12.斜率和積與四點共圓

雙曲線中的斜率和（積）問題例1.（2022新高考1卷）已知點在雙曲線上，直線交于，兩點，直線，的斜率之和為0．求的斜率.（2）若，求的面積．解法1：（設點解點）設直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立，消去得到，根據(jù)韋達定理，得，故，從而.因為直線的斜率之和為，所以直線的方程為，同理，可得：，.所以直線的斜率為解法2：設，由點都在雙曲線上，得，，所以，結合斜率公式，相減后變形，可得：，.因為直線的斜率之和為，即，所以，由得.②由得.③由②-③，得，從而，即的斜率為.解法3：（設而不求）將點代入雙曲線方程得，化簡得，，故雙曲線方程為，由題顯然直線的斜率存在，設，設，，，則聯(lián)立雙曲線得：，故，，，化簡得：，故，即，當時，直線過點A，不合題意，舍去.,故.方法4.（同構雙斜率）設過點的直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立解得，代入雙曲線的方程中，整理得，這是關于的一元二次方程，方程的兩根分別為直線的斜率.因為直線的斜率之和為，即，所以，整理后分解得.因為直線不經(jīng)過點，所以，從而，即的斜率為.方法5（齊次化聯(lián)立）雙曲線方程為，設，∵AP,AQ的斜率之和為0，∴，故將雙曲線方程為變形為：，且設直線，由式有：,（兩邊同除以），即，而是此方程的兩根.∴，故直線斜率為?1.方法6：（曲線系）點處的切線方程為，設直線的方程為，的方程為，的方程，則過這四條直線交點的二次曲線方程為.又因為雙曲線過這些交點，比較的系數(shù)得.又由，所以.這樣的話，本文就展示了這道題目的6種解法，其實無所謂好壞之分，都是很好的方法，都體現(xiàn)了對運算對象和運算規(guī)則較為精準的把握.但是，在考場時間如此緊張的條件下，又快又準的解題卻是關鍵，方法1,3為通法，是多數(shù)考生的選擇，這樣的方法就是套路感強，我們練習的最多，但是過多的沉迷于這些方法會讓我們對解析幾何的理解就定位在“暴力運算”，我覺得，如果時間允許，去探尋思考方法2和方法4也是不錯的選擇.方法5,6就是所謂的“秒殺神技”，但是我個人覺得這兩個方法還是有風險的，因為它們技巧性很強，可能對很多學生而言都很難想清楚這個平移坐標系究竟是個什么“梗”，這兩個方法很多人都可能學個“四不像”，徒勞無功！所以，對解析幾何運算的核心還在于去思考，理解運算對象，這個板塊的特點就是翻譯：幾何問題代數(shù)化，代數(shù)問題坐標化，不同的理解就會有不同的處理思路，我們要基于常見的二級結論，首先對問題有一個宏觀認知，其次的關鍵就是理解，一些傳統(tǒng)的幾何問題正變著花樣出現(xiàn)，比如2020年山東卷22題.給學生多一些動手練習，思考探尋不同解法的機會，讓他們在探尋各種解法的過程中慢慢提升對解析幾何的理解和熱愛.把解析幾何理解為一門關于運算的藝術，我想才是破解這個板塊的核心密碼！例2.（2021新高考1卷）在平面直角坐標系中，已知點，且動點滿足：，點的軌跡為.（1）求的方程；（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于兩點和兩點，且滿足，求直線與直線的斜率之和.解析：（1）因為，所以，軌跡是以點，為左右焦點的雙曲線的右支，設軌跡的方程為，則，可得，，