平面向量最值問題9種題型

平面向量最值問題9種題型數量積的最值問題平面向量滿足，則最小值是______分析：本題條件中有，而可利用向量數量積的投影定義得到在上的投影分別為1,2，通過作圖可發(fā)現能夠以的起點為原點，所在直線為軸建立坐標系，則起點在原點，終點分別在的直線上，從而可坐標化，再求出的最值即可【解析】如圖建系可得：由可得：而，由輪換對稱式不妨設，則，已知點為等邊三角形的中心，，直線過點交邊于點，交邊于點，則的最大值為.【分析】本題由于為過的任一直線，所以的值不確定，從而不容易利用三邊向量將進行表示，所以考慮依靠等邊三角形的特點，建立直角坐標系，從而坐標可解，再借助解析幾何的思想設出直線方程，與方程聯立解出坐標，從而可解出最大值【解析】以為軸建立直角坐標系，設直線，由可得：得：；得：已知圓的方程，是橢圓上一點，過作圓的兩條切線，切點為，，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【解析】，設，設，的取值范圍為，故選C已知△中，，，（）的最小值為，若為邊上任意一點，則的最小值是【解析】令＝＝＋＋＝，當時，＝，因為，所以，則建立直角坐標系，，，設，則，，所以＝＝；當時，＝＋≥，解得，所以，則建立直角坐標系，，，設，則，，所以＝＝．綜上所述，當時，取得最小值向量模長的最值問題已知為單位向量，且，向量滿足，則范圍為ABABO【解析】如圖，，又向量滿足與的夾角為，，則的最大值為（）【分析】根據已知條件可建立直角坐標系，用坐標表示有關點（向量），確定變量滿足的等式和目標函數的解析式，結合平面幾何知識求最值或范圍．【解析】設；以OA所在直線為x，O為坐標原點建立直角坐標系∵與的夾角為，則A（4，0），B（2，2），設C（x，y）∵，∴x2+y2-6x-2y+9=0，即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3，1）為圓心，以1為半徑的圓，表示點A，C的距離即圓上的點與點A（4，0）的距離．∵圓心到B的距離為，∴的最大值為向量夾角的最值問題已知非零向量滿足，若函數在R上存在極值，則和夾角的取值范圍為【解析】，設和夾角為，因為有極值，所以，即，即，所以已知向量滿足，且關于的函數在實數集上單調遞增，則向量的夾角的取值范圍是（）A．B．C．D．平面向量系數的最值問題已知，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是【分析】與的夾角為銳角等價于，且與不共線同向，所以由，得，再除去與共線同向的情形．【解析】由于與的夾角為銳角，，且與不共線同向，由，解得，當向量與共線時，得，得，因此的取值范圍是且．已知是的重心，過點作直線與，交于點，且，，，則的最小值是【解析】如圖三點共線，∵是的重心，解得，結合圖象可知令故故，當且僅當等號成立如右圖所示，已知點是的重心，過點作直線與兩邊分別交于兩點，且，則的最小值為【解析】因為三點共線，所以，因為是重心，，所以，化簡得，解得題目所給圖像可知．由基本不等式得即．當且僅當，即時，等號成立，故最小值為．直角梯形中，，，是邊長為的正三角形，是平面上的動點，，設（，），則的最大值為________【解析】以為原點，為軸，所在直線為軸，建立直角坐標系，∴可設，因為，所以，，即的最大值為故答案為．平面向量與三角函數相結合的最值問題已知向量，，．（1）若，求的值；（2）記，求的最大值和最小值以及對應的的值．【解析】（1）因為，，，所以．若，則，與矛盾，故．于是．又，所以．（2）.因為，所以，從而.于是，當，即時，取到最大值3；當，即時，取到最小值平面向量與二次函數相結合的最值問題在平面直角坐標系中，已知點，，，是軸上的兩個動點，且，的最小值為______．【解析】設，，所以，當時，取得最小值．在四邊形中，，，，，，點在線段的延長線上，且，點在邊所在直線上，則的最大值為（）A． B． C． D．【分析】如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系，表示出點的坐標，根據求出的坐標，求邊所在直線的方程，設，利用坐標表示，根據二次函數性質求最大值.【解析】依題意，如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系，由，，，，，，，，因為點在線段的延長線上，設，，解得，，，，所在直線的方程為，因為點在邊所在直線上，故設，，當時故選：平面向量與基本不等式相結合的最值問題若平面向量，滿足：；則的最小值是．【解析】，在等腰梯形中,已知,,,．動點和分別在線段和上，且，，則的最小值為．【解析】因為，，，，，當且僅當即時的最小值為已知點A在線段BC上（不含端點），O是直線BC外一點，且,則的最小值是___________【分析】本題根據條件構造，研究的式子分別加1后變形，即可形成所需條件，應用均值不等式.【解析】由可得，，根據A、B、C三點共線可得且，所以所以最小值為，故填.平面向量與圓相結合的最值問題在平面直角坐標系中，為原點，動點滿足，則的最大值是．【解析】設，由，得，向量，故的最大值為圓上的動點到點距離的最大值，其最大值為圓的圓心到點的距離加上圓的半徑，即．已知是單位向量，．若向量滿足，則的最大值為A． B．C．D．【解析】建立平面直角坐標系，令向量的坐標，又設，代入得，又的最大值為圓上的動點到原點的距離的最大值，即圓心(1，1)到原點的距離加圓的半徑，即．若過點的直線與相交于兩點，則取值范圍______【解析】本題中因為位置不斷變化，所以不易用數量積定義求解，可考慮利用投影，即過作直線的垂線，垂足為，通過旋轉可發(fā)現，當時，，位于其他位置時，點始終位于的反向延長線上，，故，故，下面尋找最小值，即的最大值，可得當在上的投影與重合時，最大，即為，此時直線即為直線。所以。進而的范圍是已知，且的夾角為，點是的外接圓上優(yōu)弧上的一個動點，則的最大值是________【分析】題中的模長為定值，考慮即為乘以在上的投影，從而的最大值只需尋找投影的大小，觀察圖形可得只有當與同向時，投影最大。即，只需計算的模長即可【解析】當與同向時，在上的投影最大，在中，，即，平面向量與三角形相結合的最值問題在中，已知，，，則的面積的最大值為（）A． B． C． D．【分析】，而又由余弦定理可得，再利用基本不等式即可解決.【解析】在中，由，及余弦定理可得，又（當且僅當時取等號），所以，即.因為，所以為的中點，所以的面積，所以，所以的面積的最大值為.故選：B.【小結】本題考查余弦定理解三角形，涉及到基本