《高等代數(shù)》教學(xué)大綱修訂稿

PAGEPAGE10《高等代數(shù)》教學(xué)大綱修訂稿(2002.9修訂)鞍山師范學(xué)院數(shù)學(xué)系幾何代數(shù)教研室一、總則高等代數(shù)是數(shù)學(xué)系各專業(yè)開設(shè)的一門基礎(chǔ)課。它不僅是應(yīng)用學(xué)科的重要工具課，而且在近代數(shù)學(xué)理論中也是一門很重要的理論基礎(chǔ)課，特別是隨著當(dāng)今電腦科技的發(fā)展，更加顯示出高等代數(shù)作用。因此，高等代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容需要進(jìn)一步充實(shí)，教學(xué)大綱也需要修訂。本教學(xué)大綱修訂稿是依據(jù)全國(guó)通用《高等代數(shù)教學(xué)大綱》并根據(jù)我校實(shí)際情況進(jìn)行修訂的。較原大綱更詳細(xì)，具有一定的指導(dǎo)性。1、本課程的教學(xué)目的和要求：本課程的教學(xué)目的和要求是通過(guò)這門課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生不僅能掌握一些處理問(wèn)題的基本方法，而且能使他們對(duì)于高等代數(shù)的基礎(chǔ)理論有一個(gè)深刻了解，從而為進(jìn)一步學(xué)習(xí)專業(yè)課打下良好的基礎(chǔ)。培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思維能力和解決實(shí)際問(wèn)題能力。2、本課程的主要內(nèi)容：本課程分以一元多項(xiàng)式為主體的多項(xiàng)式理論和線性代數(shù)兩部分。線性代數(shù)部分涉及行列式、矩陣、線性方程組、二次型、線性空間、線性變換、λ一矩陣、歐幾里得空間和雙線性函數(shù)，還介紹了代數(shù)基本概念。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：本課程教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在多項(xiàng)式理論與線性代數(shù)理論。多項(xiàng)式理論以一元多項(xiàng)式的因式分解唯一性定理為主體介紹了有關(guān)多項(xiàng)式方程的一些必要的知識(shí)，為后繼課提供準(zhǔn)備；線性代數(shù)部分則較為系統(tǒng)地介紹了線性方程組，線性空間與線性變換理論。本課程的難點(diǎn)有行列式的Laplace定理的展開定理，線性變換的值域與核、線性空間按特征值分解成不變子空間的直和，λ一矩陣和Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的推導(dǎo)等，這些可根據(jù)不同專業(yè)選講。4、本課程的知識(shí)范圍及與相關(guān)課程的關(guān)系：本課程是初等代數(shù)的繼續(xù)與提高，在此基礎(chǔ)上可繼續(xù)學(xué)習(xí)后續(xù)課：近世代數(shù)、多重線性代數(shù)、微電腦方面及運(yùn)籌方面的知識(shí)。5、教材的選用：本課選用的教材是北京大學(xué)教學(xué)系主編的《高等代數(shù)》第二版和張禾瑞編《高等代數(shù)》（第四版），以上兩本教材均是高等教育出版社出版，此兩本教材均是國(guó)家教育部推薦教材。二、課程內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配本課程講授時(shí)間為一學(xué)年共136學(xué)時(shí)，習(xí)題課34學(xué)時(shí)，共170學(xué)時(shí)。第一章多項(xiàng)式（26學(xué)時(shí)）1、教學(xué)內(nèi)容：介紹本章的重要定理：因式分解及唯一性定理和復(fù)系數(shù)、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理，并把有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題歸納為整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解來(lái)討論。2、教學(xué)目的及要求：通過(guò)本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握帶余除法、因式分解定理、復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)的因式分解及有理系數(shù)多項(xiàng)式的有關(guān)結(jié)論。3、教學(xué)重點(diǎn)：以因式分解及唯一性定理和有理系數(shù)多項(xiàng)式為重點(diǎn)。4、教學(xué)難點(diǎn)：有理系數(shù)多項(xiàng)式為難點(diǎn)。5、各章節(jié)教學(xué)時(shí)間分配及進(jìn)度安排：6、主要教學(xué)環(huán)節(jié)的組織：§1數(shù)域(2學(xué)時(shí))數(shù)集；數(shù)域；§2一元多項(xiàng)式(2學(xué)時(shí))有關(guān)多項(xiàng)式的概念；多項(xiàng)式的代數(shù)性質(zhì)；§3整除的概念(3學(xué)時(shí))整除概念；整除性幾個(gè)常用性質(zhì)；不可約多項(xiàng)式；§4最大公因式（4學(xué)時(shí)）最大公因式的定義及唯一性；最大公因式的存在性及求法；互素的概念；最大公因式、互素概念的推廣；§5因式分解定理(4學(xué)時(shí))

不可約多項(xiàng)式及其性質(zhì)；因式分解唯一性定理；§6重因式(2學(xué)時(shí))一些概念：重因式、單因式、微商等；重因式的判別及求法；去掉因式重?cái)?shù)的方法；§7多項(xiàng)式函數(shù)(2學(xué)時(shí))多項(xiàng)式的根；多項(xiàng)式的根的個(gè)數(shù)；§8復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解(1學(xué)時(shí))復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式的分解；實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的分解；§9有理系數(shù)多項(xiàng)式(4學(xué)時(shí))有理系數(shù)多項(xiàng)式的根：1）本原多項(xiàng)式及Gauss引理，2）確定整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的范圍，3）求有理系數(shù)多項(xiàng)式根的方法；Eisenstein判別法§10多元多項(xiàng)式(1學(xué)時(shí))基本概念；多元多項(xiàng)式中單項(xiàng)式的排列次序；兩個(gè)結(jié)論(關(guān)于乘積首項(xiàng)和次數(shù))；多元多項(xiàng)式函數(shù)§11對(duì)稱多項(xiàng)式(1學(xué)時(shí))基本概念、對(duì)稱多項(xiàng)式環(huán)、初等對(duì)稱多項(xiàng)式；對(duì)稱多項(xiàng)式的基本定理；一元多項(xiàng)式的判別式；第二章行列式（14學(xué)時(shí)）1、教學(xué)內(nèi)容：定義了n階行列式，給出行列式的七個(gè)性質(zhì)和Gramer法則、Laplace定理。2、教學(xué)目的和要求：通過(guò)本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生熟練掌握計(jì)算行列式的三種方法：利用定義、利用性質(zhì)、降階，并會(huì)運(yùn)用Gramer法則求線性方程組的解。3、教學(xué)重點(diǎn)：重點(diǎn)講授n階行列式的定義和一些計(jì)算技巧及關(guān)于Gramer法則應(yīng)用要強(qiáng)調(diào)解方程組的前提條件。4、教學(xué)難點(diǎn)：Laplace定理，行列式乘法規(guī)則。5、各章節(jié)教學(xué)時(shí)間分配及進(jìn)度安排:6、主要教學(xué)環(huán)節(jié)的組織:§1引言§2排列(2學(xué)時(shí))基本概念：n級(jí)排列，逆序數(shù)，偶(奇)排列，對(duì)換；排列的奇偶性；§3n級(jí)行列式(2學(xué)時(shí))一般行列式的定義；行與列的地位是對(duì)稱的；§4n級(jí)行列式的性質(zhì)(2學(xué)時(shí))行列式的性質(zhì)；應(yīng)用實(shí)例；§5行列式的計(jì)算(3學(xué)時(shí))矩陣的初等變換；行列式計(jì)算；§6行列式按一行(列)展開(3學(xué)時(shí))行列式按一行展開的性質(zhì)；展開性質(zhì)的應(yīng)用；§7Cramer法則(1學(xué)時(shí))§8Laplace定理、行列式乘法法則(1學(xué)時(shí))Laplace定理；行列式乘法規(guī)則；第三章線性方程組（20學(xué)時(shí)）1、教學(xué)內(nèi)容：通過(guò)引入向量和矩陣兩種工具，本章完整地解決了一般線性方程組的存在及如何求解問(wèn)題。2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生掌握n維向量的線性運(yùn)算及線性方程組的求解方法。3、教學(xué)重點(diǎn)：以線性相關(guān)性概念及線性方程組有解判定定理為重點(diǎn)。4、教學(xué)難點(diǎn)：線性相關(guān)性理論和線性方程組解的理論為難點(diǎn)。5、各章節(jié)教學(xué)時(shí)間分配及進(jìn)度安排：6、主要教學(xué)環(huán)節(jié)的組織：§1消元法(2學(xué)時(shí))方程組的初等變換；方程組的有解判別；§2n維向量空間(2學(xué)時(shí))n維向量概念；n維向量的運(yùn)算；§3線性相關(guān)性(4學(xué)時(shí))一些概念：線性組合、向量組等價(jià)、線性相關(guān)(無(wú)關(guān))；線性相關(guān)性的判定；極大線性無(wú)關(guān)組及向量組的秩；§4矩陣的秩(4學(xué)時(shí))矩陣的秩；矩陣秩的求法；§5線性方程組有解判定定理(4學(xué)時(shí))有解判定定理；線性方程組解的求法；§6線性方程組的結(jié)構(gòu)(4學(xué)時(shí))齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)；一般線性方程組解的結(jié)構(gòu)；線性方程組解的幾何意義；§7二元高次方程組(1學(xué)時(shí))兩個(gè)多項(xiàng)式的結(jié)式；二元高次方程組的解法；第四章矩陣（25學(xué)時(shí)）1、教學(xué)內(nèi)容：引入矩陣和初等變換的概念、基本運(yùn)算，對(duì)逆矩陣和分塊矩陣進(jìn)行了詳盡描述。2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生熟練掌握矩陣的基本運(yùn)算和初等變換的應(yīng)用。3、教學(xué)重點(diǎn)：矩陣的乘法規(guī)則及可逆矩陣求逆的方法要重點(diǎn)掌握。4、教學(xué)難點(diǎn)：理解初等變換與矩陣乘法的聯(lián)系和幾種求逆矩陣的方法。5、各章節(jié)教學(xué)時(shí)間分配進(jìn)度安排：6、主要教學(xué)環(huán)節(jié)的組織：§1矩陣的概念(2學(xué)時(shí))§2矩陣的運(yùn)算(4學(xué)時(shí))§3矩陣乘積的行列式與秩(2學(xué)時(shí))§4矩陣的逆(4學(xué)時(shí))可逆矩陣；可逆矩陣的性質(zhì)；可逆矩陣的兩個(gè)應(yīng)用；§5矩陣的分塊(4學(xué)時(shí))分塊矩陣的乘積；分塊矩陣的應(yīng)用；§6初等矩陣(4學(xué)時(shí))初等矩陣與初等變換；逆矩陣的求法；§7分塊乘法的初等變換及應(yīng)用舉例(3學(xué)時(shí))分塊乘法的初等變換；應(yīng)用舉例；§8廣義逆矩陣(2學(xué)時(shí))

廣義逆的定義；廣義逆與線性方程組解的關(guān)系；第五章二次型（14學(xué)時(shí)）1、教學(xué)內(nèi)容：通過(guò)二次型和正定二次型的概念的講解，全面討論二次型化標(biāo)準(zhǔn)形的方法和正定二次型的判定。2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生掌握用非退化線性替換，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形及判斷二次型的正定性。3、教學(xué)重點(diǎn)：以配方法和初等變換法化標(biāo)準(zhǔn)形和正定性的判別為重點(diǎn)。4、教學(xué)難點(diǎn)：化標(biāo)準(zhǔn)形和正定性的判別為難點(diǎn)。5、各章節(jié)教學(xué)時(shí)間分配進(jìn)度安排：6、主要教學(xué)環(huán)節(jié)的組織：§1二次型的矩陣表示(3學(xué)時(shí))二次型及二次型矩陣；替換前后二次型矩陣的關(guān)系；§2標(biāo)準(zhǔn)形(4學(xué)時(shí))二次型的標(biāo)準(zhǔn)形；求標(biāo)準(zhǔn)形的方法：1)、配方法，2)、初等變換法；§3唯一性(3學(xué)時(shí))二次型的秩；實(shí)二次型的規(guī)范形；復(fù)二次型的規(guī)范形；§4正定二次型(4學(xué)時(shí))正定二次型及其性質(zhì)；正定性的判別；與正定二次型平行的幾個(gè)類型；第六章線性空間（22學(xué)時(shí)）1、教學(xué)內(nèi)容：通過(guò)介紹基本概念，引出基變換和坐標(biāo)變換，對(duì)線性空間和子空間進(jìn)行了詳盡地分析。2、教學(xué)目的及要求：以向量空間為幾何模型幫助學(xué)生理解有關(guān)概念，讓學(xué)生搞清線性空間的基本結(jié)構(gòu)，會(huì)進(jìn)行一些基本運(yùn)算。3、教學(xué)重點(diǎn)：以線性空間維數(shù)和基的求解為重點(diǎn)。4、教學(xué)難點(diǎn)：難點(diǎn)為對(duì)同構(gòu)和直和的理解。5、各章節(jié)教學(xué)時(shí)間分配進(jìn)度安排：6、主要教學(xué)環(huán)節(jié)的組織：§1集合、映射(2學(xué)時(shí))§2線性空間的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)(4學(xué)時(shí))§3維數(shù)、基與坐標(biāo)(4學(xué)時(shí))線性相關(guān)性及幾個(gè)結(jié)論；維數(shù)、基與坐標(biāo)；§4基變換與坐標(biāo)變換(4學(xué)時(shí))基變換與坐標(biāo)變換；關(guān)于過(guò)渡矩陣的求法；§5線性子空間(2學(xué)時(shí))線性子空間及其判別；生成子空間；§6子空間的交與和(3學(xué)時(shí))子空間的交與和定義；維數(shù)公式；子空間交與和的求法；§7子空間的直和(1學(xué)時(shí))§8線性空間的同構(gòu)(2學(xué)時(shí))同構(gòu)的概念；同構(gòu)的性質(zhì)；第七章線性變換（24學(xué)時(shí)）1、教學(xué)內(nèi)容：引入線性變換后，研究線性變換與矩陣的關(guān)系，矩陣對(duì)角化的方法并引入了線性變換的值域與核。2、教學(xué)目的及要求：通過(guò)研究線性變換，要求學(xué)生在理解概念的基礎(chǔ)上熟練掌握線性變換在某基下的矩陣的求解。3、教學(xué)重點(diǎn)：以線性變換在不同基下矩陣的關(guān)系，矩陣的對(duì)角化及不變子空間為重點(diǎn)。4、教學(xué)難點(diǎn)：線性變換在不同基下對(duì)應(yīng)不同的矩陣，線性變換的值域與核，線性空間按特征值分解成不變子空間的直和，為本章難點(diǎn)。5、各章節(jié)教學(xué)時(shí)間分配進(jìn)度安排：6、主要教學(xué)環(huán)節(jié)的組織：§1線性變換定義(2學(xué)時(shí))§2線性變換的運(yùn)算(3學(xué)時(shí))運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律；線性變換多項(xiàng)式；§3線性變換矩陣(4學(xué)時(shí))線性變換在一組基下的矩陣：1)線性變換與其在一組基下矩陣的關(guān)系，2)坐標(biāo)變換公式；線性變換在不同基下的矩陣：1)

線性變換在不同基下的矩陣的關(guān)系，2)

相似矩陣的性質(zhì)；§4特征值、特征向量的定義(4學(xué)時(shí))特征值、特征向量的求法；特征多項(xiàng)式的性質(zhì)；§5對(duì)角矩陣(3學(xué)時(shí))某組基下的矩陣為對(duì)角陣的線性變換；相似對(duì)角陣及所對(duì)應(yīng)基的求法；§6線性變換的值域與核(4學(xué)時(shí))值域與核的定義及其性質(zhì)；值域與核的求法；§7不變子空間(4學(xué)時(shí))不變子空間舉例；不變子空間與線性變換矩陣化簡(jiǎn)的關(guān)系；V的分解；§8Jordan標(biāo)準(zhǔn)形介紹(1學(xué)時(shí))§9最小多項(xiàng)式(1學(xué)時(shí))最小多項(xiàng)式及其基本性質(zhì)；最小多項(xiàng)式的求法；利用最小多項(xiàng)式判別一個(gè)矩陣是否可對(duì)角化；第八章λ－矩陣（6學(xué)時(shí)）1、教學(xué)內(nèi)容：討論復(fù)數(shù)域上任意矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形推導(dǎo)過(guò)程以及λ－矩陣的有關(guān)理論。2、教學(xué)目的及要求：掌握λ一矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形唯一性和矩陣相似的條件。3、教學(xué)重點(diǎn)：化λ一矩陣成標(biāo)準(zhǔn)形及求不變因子。4、教學(xué)難點(diǎn)：Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)為難點(diǎn)。5、各章節(jié)教學(xué)時(shí)間分配進(jìn)度安排:6、主要教學(xué)環(huán)節(jié)的組織:§1λ一矩陣(1學(xué)時(shí))§2λ一矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形(1學(xué)時(shí))§3不變因子(1學(xué)時(shí))行列式因子；標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性；不變因子；λ一矩陣可逆、等價(jià)的充要條件；§4矩陣相似的條件(1學(xué)時(shí))§5初等因子(1學(xué)時(shí))不變因子與初等因子的關(guān)系；初等因子的求法；§6Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的推導(dǎo)(1學(xué)時(shí))第九章歐幾里得空間(15學(xué)時(shí))1、教學(xué)內(nèi)容：在線性空間引入內(nèi)積，得到歐幾里待空間，進(jìn)而對(duì)歐幾里得空間的結(jié)構(gòu)及變換進(jìn)行了講解。2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生掌握歐氏空間的度量性質(zhì)，正交變換和對(duì)稱變換。3、教學(xué)重點(diǎn)：以內(nèi)積、標(biāo)準(zhǔn)正交基及利用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角形為重點(diǎn)。4、教學(xué)難點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法與用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角形為難點(diǎn)。5、各章節(jié)教學(xué)時(shí)間分配進(jìn)度安排：6、主要教學(xué)環(huán)節(jié)的組織：§1定義與基本性質(zhì)(2學(xué)時(shí))一些概念；度量矩陣；§2標(biāo)準(zhǔn)正交基(4學(xué)時(shí))標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性及求法；標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過(guò)渡矩陣；§3同構(gòu)(1學(xué)時(shí))§4正交變換(2學(xué)時(shí))§5正交空間(1學(xué)時(shí))正交子空間的性質(zhì)；正交補(bǔ)；§6對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形(2學(xué)時(shí))實(shí)對(duì)稱矩陣與對(duì)稱變換；用正交矩陣化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角形；二次型的化簡(jiǎn)及二次曲面分類；§7向量到子空間的距離，最小二乘法(2學(xué)時(shí))§8酉空間介紹(1學(xué)時(shí))第十章雙線性函數(shù)(4學(xué)時(shí))1、教學(xué)內(nèi)容：引入對(duì)偶空間，研究雙線性函數(shù)和對(duì)稱雙線性函數(shù)在基下的度量矩陣。2、教學(xué)目的及要求：使學(xué)生了解雙線性出函數(shù)及有關(guān)