2017版數(shù)學(xué)知識方法篇專題8概率與統(tǒng)計(jì)第39練含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第39練概率的兩類模型［題型分析·高考展望]概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的必考知識點(diǎn)。在高考中，概率部分的命題主要有三個方面的特點(diǎn)：一是以古典概型的概率公式為考查對象，二是以幾何概型的概率公式為考查對象，三是古典概型與其他知識相交匯，題目多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).體驗(yàn)高考1。(2015·課標(biāo)全國Ⅰ)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù),從1，2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.eq\f（3，10）B。eq\f（1,5)C.eq\f（1，10）D。eq\f(1,20）答案C解析從1，2，3,4，5中任取3個不同的數(shù)共有如下10個不同的結(jié)果：(1，2，3)，（1，2，4)，（1,2，5)，(1，3，4）,（1,3，5），(1,4，5），（2,3，4），（2，3,5）,（2，4，5)，（3,4，5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5），所以概率為eq\f(1,10）.故選C.2。（2015·山東)在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個數(shù)x,則事件“－1≤logeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f（1，2）)）≤1"發(fā)生的概率為（)A.eq\f(3,4）B.eq\f（2，3)C.eq\f(1，3)D。eq\f(1,4）答案A解析由－1≤logeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1，2)））≤1，得eq\f（1，2）≤x＋eq\f(1,2）≤2,∴0≤x≤eq\f(3，2）?！嘤蓭缀胃判偷母怕视?jì)算公式得所求概率P＝eq\f(\f(3，2）－0,2－0)＝eq\f(3,4)。3。（2015·福建）如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0），且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，，－\f(1,2)x＋1,x＜0）)的圖象上。若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f（1，4）C。eq\f（3,8）D。eq\f(1,2）答案B解析由圖形知C(1，2）,D(－2，2),∴S四邊形ABCD＝6，S陰＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3，2).∴P＝eq\f(\f(3,2），6)＝eq\f（1,4）。4。(2016·課標(biāo)全國乙）某公司的班車在7:00，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是（)A。eq\f（1，3)B。eq\f（1，2)C.eq\f(2，3)D.eq\f（3,4)答案B解析如圖所示，畫出時間軸：小明到達(dá)的時間會隨機(jī)的落在圖中線段AB中,而當(dāng)他的到達(dá)時間落在線段AC或DB時,才能保證他等車的時間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P＝eq\f（10＋10,40)＝eq\f（1，2),故選B。5.(2016·天津）甲、乙兩人下棋,兩人下成和棋的概率是eq\f（1,2),甲獲勝的概率是eq\f（1,3)，則甲不輸?shù)母怕蕿?)A。eq\f（5，6）B.eq\f(2，5）C.eq\f(1，6)D。eq\f（1,3)答案A解析事件“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝"這兩個互斥事件，所以甲不輸?shù)母怕蕿閑q\f（1,2）＋eq\f(1,3）＝eq\f(5,6）。高考必會題型題型一古典概型問題例1(1）（2016·課標(biāo)全國丙）小敏打開計(jì)算機(jī)時，忘記了開機(jī)密碼的前兩位,只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1，2，3，4，5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是（）A.eq\f（8，15）B.eq\f(1，8）C.eq\f(1，15)D.eq\f(1,30）答案C解析第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1，2,3，4,5中的一個數(shù)字,所以總的基本事件的個數(shù)為15,密碼正確只有一種，概率為eq\f（1,15），故選C.(2）某班級的某一小組有6位學(xué)生，其中4位男生,2位女生，現(xiàn)從中選取2位學(xué)生參加班級志愿者小組，求下列事件的概率：①選取的2位學(xué)生都是男生；②選取的2位學(xué)生一位是男生，另一位是女生.解①設(shè)4位男生的編號分別為1，2,3，4,2位女生的編號分別為5,6.從6位學(xué)生中任取2位學(xué)生的所有可能結(jié)果為（1，2）,(1，3)，（1，4)，（1，5），（1，6），(2，3)，（2,4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，（3，5）,(3，6),(4,5)，(4,6)，(5，6），共15種。從6位學(xué)生中任取2位學(xué)生，所取的2位全是男生的方法數(shù)，即從4位男生中任取2個的方法數(shù),共有6種，即（1,2），(1，3）,（1，4），（2,3)，（2，4），（3，4)。所以選取的2位學(xué)生全是男生的概率為P1＝eq\f(6，15）＝eq\f（2，5）。②從6位學(xué)生中任取2位,其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5），（1，6)，（2，5），（2,6),（3，5)，（3，6），(4,5），（4，6)，共8種.所以選取的2位學(xué)生一位是男生，另一位是女生的概率為P2＝eq\f(8，15）。點(diǎn)評求解古典概型問題的三個步驟(1）判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是不是等可能的，設(shè)出所求事件A。（2)分別計(jì)算基本事件的總數(shù)n和所求事件A所包含的基本事件的個數(shù)m。(3）利用古典概型的概率公式P（A）＝eq\f(m，n)求出事件A的概率。若直接求解比較困難，則可以利用間接的方法,如逆向思維,先求其對立事件的概率，進(jìn)而再求所求事件的概率.變式訓(xùn)練1(2016·北京）從甲，乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為(）A。eq\f（1，5)B。eq\f（2，5）C。eq\f（8，25)D。eq\f(9，25）答案B解析從甲,乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選2人共有10種情況,甲被選中有4種情況，則甲被選中的概率為eq\f(4,10）＝eq\f（2，5)。題型二幾何概型問題例2(1)設(shè)不等式組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0≤x≤2，,0≤y≤2)）表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個點(diǎn),則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（）A。eq\f(π，4)B.eq\f(π－2,2）C。eq\f(π,6)D。eq\f(4－π,4）（2）在區(qū)間［0,π]內(nèi)隨機(jī)取兩個數(shù)分別記為a,b，則使得函數(shù)f（x）＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)的概率為（)A。eq\f（7，8)B.eq\f（3，4)C.eq\f（1，2）D。eq\f（1,4）答案(1）D（2)B解析（1)如圖所示,正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域.易知該陰影部分的面積為4－π。因此滿足條件的概率是eq\f（4－π，4)，所以選D.(2）所求概率為幾何概型，測度為面積，則Δ＝4a2＋4b2－4π≥0?a2＋b2≥π得所求概率為1－eq\f(\f(1,4）π2，π2)＝eq\f(3,4).點(diǎn)評(1）幾何概型并不限于向平面（或直線、空間）投點(diǎn)的試驗(yàn)，如果一個隨機(jī)試驗(yàn)有無限多個等可能的基本結(jié)果，每個基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間）中的一點(diǎn)來表示，而所有基本結(jié)果對應(yīng)于一個區(qū)域Ω，這時，與試驗(yàn)有關(guān)的問題即可利用幾何概型來解決。(2)幾何概型的概率求解,一般要將問題轉(zhuǎn)化為長度、面積或體積等幾何問題。在轉(zhuǎn)化中，面積問題的求解常常用到線性規(guī)劃知識，也就是用二元一次不等式（或其他簡單不等式)組表示區(qū)域。幾何概型的試驗(yàn)中事件A的概率P(A）只與其所表示的區(qū)域的幾何度量（長度、面積或體積)有關(guān)，而與區(qū)域的位置和形狀無關(guān)。變式訓(xùn)練2（1）已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o（PB,\s\up6（→))＋eq\o(PC，\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6（→)）＝0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是（）A.eq\f(1，4）B.eq\f（1,3)C.eq\f(2,3)D。eq\f(1,2）(2)如圖，在邊長為e（e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為______.答案（1)D（2)eq\f(2，e2）解析（1）由eq\o（PB,\s\up6（→))＋eq\o(PC，\s\up6（→））＋2eq\o（PA，\s\up6(→））＝0，可得eq\o(PB,\s\up6(→)）＋eq\o（PC，\s\up6(→））＝－2eq\o（PA,\s\up6(→）)，由向量加法的幾何意義可知點(diǎn)P在△ABC的中線AD上,且eq\o(PB,\s\up6（→)）＋eq\o(PC,\s\up6（→）)＝eq\o(PE，\s\up6(→）),如圖所示，由共線向量定理知eq\o（PE，\s\up6（→）)＝2eq\o(PD，\s\up6(→）)＝－2eq\o(PA,\s\up6（→)),所以eq\o(PD,\s\up6(→）)＝－eq\o（PA，\s\up6（→))，所以P為AD的中點(diǎn)，所以△PBC的面積是△ABC面積的eq\f（1,2)，根據(jù)幾何概型可知黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是P＝eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f（1，2），故選D.（2)＝2[e－e－(0－1)]＝2.又該正方形面積為e2，故由幾何概型的概率公式可得所求概率為eq\f（2,e2）.高考題型精練1。從1，2，3，4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是(）A.eq\f(1，2)B.eq\f(1,3)C。eq\f（1，4）D。eq\f（1,6）答案B解析從1，2，3，4中任取2個不同的數(shù)共有6(種）不同取法，其中取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的有2種不同取法，故所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f（1，3），選B.2。(2015·廣東)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球,5個紅球.從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為（）A。eq\f(5,21）B。eq\f(10,21)C.eq\f(11,21)D。1答案B解析從袋中任取2個球共有Ceq\o\al(2，15）＝105（種)取法，其中恰好1個白球1個紅球共有Ceq\o\al（1，10）Ceq\o\al(1，5）＝50（種)取法，所以所取的球恰好1個白球1個紅球的概率為eq\f(50,105）＝eq\f（10,21）。3。(2016·課標(biāo)全國甲）某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒。若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為（）A。eq\f（7,10）B.eq\f（5，8)C.eq\f(3，8)D.eq\f(3,10）答案B解析至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為eq\f(40－15，40）＝eq\f（5,8），故選B。4。在區(qū)間［0，10]內(nèi)隨機(jī)取出兩個數(shù),則這兩個數(shù)的平方和在區(qū)間[0,10］內(nèi)的概率為(）A。eq\f(π，40）B。eq\f(\r（10)，10)C.eq\f(1，10）D。eq\f（π，4)答案A解析設(shè)這兩個數(shù)為x,y，則0≤x≤10，0≤y≤10,構(gòu)成一個正方形，面積為102，這兩個數(shù)的平方和x2＋y2∈［0,10］，在正方形中形成的陰影面積為eq\f(10π,4），因此所求概率為eq\f(\f(10π，4)，102）＝eq\f（π,40），選A.5。設(shè)a∈[1，4]，b∈[1,4]，現(xiàn)隨機(jī)地抽出一對有序?qū)崝?shù)對（a，b）使得函數(shù)f（x）＝4x2＋a2與函數(shù)g(x)＝－4eq\r（b)x的圖象有交點(diǎn)的概率為（）A。eq\f(5，27）B.eq\f(5,16）C.eq\f(5，54)D.eq\f(1,9）答案A解析因?yàn)閍∈［1，4]，b∈［1，4],所以（a，b)所在區(qū)域面積為9，f(x)＝4x2＋a2與函數(shù)g(x)＝－4eq\r（b）x的圖象有交點(diǎn)，等價于4x2＋4eq\r（b）x＋a2＝0有解,即是b≥a2，此時(a，b）所在區(qū)域如圖陰影部分，其面積為3－(a2－1)da＝3－（eq\f(1,3)a3－a)eq\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(2,1)）＝eq\f（5,3),由幾何概型概率公式得到函數(shù)f(x）＝4x2＋a2與函數(shù)g（x)＝－4eq\r（b)x的圖象有交點(diǎn)的概率為eq\f(\f(5,3)，9）＝eq\f（5，27)，故選A.6。一只螞蟻在三邊長分別為3,4，5的三角形的內(nèi)部爬行，某時間該螞蟻距離三角形的三個頂點(diǎn)的距離均超過1的概率為()A。6－eq\f(π，2）B.6－eq\f(π，12）C。1－eq\f(π,12）D。2－eq\f(π,12）答案C解析因?yàn)槿切蔚拿娣e為eq\f（1,2)×3×4＝6，離三角形的三個頂點(diǎn)的距離不超過1的面積為eq\f(1，2)×π×12＝eq\f（π,2），所以某時間該螞蟻距離三角形的三個頂點(diǎn)的距離均超過1的概率P＝eq\f（6－\f(π,2）,6)＝1－eq\f(π，12),故選C.7。（2016·四川）從2、3、8、9任取兩個不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率是________。答案eq\f(1，6)解析從2、3、8、9任取兩個數(shù)分別為記為（a，b)，則有（2，3），(3，2）,(2,8），（8，2)，（2，9），(9，2），(3，8），(8，3），(3，9）,（9,3）,(8,9），（9，8），共有12種情況，其中符合logab為整數(shù)的有l(wèi)og39和log28兩種情況,所以P＝eq\f(2，12）＝eq\f(1，6)。8.若袋中5個外形相同的小球，其中紅球2個,白球3個，現(xiàn)從中任取2個球，則取出的球中有紅球的概率為________。答案eq\f(7，10)解析5個外形相同的小球，記其中的2個紅球?yàn)?，2，3個白球?yàn)閍，b，c。從中任取2個球，共有10種可能的結(jié)果，其中沒有紅球有3種可能的結(jié)果。所以有紅球的概率為1－eq\f(3，10)＝eq\f(7，10）。9。(2016·上海)某食堂規(guī)定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種,則甲、乙兩同學(xué)各自所選的兩種水果相同的概率為________.答案eq\f(1,6）解析甲同學(xué)從四種水果中選兩種，選法有Ceq\o\al（2，4)種，乙同學(xué)的選法有Ceq\o\al(2，4）種。兩同學(xué)相同的選法有Ceq\o\al(2,4）種，由古典概型概率計(jì)算公式可得，甲、乙兩同學(xué)各自所選的兩種水果相同的概率為eq\f(C\o\al（2,4)，C\o\al(2，4）C\o\al（2，4)）＝eq\f(1，6)。10。一個三位自然數(shù)abc的百位，十位，個位上的數(shù)字依次為a，b,c,當(dāng)且僅當(dāng)a>b且c>b時稱為“凹數(shù)”.若a，b，c∈｛4,5，6，7,8｝，且a，b，c互不相同，任取一個三位數(shù)abc，則它為“凹數(shù)”的概率是________。答案eq\f（1，3)解析根據(jù)題意，當(dāng)且僅當(dāng)a>b且c〉b是稱為“凹數(shù)”，在{4，5，6，7，8｝的5個整數(shù)中任取3個不同的數(shù)組成三位數(shù)，有Aeq\o\al(3，5）＝60(種)取法，在｛4,5，6，7，8｝中任取3個不同的數(shù)組成“凹數(shù)"有以下3種取法，將4放在十位上,再排2個數(shù)排在百、個位上，有Aeq\o\al(2，4）＝12(種)；將5放在十位上,再排2個數(shù)排在百、個位上，有Aeq\o\al（2,3）＝6(種）;將6放在十位上,再排2個數(shù)排在百、個位上，有Aeq\o\al(2,2)＝2（種）；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,可得共有12＋6＋2＝20(種),所以構(gòu)成“凹數(shù)”的概率為eq\f（20,60)＝eq\f(1,3）.11。甲、乙、丙三人組成一組，參加一個闖關(guān)游戲團(tuán)體賽，三人各自獨(dú)立闖關(guān),其中甲闖關(guān)成功的概率為eq\f(1，3），甲、乙都闖關(guān)成功的概率為eq\f（1，6），乙、丙闖關(guān)成功的概率為eq\f(1，5)，每人闖關(guān)成功得2分，三人得分之和記為小組團(tuán)體總分。(1）求乙、丙各自闖關(guān)成功的概率；(2)求團(tuán)體總分為4分的概率；(3)若團(tuán)體總分不小于4分，則小組可參加復(fù)賽，求該小組可參加復(fù)賽的概率。解記甲、乙、丙三人各自獨(dú)立闖關(guān)成功的事件依次為A、B、C,則由已知條件得P(A）＝eq\f（1,3)，P（A·B)＝eq\f（1,6）,P(B·C)＝eq\f(1,5）。（1)∵P（A·B）＝P（A)·P（B)，∴P(B)＝eq\f(1，2）.同理，P（C)＝eq\f(2，5）。(2)∵每人闖關(guān)成功記2分，要使團(tuán)體總分為4分，則需要兩人闖關(guān)成功，∴兩人都闖關(guān)成功的概率P1＝eq\f（2,3)·eq\f(1,2)·eq\f（2，5）＋eq\f(1，3）·eq\f（1,2)·eq\f（2,5）＋eq\f（1，3）·eq\f(1,2）·eq\f(3，5)＝eq\f（3,10)，即團(tuán)體總分為4分的概率P1＝eq\f（3,10）。（3)團(tuán)體總分不小于4分,則團(tuán)體總分可能為4分，可能為6分，團(tuán)體總分為6分,需要三人都闖關(guān)成功，三人闖關(guān)都成功的概率P2