平衡半樣本法

復(fù)雜樣本的方差估計(jì)——平衡半樣本法平衡半樣本法在實(shí)際抽樣調(diào)查中，為了提高效率，常采用每層只抽兩個(gè)單元的分層抽樣。這時(shí)如果要采用前面介紹的隨機(jī)組方差估計(jì)，則因?yàn)閮H僅只有兩個(gè)沒有共同單元的隨機(jī)組，將使得方差估計(jì)不夠穩(wěn)定。也就是說，由于這兩個(gè)隨機(jī)組的取法的偶然性，將會(huì)使得方差的估計(jì)值起伏比較大。本節(jié)將介紹解決這個(gè)問題的平衡半樣本方法（balancedhalf-samplemethod）。半樣本假設(shè)對(duì)總體

，采用分層隨機(jī)抽樣，每層有放回地簡單隨機(jī)抽取2個(gè)單元，設(shè)yh1和yh2是第h層的樣本觀測值（h=1,2,...,L）,則總體均值

的無偏估計(jì)為：式中，

為層權(quán)；的方差

的標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量為：式中，使用隨機(jī)組方法，因每層只抽取2個(gè)單元，所以只有2個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)組（y11,y21,…,yt-1）和(y12,y22,…,yt-2)。此

時(shí)的隨機(jī)組估計(jì)為：式中，這個(gè)估計(jì)量計(jì)算簡單。但由于僅有一個(gè)自由度，其穩(wěn)定性比標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量

差。為了既保留隨機(jī)組估計(jì)

的簡單性，又能保持標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量

的穩(wěn)定性，我們引入半樣本方法，即從每層抽取一個(gè)單元形成半樣本，總共可能出現(xiàn)

個(gè)半樣本。由于不同半樣本中包含某些共同的單元，所以半樣本之間是彼此相關(guān)的。在這一點(diǎn)上，半樣本方法與隨機(jī)組方法存在本質(zhì)上的不同。平衡半樣本估計(jì)個(gè)統(tǒng)計(jì)量

的平均，即

是

的無偏估計(jì)。然而，當(dāng)層數(shù)L較大時(shí)，這個(gè)估計(jì)量的計(jì)算是不可行的。為了簡化計(jì)算，一個(gè)很自然的想法是選擇一個(gè)小的半樣本子集，希望這個(gè)半樣本子集盡量保留所有的信息，這樣即可達(dá)到簡化計(jì)算的目的，又能保證足夠的精度。假設(shè)這個(gè)半樣本子集包含k個(gè)半樣本，可以推算出下式：因此，如果所選擇的k個(gè)半樣本對(duì)所有

（=1,2,…,L）都滿足以下條件：那么，

就正好等于

因此，我們說這k個(gè)半樣本完全保留了

個(gè)半樣本所包含的關(guān)于

的信息。滿足條件式的k組半樣本成為平衡半樣本。（1）如何確定平衡半樣本呢？PlackettandBurman(1946)給出了k*k階政教矩陣（k為4的倍數(shù)，為Hadamard矩陣）的方法。下表給出了4*4階矩陣，其中列表示層，行表示半樣本；在a行第h列的位置+1表示層h的第一個(gè)單元被選入第a個(gè)半樣本，-1表示層h的第二個(gè)單元被選入第a個(gè)半樣本。按這種方式定義的半樣本即為平衡半樣本。完全正交平衡半樣本：k的選擇應(yīng)該是大于L的4的最小整數(shù)倍半樣本層12341+1+1+1-12-1+1-1-13-1-1+1-14+1-1-1-1表具有以下性質(zhì)，即除了最后一列外，每列之和均為零。也就是說，當(dāng)L<k時(shí)（k=4or8）,有對(duì)一般的k的情形也是如此，即用PlackettandBurman方法構(gòu)造的正交矩陣在L<k時(shí)都滿足上式。因此在k>L的條件下，我們有從而（2）這與將所有的

個(gè)

進(jìn)行平均所得的結(jié)果完全一樣。我們稱同時(shí)滿足式（1）和式（2）兩個(gè)條件的半樣本為完全正交平衡（fullorthogonalbalance）半樣本。

在復(fù)雜分層抽樣方案中，層數(shù)L經(jīng)常很大,即使平衡半樣本方法已經(jīng)減少了半樣本數(shù)，但由于k大于等于L的要求，所需計(jì)算量仍然龐大。這時(shí)可以設(shè)計(jì)k組部分平衡半樣本，具體方法如下。假設(shè)有L層，采用k組半樣本，k<L。假設(shè)L可以被k整除，L/k=G，于是L層可分為G群。為敘述方便，假設(shè)L=4，按照平衡半樣本方法，必須k>=4。但這里我們?nèi)=2,則4層分為2群，對(duì)包含第1層和第2層的第一群利用2階Hadamard矩陣構(gòu)造正交列，對(duì)包含第三層和第四層的第二群用同樣方法，見下表。部分平衡半樣本部分平衡半樣本

半樣本層12341+1+1+1+12+1-1+1-1部分平衡半樣本的方差估計(jì)量雖然不如完全平衡半樣本精確，但也是無偏的。BRR用于多階段分層抽樣

假設(shè)總體分為H個(gè)層，并且從每層中有放回的以不等概率抽取兩個(gè)初級(jí)抽樣單元。利用向量

定義半樣本r：如果

則所有在該層的初級(jí)抽樣單元1的觀測值屬于半樣本r；如果

則所有在該層的初級(jí)抽樣單元2的觀測值屬于半樣本r。對(duì)于半樣本r創(chuàng)造一個(gè)新的權(quán)重列向量：

現(xiàn)在使用

代替w求半樣本r的估計(jì)量。對(duì)于全樣本，總體總量y的估計(jì)為；對(duì)于半樣本r，總體總量y的估計(jì)量為

如果，則，并且有

。由所學(xué)知識(shí)我們知道可以使用權(quán)重計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，這里我們使用半樣本計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。

如果

是總體中位數(shù)，則

可能定義為當(dāng)

時(shí)y的最小值，這時(shí)

可能定義為當(dāng)

時(shí)y的最小值。

對(duì)于任意統(tǒng)計(jì)量，我們定義

BBR也能夠用于估計(jì)統(tǒng)計(jì)量的協(xié)方差：如果

和

是目標(biāo)量，則

BRR用于非線性估計(jì)對(duì)于非線性估計(jì)量，一般和是不等的，但多數(shù)調(diào)查實(shí)踐中兩者非常接近

優(yōu)點(diǎn)：對(duì)于總體總量和分位數(shù)的平滑函數(shù)的方差估計(jì)，BRR給出的方差估計(jì)近似等于由線性化方法得到的方差估計(jì)。與刀切法和自助法相比，BRR的計(jì)算量更少。缺點(diǎn)：正如前面所定義的一樣，BRR要求每層只有兩個(gè)初級(jí)抽樣單元的設(shè)計(jì)。實(shí)際上，其經(jīng)常通過使用更復(fù)雜的平衡項(xiàng)擴(kuò)展到其他抽樣設(shè)計(jì)中。當(dāng)每層總體數(shù)和各層基本抽樣單元數(shù)較小時(shí)，BRR在有放回抽樣情況下所得到的方差估計(jì)和刀切法、自助法一樣偏大。例題：拒答率調(diào)查為研究被調(diào)查者拒答情況，實(shí)施一項(xiàng)調(diào)查。抽樣方式為分層隨機(jī)抽樣，從三個(gè)城區(qū)中各自隨機(jī)抽取兩個(gè)居委會(huì)，假設(shè)各層權(quán)重相同，調(diào)查結(jié)果見下表。試?yán)闷胶獍霕颖痉ü烙?jì)拒答率

的方差。城區(qū)居委會(huì)（s1）居委會(huì)（s2）拒答戶數(shù)（y1）合格調(diào)查戶數(shù)（x1）拒答戶數(shù)（y2）合格調(diào)查戶數(shù)（x2）141150371492401493014833814538150總計(jì)119444105447解：由于各權(quán)重相同，拒答率的估計(jì)為：用完全平衡半樣本法估計(jì)拒答率

的方差，抽取層數(shù)L=3，因?yàn)橐?/p>

，因此取k=4，平衡比一般的確定見表2.取各區(qū)第一個(gè)居委會(huì)形成第一個(gè)半樣本，該半樣本基期余集的拒答率的估計(jì)為：取第一區(qū)的第二個(gè)居委會(huì)，第二區(qū)的第一個(gè)居委會(huì)以及第三區(qū)的第二個(gè)居委會(huì)形成第二個(gè)半樣本，該半樣本及其余集的拒答率的