(méi)有像素之間沒(méi)有對(duì)比度，所以給0值；當(dāng)i和j相差為1時(shí)，就有了小的對(duì)比度，給權(quán)值為1；當(dāng)i和j相差為2時(shí)，對(duì)比度增加為4；權(quán)值隨i和j的相差值增加而增加。第四十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日均一度(Homogeneity)解釋：均一性是與對(duì)比度相反的。當(dāng)i和j相等時(shí)，權(quán)值為1，此時(shí)相關(guān)系數(shù)是最大值——1；當(dāng)i和j相差為1時(shí)，就有了稍小的相關(guān)性，給權(quán)值為0.5；當(dāng)i和j相差為2時(shí)相關(guān)性減少到0.2；權(quán)值隨i和j的相差值增加而減少。第五十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日規(guī)律性參數(shù)AngularSecondMoment(ASM)能量平均信息量（很多文獻(xiàn)里稱為熵）（Entropy）第五十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日GLCM描述性統(tǒng)計(jì)量GLCM均值（GLCMMean)GLCM方差（GLCMVariance）GLCM相關(guān)性（GLCMCorrelation）第五十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日GLCM實(shí)驗(yàn)*第五十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日GLCM實(shí)驗(yàn)第五十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日局部二元模式LocalBinaryPattern最基本的LBP算子是一個(gè)固定大小為3×3的矩形塊,此矩形中有一個(gè)中心子塊和8個(gè)鄰近子塊對(duì)應(yīng)于9個(gè)灰度值。LBP算子的作用步驟(見(jiàn)圖3)將四周的8個(gè)灰度值與中心灰度值相比較,大于中心灰度值的子塊由1表示,反之,則由0表示。然后根據(jù)順時(shí)針?lè)较蜃x出8個(gè)二進(jìn)制值,作為該3×3矩形塊的特征值。由此作為對(duì)此區(qū)域紋理的描述。第五十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日擴(kuò)展的LBP隨后,出現(xiàn)了擴(kuò)展LBP算子,即使用不同數(shù)量的鄰近子塊以及不同尺寸的矩形塊,利用環(huán)形的鄰近子塊和灰度值線性內(nèi)插可以構(gòu)造任意鄰近子塊和半徑大小的LBP算子。如圖4為兩個(gè)擴(kuò)展LBP算子,其尺度表示為(P,R),即在半徑為R的圓周上存在P個(gè)插值點(diǎn)。第五十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日LBP實(shí)驗(yàn)結(jié)果

第五十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日模型方法Markov隨機(jī)場(chǎng)分形模型…第五十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日分形模型（fractal）分形是對(duì)沒(méi)有特征長(zhǎng)度，但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的總稱什么是分形幾何？通俗一點(diǎn)說(shuō)就是研究無(wú)限復(fù)雜但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)。什么是自相似呢？例如高山的表面，您無(wú)論怎樣放大其局部，它都如此粗糙不平；例如一棵蒼天大樹(shù)與它自身上的樹(shù)枝及樹(shù)枝上的枝杈，在形狀上沒(méi)什么大的區(qū)別等等分形幾何揭示了世界的本質(zhì)，分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)第五十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日第六十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日第六十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日用分形模型描述紋理在紋理分析應(yīng)用中，一般采用分形維數(shù)（可直觀地理解為不規(guī)則幾何形狀的非整體維數(shù)）來(lái)描述紋理但是：不同分形極可能會(huì)有相同的分形維數(shù)而其表現(xiàn)或紋理卻是不同的。對(duì)于分形表面的模擬也表明，即使分形維數(shù)保持不變，也會(huì)得到不同的視覺(jué)紋理。第六十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日基于分形分維的人工紋理圖像分割結(jié)果第六十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日信號(hào)處理方法Gabor方法小波變換第六十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日3.1GABOR濾波提取圖象紋理定義方式其中，是尺度參數(shù)，為方向參數(shù)，為方差，取為第六十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日

它是一個(gè)濾波器組，在0，45，90，135度時(shí)不同尺度下的濾波器形狀如下圖：u=0,v=4u=1,v=4u=2,v=4u=0,v=6u=1,v=6u=2,v=6u=0,v=0u=1,v=0u=2,v=0u=0,v=2u=1,v=2u=2,v=2濾波器形狀第六十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日GaborFilterGabor濾波器分割圖像的主要原理：通過(guò)構(gòu)造一個(gè)濾波器組來(lái)提取圖像不同方向和尺度下的特征，達(dá)到分割圖像的目的。該算法中主要的操作步驟包括濾波器的構(gòu)造、特征的提取和特征的聚類。第六十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日GaborFilter的一般步驟濾波器的構(gòu)造特征提取

特征平滑特征聚類第六十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日特征提取

用該濾波器組的每一個(gè)濾波器g(m,n)分別與原始圖像f(m,n)作卷積，得到了特征向量空間，記為r(m,n)。此處，為了避免復(fù)雜的卷積運(yùn)算，引入快速傅立葉變換，在頻域中用點(diǎn)乘運(yùn)算，然后再反變換到空間域中，公式如下：第六十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日特征平滑根據(jù)特征的分布情況計(jì)算分布方差值：為該特征向量集的均值根據(jù)求得的方差設(shè)計(jì)二維高斯函數(shù)，得到一個(gè)濾波模板，如下式:

第七十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日其中，u為高斯分布的均值，取為0；在此基礎(chǔ)上，作操作g=Y*YT，得到對(duì)稱的二維高斯濾波模板g。用得到的濾波模板g與特征向量r(m,n)作卷積以平滑該特征，而得到最終的特征向量s(m,n)。s(m,n)中盡可能地保留了原始的低頻信息。第七十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日特征聚類由于特征選擇的方法可以保證同一種紋理的像素點(diǎn)基本分布在特征空間的同一區(qū)域，所以用簡(jiǎn)單的聚類算法如K-Means算法即可以實(shí)現(xiàn)像素的標(biāo)記，從而實(shí)現(xiàn)圖像的分割。此步驟從略。第七十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日GaborFilter試驗(yàn)結(jié)果第七十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日GaborFilter試驗(yàn)結(jié)果第七十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日4遙感圖象目標(biāo)形狀特征描述第七十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日邊界矩目標(biāo)形狀的邊界矩的基本原理可以簡(jiǎn)述為通過(guò)目標(biāo)邊界曲線C函數(shù)的各階邊界矩和中心化邊界矩，通過(guò)各階中心矩的組合形成不變矩函數(shù)式，從而表示目標(biāo)對(duì)象的形狀特征。第七十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日定義方式假設(shè)目標(biāo)邊界曲線C，其上各點(diǎn)坐標(biāo)可由二維函數(shù)f(x,y)表示。則函數(shù)的(p+q)階邊界矩可表示為：而中心化邊界矩可表示為：其中第七十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日離散的情況（數(shù)字圖像）規(guī)格化的邊界矩可以定義為：第七十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日始點(diǎn)位置、位移、旋轉(zhuǎn)以及尺度縮放不變性的不變矩公式第七十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日注意的方面：在以上七個(gè)邊界矩不變函數(shù)式中，只有前六個(gè)函數(shù)式具有RST三個(gè)不變性，而第七個(gè)函數(shù)式只ST不變性。在量化過(guò)程中，受實(shí)際采樣方式的影響，基于矩的圖像特征并不能嚴(yán)格的保證旋轉(zhuǎn)與比例尺度不變性，因此需要合理設(shè)置采樣的間隔。第八十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日使用流程第八十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日Shaperegularityindex(SR)

3.775.541.463.615.090.155.390.725.200.334.274.98應(yīng)用例子第八十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日轉(zhuǎn)折函數(shù)（turningfunction）

ApolygonAcanberepresentedbyalistofverticesarounditsboundarywithcorrespondingcoordinates.TheturningfunctionΘ

(s),whichmeasuresthecumulativeangleofthecounterclockwisetangentasafunctionofthearclengths,measuredfromsomereferencepointo

onA'sboundary第八十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日轉(zhuǎn)折函數(shù)距離量測(cè)方法GiventwopolygonsAandBandtheirassociatedturningfunctionsΘA

(s)andΘB

(s),wecanmeasurethedegreetowhichtheyaresimilarbytakingthedistancebetweenΘA

(s)andΘB

(s)intermsofthemetriconfunctionspaces.TheLP

distancebetweenAandBisdefinedaswhere||.||denotestheLpnorm.Supposetheturningfunctionis