新高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題突破36 利用正態(tài)分布的對稱性求概率或參數(shù)值

專題36利用正態(tài)分布的對稱性求概率或參數(shù)值一、多選題1．給出下列命題，其中正確命題為（）A．若回歸直線的斜率估計(jì)值為，樣本點(diǎn)中心為，則回歸直線的方程為B．隨機(jī)變量，若，，則C．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則D．對于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量的觀測值值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越大【答案】ABD【分析】利用點(diǎn)斜式方程得出回歸直線方程，了判斷A選項(xiàng)的正誤；利用二項(xiàng)分布的期望和方差公式可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用正態(tài)密度曲線的對稱性可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，若回歸直線的斜率估計(jì)值為，樣本點(diǎn)中心為，則回歸直線方程為，即，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，隨機(jī)變量，若，，則，解得，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，由于隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則，C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，對于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量的觀測值值越大，則兩變量有關(guān)系的程度越大，即越大，判定“兩變量有關(guān)系”的錯誤率更低，故越小，判定“兩變量有關(guān)系”的錯誤率更高，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.2．若隨機(jī)變量，，其中，下列等式成立有()A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，得到正態(tài)曲線關(guān)于對稱，再結(jié)合正態(tài)分布的密度曲線定義，，由此可解決問題．【詳解】隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，正態(tài)曲線關(guān)于對稱，，，根據(jù)曲線的對稱性可得：A.，所以該命題正確；B.，所以錯誤；C.，所以該命題正確；D.或，所以該命題錯誤．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.3．已知某校高三年級有1000人參加一次數(shù)學(xué)模擬考試，現(xiàn)把這次考試的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)分，標(biāo)準(zhǔn)分的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為，若使標(biāo)準(zhǔn)分X服從正態(tài)分布N，則下列說法正確的有().參考數(shù)據(jù)：①；②；③A．這次考試標(biāo)準(zhǔn)分超過180分的約有450人B．這次考試標(biāo)準(zhǔn)分在內(nèi)的人數(shù)約為997C．甲、乙、丙三人恰有2人的標(biāo)準(zhǔn)分超過180分的概率為D．【答案】BC【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合題中所給的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】選項(xiàng)A；因?yàn)檎龖B(tài)分布曲線關(guān)于對稱，所以這次考試標(biāo)準(zhǔn)分超過180分的約有人，故本說法不正確；選項(xiàng)B：由正態(tài)分布N，可知：，所以，因此這次考試標(biāo)準(zhǔn)分在內(nèi)的人數(shù)約為人，故本說法正確；選項(xiàng)C：因?yàn)檎龖B(tài)分布曲線關(guān)于對稱，所以某個人標(biāo)準(zhǔn)分超過180分的概率為，因此甲、乙、丙三人恰有2人的標(biāo)準(zhǔn)分超過180分的概率為，故本說法正確；選項(xiàng)D：由題中所給的公式可知：，，所以由正態(tài)分布的性質(zhì)可知：所以本說法不正確.故選：BC【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)閱讀能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4．下列判斷正確的是（）A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則B．已知直線平面，直線平面，則“”是“”的必要不充分條件C．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則D．是的充分不必要條件【答案】ACD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可判斷選項(xiàng)A；由線面垂直可以得線線垂直，，，與位置關(guān)系不確定，無法得到，可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)二項(xiàng)分布均值公式求解可判斷選項(xiàng)C；由可得到，但反之不成立，可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對于A：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對稱，又因?yàn)?，所以，所以，故選項(xiàng)A正確；對于B：若，，則，又因?yàn)椋?，若，?dāng)時(shí)，與位置關(guān)系不確定，所以無法得到，所以“”是“”的充分不必要條件，故選項(xiàng)B不正確；對于C：因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以，故選項(xiàng)C正確；對于D：由可得到，但，時(shí)得不到，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的概率，二項(xiàng)分布的期望，線面之間的關(guān)系，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.5．下列說法中正確的是（）A．設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則B．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且，則C．；D．已知隨機(jī)變量滿足，，若，則隨著x的增大而減小，隨著x的增大而增大【答案】ABD【分析】對于選項(xiàng)都可以通過計(jì)算證明它們是正確的；對于選項(xiàng)根據(jù)方差的性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng)C.【詳解】對于選項(xiàng)設(shè)隨機(jī)變量，則，所以選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)因?yàn)殡S機(jī)變量，所以正態(tài)曲線的對稱軸是，因?yàn)椋?，所以，所以選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)，，故選項(xiàng)C不正確；對于選項(xiàng)由題意可知，，，由一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，隨著x的增大而減小，隨著x的增大而增大，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布和正態(tài)分布的應(yīng)用，考查期望和方差的計(jì)算及其性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.6．下列說法正確的有（）A．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則B．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則C．設(shè)隨機(jī)變量，則等于D．某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6，經(jīng)過3次射擊，此人恰有兩次擊中目標(biāo)的概率為【答案】AD【分析】利用正態(tài)分布的對稱性即可判斷A、B；根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式可判斷C、D；【詳解】對于A，因?yàn)樽兞糠恼龖B(tài)分布，若，所以，因?yàn)殛P(guān)于對稱，所以，故A正確；對于B，因?yàn)椋皂殱M足，等式不恒成立，故無論是任何實(shí)數(shù)，都不能使，故B錯誤；對于C，因?yàn)殡S機(jī)變量，則，故C錯誤；對于D，由題意可知，此人恰有兩次擊中目標(biāo)的概率為，故D正確；故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布的對稱性應(yīng)用、二項(xiàng)分布，考查了基本知識的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.二、單選題7．下列說法正確的是（）A．命題“，”的否定形式是“，”B．若平面，，，滿足，則C．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布（），若，則D．設(shè)是實(shí)數(shù)，“”是“”的充分不必要條件【答案】D【分析】由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項(xiàng)A；可能相交，可判斷B選項(xiàng)；利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；或，利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項(xiàng)D.【詳解】命題“，”的否定形式是“，”，故A錯誤；，，則可能相交，故B錯誤；若，則，所以，故，所以C錯誤；由，得或，故“”是“”的充分不必要條件，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷，涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等，是一道容易題.8．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以，根據(jù)正態(tài)分布圖象的對稱性可知，圖象關(guān)于對稱，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9．已知隨機(jī)變量，，則（）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】A【分析】由有隨機(jī)變量的分布函數(shù)圖象關(guān)于對稱，結(jié)合已知條件即可求；【詳解】由，知：隨機(jī)變量的分布函數(shù)圖象關(guān)于對稱，∴；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布的對稱性，利用隨機(jī)變量的分布函數(shù)圖象關(guān)于對稱求概率，屬于簡單題；10．己知隨機(jī)變量，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題知正態(tài)分布曲線的對稱軸是直線，利用曲線的特點(diǎn)即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由題知此正態(tài)分布曲線的對稱軸是直線，由正態(tài)分布的圖象的對稱性可知，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.11．已知隨機(jī)變量，若，則的值為（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.6【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，由題中條件，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果【詳解】由隨機(jī)變量，可得正態(tài)分布曲線的對稱軸為，又，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查由正態(tài)分布的對稱性求指定區(qū)間的概率，屬于基礎(chǔ)題型.12．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，得到正態(tài)曲線的對稱軸，然后由，求得，再利用正態(tài)曲線的對稱性求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線的對稱軸為，因?yàn)?，所以，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布曲線對稱性，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.13．已知隨機(jī)變量，且，則（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】A【分析】根據(jù)題意，正態(tài)曲線是一個關(guān)于對稱的曲線，直接利用對稱性寫出概率即可.【詳解】由題意，隨機(jī)變量，，則，所以，.故選：A.【點(diǎn)睛】一個隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似的服從正態(tài)分布，正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中具有重要地位．14．設(shè)隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)隨機(jī)變量，正態(tài)曲線關(guān)于對稱，得到對稱區(qū)間對應(yīng)的概率相等，根據(jù)大于1的概率得到小于的概率，根據(jù)對稱軸一側(cè)的區(qū)間的概率是，即可求出結(jié)果.【詳解】∵隨機(jī)變量，∴正態(tài)曲線關(guān)于對稱，∵，∴，∴，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查正態(tài)曲線的對稱性的應(yīng)用，考查關(guān)于對稱軸對稱的區(qū)間上的概率相等，本題屬于基礎(chǔ)題．15．已知，若，則（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】首先可通過題意求出正態(tài)分布曲線的對稱軸，然后根據(jù)得出，最后通過計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以對稱軸方程為，因?yàn)椋?，解得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，主要考查正態(tài)分布曲線的對稱性，考查計(jì)算能力，是簡單題.16．設(shè)隨機(jī)變量，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖象的對稱性可解【詳解】解：隨機(jī)變量，其期望為1因?yàn)椋鶕?jù)正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖象的對稱性有，故選：B【點(diǎn)睛】考查根據(jù)正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖象的對稱性求參數(shù)，基礎(chǔ)題.17．設(shè)隨機(jī)變量，函數(shù)有零點(diǎn)的概率是0.5，則等于（）A．1 B．2 C．3 D．不確定【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)有零點(diǎn)，可得，，根據(jù)正態(tài)分布知識可得，所以.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有零點(diǎn)，所以，即，所以，又隨機(jī)變量，且，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的零點(diǎn)，考查了正態(tài)分布，屬于基礎(chǔ)題.18．新型冠狀病毒肺炎的潛伏期X（單位：日）近似服從正態(tài)分布：，若，則可以估計(jì)潛伏期大于等于11天的概率為（）A．0.372 B．0.256 C．0.128 D．0.744【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋愿鶕?jù)正態(tài)曲線的對稱性知，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.19．2019年1月28日至2月3日（臘月廿三至臘月廿九）我國迎來春運(yùn)節(jié)前客流高峰，據(jù)統(tǒng)計(jì)，某區(qū)火車站在此期間每日接送旅客人數(shù)X（單位：萬）近似服從正態(tài)分布，則估計(jì)在此期間，至少有5天該車站日接送旅客超過10萬人次的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得，再由互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式求解.【詳解】解：，得.故7天中至少有5天該車站日接送旅客超過10萬人次的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查相互獨(dú)立事件及其概率的求法，屬于中檔題.20．已知隨機(jī)變量，若，則（）A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.7【答案】A【分析】利用正態(tài)分布曲線的對稱性求解即可．【詳解】隨機(jī)變量，可得正態(tài)分布曲線的對稱軸為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)，考查對稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．21．若隨機(jī)變量，且，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正態(tài)密度曲線的對稱性得出，由此可得出結(jié)果.【詳解】由于，則正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對稱，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上概率的計(jì)算，解題時(shí)要確定正態(tài)密度曲線的對稱軸，利用對稱性列等式計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.22．設(shè)這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)可得到對稱軸關(guān)系，結(jié)合曲線的“瘦高”與“矮胖”關(guān)系可得的關(guān)系.【詳解】由圖可得：X的正態(tài)分布密度曲線更“瘦高”，且對稱軸偏左，結(jié)合正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)可得：.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，關(guān)鍵在于熟練掌握圖象性質(zhì)，根據(jù)對稱軸和曲線關(guān)系判斷得解.23．紅外線自動測溫門能有效避免測溫者與被測溫者的近距離接觸，降低潛在的病毒感染風(fēng)險(xiǎn).為防控新冠肺炎，某廠生產(chǎn)的紅外線自動測溫門，其測量體溫誤差服從正態(tài)分布，從已經(jīng)生產(chǎn)出的測溫門中隨機(jī)取出一件，則其測量體溫誤差在區(qū)間內(nèi)的概率為（）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知，結(jié)合題意得出，，再由，即可得出答案.【詳解】由題意可知則，即故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正態(tài)分布對稱性求概率，屬于中檔題.24．某校在一次月考中共有800人參加考試，其數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分．現(xiàn)已知同學(xué)甲的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，學(xué)校排名為720，同學(xué)乙的數(shù)學(xué)成績?yōu)?20分，那么他的學(xué)校排名約為（）A．60 B．70 C．80 D．90【答案】C【分析】先由題意，求出數(shù)學(xué)成績小于等于90分對應(yīng)的概率，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，即可求出數(shù)學(xué)成績大于等于120分的概率，從而可得出排名.【詳解】因?yàn)橥瑢W(xué)甲的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，學(xué)校排名為720，則數(shù)學(xué)成績小于等于90分對應(yīng)的概率約為，又?jǐn)?shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布，所以，則成績數(shù)學(xué)成績大于等于120分的學(xué)生約為人，因此若同學(xué)乙的數(shù)學(xué)成績?yōu)?20分，那么他的學(xué)校排名約為80名.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布對稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.25．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【答案】C【分析】直接利用正態(tài)分布的應(yīng)用和密度曲線的對稱性的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以密度曲線關(guān)于直線對稱，由于，所以，所以．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．26．某校高二期末考試學(xué)生的數(shù)學(xué)成績（滿分150分）服從正態(tài)分布，且，則（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】D【分析】本題根據(jù)題意直接求在指定區(qū)間的概率即可.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，且，所以故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用正態(tài)分布求指定區(qū)間的概率，是基礎(chǔ)題.27．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正態(tài)密度曲線的對稱性可得出，由此可求得結(jié)果.【詳解】由于隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用正態(tài)密度曲線的對稱性求概率，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.28．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得出，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求概率，屬于基礎(chǔ)題.29．某市一次高三年級數(shù)學(xué)統(tǒng)測，經(jīng)抽樣分析，成績近似服從正態(tài)分布，且.該市某校有350人參加此次統(tǒng)測，估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績不低于85分的人數(shù)為（）A．140 B．105 C．70 D．35【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可知，即可求得，再根據(jù)頻數(shù)，頻率和樣本容量之間的關(guān)系即可求出該校數(shù)學(xué)成績不低于85分的人數(shù)．【詳解】因?yàn)榻品恼龖B(tài)分布，所以，即有，故該校數(shù)學(xué)成績不低于85分的人數(shù)為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)曲線的特點(diǎn)以及正態(tài)曲線的解析式的理解和運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．30．已知某批零件的長度誤差（單位：mm）服從正態(tài)分布，若，，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件，其長度誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意得到正態(tài)分布曲線的對稱軸為，從而得到，即可得到答案.【詳解】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，對稱軸為，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布，同時(shí)考查學(xué)生分析問題的能力，屬于簡單題.31．已知隨機(jī)變量，，那么的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件得出，且有，由此可求得結(jié)果.【詳解】已知隨機(jī)變量，，則，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性得出.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用正態(tài)密度曲線的對稱性求概率，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題32．第13屆女排世界杯于2019年9月14日在日本舉行，共有12支參賽隊(duì)伍.本次比賽啟用了新的排球用球MIKSA-V200W，已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)ξ(單位:g)服從正態(tài)分布N(270，).比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場比賽(采取5局3勝制)，最后靠積分選出最后冠軍積分規(guī)則如下:比賽中以3:0或3:1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分;而在比賽中以3:2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.已知第10輪中國隊(duì)對抗塞爾維亞隊(duì)，設(shè)每局比賽中國隊(duì)取勝的概率為p(0<p<1).（1）如果比賽準(zhǔn)備了1000個排球，估計(jì)質(zhì)量指標(biāo)在(260，265]內(nèi)的排球個數(shù)(計(jì)算結(jié)果取整數(shù)).（2）第10輪比賽中，記中國隊(duì)3:1取勝的概率為.（i）求出f(p)的最大值點(diǎn);（ii）若以作為p的值記第10輪比賽中，中國隊(duì)所得積分為X，求X的分布列.參考數(shù)據(jù):ζ~N(u，)，則p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826，p(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9644.【答案】（1）140；（2）（i）；（ii）分布列見解析.【分析】（1）由正態(tài)分布原則即可求出排球個數(shù)；（2）（i）根據(jù)二項(xiàng)分布先求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出取得最大值時(shí)的值；（ii）根據(jù)比賽積分規(guī)則，得出中國隊(duì)得分可能的取值，然后求出分布列.【詳解】（1）因?yàn)棣畏恼龖B(tài)分布N(270，)，所以，所以質(zhì)量指標(biāo)在(260，265]內(nèi)的排球個數(shù)為個；（2）（i），令，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；所以的最大值點(diǎn)；（ii）的可能取值為0，1，2，3.；；；；所以的分布列為0123P【點(diǎn)睛】求隨機(jī)變量的分布列的步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取得全部值；(2)求X取每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)根據(jù)分布列的性質(zhì)對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).還可判斷隨機(jī)變量滿足常見分布列：兩點(diǎn)分布，二項(xiàng)分布，超幾何分布，正態(tài)分布.33．從某市的一次高三模擬考試中，抽取3000名考生的數(shù)學(xué)成績（單位：分），并按，，，，，分成7組，制成頻率分布直方圖，如圖所示．（Ⅰ）估計(jì)這3000名考生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（Ⅱ）由直方圖可認(rèn)為該市考生數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其中，分別為（Ⅰ）估中的和方差，據(jù)此估計(jì)該市10000名考生中數(shù)學(xué)成績不低于122分的人數(shù)（結(jié)果精確到整數(shù)）．附：．若，則．【答案】（Ⅰ）110，150；（Ⅱ）1587.【分析】（Ⅰ）直接利用平均數(shù)和方差公式計(jì)算求解；（Ⅱ）分析得到，再利用正態(tài)分布求解.【詳解】（Ⅰ）由題意知：，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，所以，而，所以，因此估計(jì)該市10000名考生中數(shù)學(xué)成績不低于122分的人數(shù)為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用正態(tài)分布估計(jì)頻數(shù)，一般先利用正態(tài)分布求出某范圍內(nèi)的概率，即得頻數(shù)為.34．共享單車進(jìn)駐城市，綠色出行引領(lǐng)時(shí)尚．某市有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，2020年該市共享單車用戶年齡等級分布如圖1所示，一周內(nèi)市民使用單車的頻率分布扇形圖如圖2所示．若將共享單車用戶按照年齡分為“年輕人”（20歲－39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或者40歲及以上）兩類，將一周內(nèi)使用的次數(shù)為6次或6次以上的稱為“經(jīng)常使用單車用戶”，使用次數(shù)為5次或不足5次的稱為“不常使用單車用戶”．已知在“經(jīng)常使用單車用戶”中有是“年輕人”．（1）現(xiàn)對該市市民進(jìn)行“經(jīng)常使用共享單車與年齡關(guān)系”的調(diào)查，采用隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個容量為200的樣本，請你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全下列列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷是否有85%的把握認(rèn)為經(jīng)常使用共享單車與年齡有關(guān)？年輕人非年輕人合計(jì)經(jīng)常使用單車用戶120不常使用單車用戶80合計(jì)16040200使用共享單車情況與年齡列聯(lián)表（2）將（1）中頻率視為概率，若從該市市民中隨機(jī)任取3人，設(shè)其中經(jīng)常使用共享單車的“非年輕人”人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列與期望．參考數(shù)據(jù)：獨(dú)立性檢驗(yàn)界值表0.150.100.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，，【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有的把握可以認(rèn)為經(jīng)常使用共享單車與年齡有關(guān)；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為．【分析】（1）補(bǔ)全的列聯(lián)表，利用公式求得，即可得到結(jié)論；（2）由（1）的列聯(lián)表可知，經(jīng)常使用單車的“非年輕人”的概率，即可利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求解隨機(jī)變量取每個數(shù)值的概率，列出分布列，求解數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）補(bǔ)全的列聯(lián)表如下：年輕人非年輕人合計(jì)經(jīng)常使用共享單車10020120不常使用共享單車602080合計(jì)16040200于是，，，，∴，即有的把握可以認(rèn)為經(jīng)常使用共享單車與年齡有關(guān)．（2）由（1）的列聯(lián)表可知，經(jīng)常使用共享單車的“非年輕人”占樣本總數(shù)的頻率為，即在抽取的用戶中出現(xiàn)經(jīng)常使用單車的“非年輕人”的概率為0.1，∵，∴，，，∴的分布列為01230.7290.2430.0270.001．∴的數(shù)學(xué)期望．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列聯(lián)表,獨(dú)立性檢驗(yàn)，二項(xiàng)分布，二項(xiàng)分布的期望，屬于中檔題.35．某項(xiàng)科研活動共進(jìn)行了5次試驗(yàn)，其數(shù)據(jù)如下表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x258911y1210887（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說明，是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？并指出是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)（2）求特征量y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測當(dāng)特征量x為12時(shí)特征量y的值；（3）設(shè)特征量x滿足，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，求.附：參考公式：相關(guān)系數(shù)，，.參考數(shù)據(jù)：，，，若，則，【答案】（1）可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系；負(fù)相關(guān)；（2）；時(shí)，；（3）.【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的公式，求出相關(guān)系數(shù)，即可判斷出結(jié)論；（2）根據(jù)最小二乘法，求出，，即可得出線性回歸方程，從而可得預(yù)測值；（3）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，根據(jù)題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，，，，，因而相關(guān)系數(shù).由于很接近1，說明x，y線性相關(guān)性很強(qiáng)，因而可以用線性回歸方程模型擬合y與x的關(guān)系.由于，故其關(guān)系為負(fù)相關(guān).（2）由（1）知，，∴，則所求的回歸方程是.當(dāng)特征量x為12時(shí)，可預(yù)測特征量.（3）由（1）知，，又由，得，從而.【點(diǎn)睛】本題考查相關(guān)系數(shù)的計(jì)算以及線性相關(guān)性的判定，考查最小二乘法求回歸方程，根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)測，考查正態(tài)分布指定區(qū)間的概率，屬于常考題型.36．網(wǎng)上訂外賣已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡囊徊糠?M外賣平臺（以下簡稱M外賣）為了解其在全國各城市的業(yè)務(wù)發(fā)展情況，隨機(jī)抽取了100個城市，調(diào)查了M外賣在今年2月份的訂單情況，并制成如下頻率分布表.訂單：（單位：萬件）頻率0.040.060.100.10訂單：（單位：萬件）頻率0.300.200.100.080.02（1）由頻率分布表可以認(rèn)為，今年2月份M外賣在全國各城市的訂單數(shù)（單位：萬件）近似地服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，它的值已求出，約為3.64，現(xiàn)把頻率視為概率，解決下列問題：①從全國各城市中隨機(jī)抽取6個城市，記今年2月份M外賣訂單數(shù)Z在區(qū)間內(nèi)的城市數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望（取整數(shù)）；②M外賣決定在該月訂單數(shù)低于7萬件的城市開展“訂外賣，搶紅包”的營銷活動來提升業(yè)績，據(jù)統(tǒng)計(jì)，開展此活動后城市每月外賣訂單數(shù)將提高到平均每月9萬件的水平，現(xiàn)從全國2月訂單數(shù)不超過7萬件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個城市開展?fàn)I銷活動，若每接一件外賣訂單平均可獲純利潤5元，但每件外賣訂單平均需送出紅包2元，則M外賣在這100個城市中開展?fàn)I銷活動將比不開展?fàn)I銷活動每月多盈利多少萬元？（2）現(xiàn)從全國開展M外賣業(yè)務(wù)的所有城市中隨機(jī)抽取100個城市，若抽到K個城市的M外賣訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的可能性最大，試求整數(shù)k的值.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.【答案】（1）①；②萬元；（2）.【分析】（1）①先由頻率分布表求出樣本平均數(shù)，得到，求出，再由題意，得到，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式，即可得出結(jié)果；②根據(jù)分層抽樣，分別得出訂單數(shù)在區(qū)間和的城市數(shù)，計(jì)算出不開展?fàn)I銷活動所得利潤，以及開展?fàn)I銷活動所得利潤，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由正態(tài)分布，先求出隨機(jī)抽取1個城市的外賣訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為，得到抽到K個城市的M外賣訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為，為使其最大，列出不等式組求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）①由頻率分布表可得，樣本平均數(shù)為，所以，因此，由題意，可得，所以的數(shù)學(xué)期望為；②由分層抽樣知，這100個城市中每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有個，則每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有個，若不開展?fàn)I銷活動，則一個月的利潤為（萬元），若開展?fàn)I銷活動，則一個月的利潤為（萬元），因此M外賣在這100個城市中開展?fàn)I銷活動將比不開展?fàn)I銷活動每月多盈利萬元；（2）因?yàn)?，即隨機(jī)抽取1個城市的外賣訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為，則從全國開展M外賣業(yè)務(wù)的所有城市中隨機(jī)抽取100個城市，抽到K個城市的M外賣訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為，為使若抽到K個城市的M外賣訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的可能性最大，只需，即，即，解得，則，又為整數(shù)，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布求指定區(qū)間的概率，考查由二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式求概率的最值，解題關(guān)鍵在于熟記正態(tài)分布的對稱性，二項(xiàng)分布的概念以及二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.37．近一段時(shí)間來，由于受非洲豬瘟的影響，各地豬肉價(jià)格普遍上漲，生豬供不應(yīng)求.各大養(yǎng)豬場正面臨巨大挑戰(zhàn).目前各項(xiàng)針對性政策措施對于生豬整體產(chǎn)量恢復(fù)、激發(fā)養(yǎng)殖戶積極性的作用正在逐步顯現(xiàn).現(xiàn)有甲、乙兩個規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場，均養(yǎng)有1萬頭豬，將其中重量（kg）在內(nèi)的豬分為三個成長階段如下表.豬生長的三個階段階段幼年期成長期成年期重量（Kg）根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，兩個養(yǎng)豬場豬的體重X均近似服從正態(tài)分布.由于我國有關(guān)部門加強(qiáng)對大型養(yǎng)豬場即將投放市場的成年期豬的監(jiān)控力度，高度重視成年期豬的質(zhì)量保證，為了養(yǎng)出健康的成年活豬，甲、乙兩養(yǎng)豬場引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖模式.已知甲、乙兩個養(yǎng)豬場內(nèi)一頭成年期豬能通過質(zhì)檢合格的概率分別為，.（1）試估算甲養(yǎng)豬場三個階段豬的數(shù)量；（2）已知甲養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利600元，若為不合格的豬，則虧損100元；乙養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利500元，若為不合格的豬，則虧損200元.（?。┯沋為甲、乙養(yǎng)豬場各出售一頭成年期豬所得的總利潤，求隨機(jī)變量