突破高考壓軸：三角函數(shù)六大微專題研究

微專題1：三角函數(shù)中的取值范圍研究在三角函數(shù)圖象中，對整個圖象的性質(zhì)影響巨大，因此，對的取值范圍的考察就是高考的熱門考點之一，這部分考題呈現(xiàn)出綜合性較強，對學(xué)生的邏輯推理，直觀想象素養(yǎng)要求較高，比如2016年一卷12題，2019年一卷11題，三卷12題等，所以，對的取值范圍的系統(tǒng)研究，找到解題的通性通法對提高學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)有巨大的幫助.1.已知單調(diào)性求.例1.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.分析：（1）最大的增，減區(qū)間占半周期可求的范圍；（2）是最大減區(qū)間的子區(qū)間.2.已知最值求.例2．函數(shù)，當上恰好取得5個最大值，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C3.已知對稱軸求.例3.已知函數(shù)的圖象在上有且僅有兩條對稱軸，求的取值范圍.變式：圖象在上有且僅有兩條對稱軸，求的取值范圍.4.已知零點求.例4．已知其中,若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點,則的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】D5.求綜合問題例5．（2019全國3卷）設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結(jié)論：①在（）有且僅有3個極大值點②在（）有且僅有2個極小值點③在（）單調(diào)遞增④的取值范圍是[)其中所有正確結(jié)論的編號是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D【詳解】當時，，∵f（x）在有且僅有5個零點，∴，∴，故④正確，由，知時，令時取得極大值，①正確；極小值點不確定，可能是2個也可能是3個，②不正確；因此由選項可知只需判斷③是否正確即可得到答案，當時，，若f（x）在單調(diào)遞增，則，即，∵，故③正確．故選D練習(xí)．已知函數(shù)，、、，且都有，滿足的實數(shù)有且只有個，給出下述四個結(jié)論：①滿足題目條件的實數(shù)有且只有個；②滿足題目條件的實數(shù)有且只有個；③在上單調(diào)遞增；④的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D練習(xí)題1．函數(shù)的圖象在上恰有兩個最大值點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C2．若函數(shù)在上的值域為，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A3．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B4．設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則下述三個結(jié)論：①在上的最大值為，最小值為；②在上有且僅有4個零點；③關(guān)于軸對稱；其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A微專題2.三角函數(shù)圖象綜合問題圖象綜合問題著重考察隊三角函數(shù)圖象的感知理解能力，除了掌握必備的圖象與性質(zhì)之外，還需準確的發(fā)掘題干中的隱含條件，進而完成題目，在近兩年的全國卷中考察頻繁.例1.（2021全國甲卷）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)為________．【詳解】由圖可知，即，所以；由五點法可得，即；所以.因為，；所以由可得或；因為，所以，結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，即，解得，令，可得，可得的最小正整數(shù)為2.例2．已知函數(shù)，，且在區(qū)間上的最大值為.若對任意的，都有成立，則實數(shù)的最大值是（）A． B． C． D．【詳解】，所以周期，因為，且在區(qū)間上的最大值為，所以是函數(shù)圖象的一條對稱軸，且，即有，.而，∴，解得.故.因為任意的，都有成立，所以在上，.令，若，即，則，成立；若，即，此時，所以，而，∴，即，解得.即.故滿足題意的實數(shù)的范圍為，即實數(shù)的最大值是.故選A.例3．（2020全國1卷）設(shè)函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為B．C． D．練習(xí)題1．已知點是函數(shù)的圖像上的一個最高點，點、是函數(shù)圖像上相鄰兩個對稱中心，且三角形的周長的最小值為.若，使得，則函數(shù)的解析式為A． B．C． D．【答案】A2．已知函數(shù)，點，分別為圖像在軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點，為坐標原點，若為銳角三角形，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B3．函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M、N分別是圖象的最高點和最低點，O為坐標原點，且，則的值分別是（）A． B． C． D．【答案】A4．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，且的圖象向左平移個單位后與原來的圖象重合，當，且時，，則（）A． B． C． D．【答案】B微專題3.帶絕對值的三角函數(shù)性質(zhì)研究近兩年全國卷在三角函數(shù)的考察方面呈現(xiàn)兩個明顯的特點，第一，多選項，第二，構(gòu)造性，通過一些常見的構(gòu)造方式，考察分類討論，數(shù)形結(jié)合能力，比如2019年一卷的11題，將常見的正弦函數(shù)套上絕對值，這樣的構(gòu)造方式會由于絕對值的參與使得很多考生望而生怯，本文通過對幾道常見的帶絕對值的三角函數(shù)性質(zhì)研究，力爭探索出一些解題的通性通法，提高解題能力.例1．（2019全國卷一）關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①是偶函數(shù)②的最大值為2③在有4個零點④在區(qū)間單調(diào)遞減其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③分析：去絕對值是關(guān)鍵步驟，這樣就可以將其轉(zhuǎn)化為熟悉的三角函數(shù)形態(tài)，這個時候就需要分析奇偶性與周期性從而將分析問題的區(qū)間盡可能的縮小到小范圍內(nèi)，這個時候，實際也完成了去絕對值的過程，因此，處理此類帶絕對值的三角函數(shù)問題，分析奇偶性與周期性是兩個必備的過程.解：的定義域為，因為，故為偶函數(shù)，結(jié)論①正確，再分析周期性，周期為.這樣就可以去掉絕對值化成分段函數(shù)，當，當，故當時，故函數(shù)的最大值為2，結(jié)論②正確，根據(jù)圖象可得，在有3個零點，故結(jié)論③錯誤，由圖象可以看出，在區(qū)間單調(diào)遞減，結(jié)論④正確.【答案】A因此，此類問題的解題順序可以歸納為：第一，分析奇偶性，周期性，第二，去絕對值，寫成分段函數(shù)，第三，畫出草圖，結(jié)合圖象及對稱性的定義判斷，包括代入必要的特值.我們可以再通過下面一些練習(xí)進一步提升此類題目的解題能力.例2.已知函數(shù)，且函數(shù)的最小正周期為，則下列關(guān)于函數(shù)的說法，①；②點是的一個對稱中心；③直線是函數(shù)的一條對稱軸；④函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.其中正確的（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，所以，所以①正確；函數(shù)沒有對稱中心，且對稱軸方程為，所以當時，對稱軸方程為，故②不正確，③正確；令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，故④正確.故選：D.練習(xí)題1．關(guān)于函數(shù)的下述四個結(jié)論中，正確的是（）A．是奇函數(shù)B．的最大值為C．在有個零點D．在區(qū)間單調(diào)遞增【答案】D2．設(shè)函數(shù)，下述四個結(jié)論：①是偶函數(shù)；②的最小正周期為；③的最小值為0；④在上有3個零點其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】B3．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)圖像關(guān)于對稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．若，則D．函數(shù)的最小值為【答案】A4．已知函數(shù)，現(xiàn)有下述四個結(jié)論：①的最小正周期為；②曲線關(guān)于直線對稱；③在上單調(diào)遞增；④方程在上有4個不同的實根.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．②④ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】D微專題4.三角不等式三角函數(shù)的凸凹性決定了三角不等式也是其應(yīng)用的一個熱點，高考試題當然不會吝嗇對其的涉及和考察.例1.在中，證明：.證明：，顯然，考慮在處的切線可得不等式：，這樣就有，故，證畢.注：此不等式是三角形中一個常見的不等式，在高考試題中也能見到它的身影，比如.例2.（2018全國一卷）已知函數(shù)，求的最小值.解：最小正周期為，且為奇函數(shù)，考慮.由于，由奇偶性可知的最小值為.例3有了例2的結(jié)論，我們還可以用均值不等式證明：在中，證明：.這個不等式出現(xiàn)在2020年的全國二卷中.例4.已知函數(shù).（1）討論在區(qū)間的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.證明：僅證第二問.由于最小正周期為，且為奇函數(shù)，且，故，證畢.微專題5.三角實際應(yīng)用例1.（2021全國甲卷）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（）A．346 B．373 C．446 D．473【詳解】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因為，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故選：B．例2.（2020成都三診）為迎接大運會的到來，學(xué)校決定在半徑為，圓心角為的扇形空地的內(nèi)部修建一平行四邊形觀賽場地，如圖所示.則觀賽場地的面積最大值為（）A． B．C． D．【詳解】如圖所示：．連接，設(shè)，作，，垂足分別為．根據(jù)平面幾何知識可知，，，．∴，．故四邊形的面積也為四邊形的面積，即有，其中．所以當即時，．故選：D．微專題6.三角與導(dǎo)數(shù)綜合（2019年天津）．設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明；（3）設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點，其中，證明.【詳解】(1)由已知，有.當時，有，得，則單調(diào)遞減;當時，有，得，則單調(diào)遞增.所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)記.依題意及(Ⅰ)有：，從而.當時，，故.因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，進而.所以，當時，.(3)依題意，，即.記，則.且.由及(Ⅰ)得.由(2)知，當時，，所以在上為減函數(shù)，因此.又由(2)知，故：.所以.4．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當時，求證：函