《勾股定理》典型題目

《勾股定理》看數(shù)學(xué)思想【附練習(xí)】1.數(shù)形轉(zhuǎn)化①“勾股定理”定理是“形→數(shù)”的轉(zhuǎn)化。條件是形---“直角三角形”，得出的結(jié)論是數(shù)---“邊之間的數(shù)量關(guān)系”。標(biāo)準(zhǔn)格式是：∵△ABC是直角三角形，∠C是直角，∴CA2+CB2=AB2②“勾股定理”的逆定理是“數(shù)→形”的轉(zhuǎn)化。條件是數(shù)---“邊之間的數(shù)量關(guān)系”，得出的結(jié)論是形---“直角三角形”。標(biāo)準(zhǔn)格式：∵CA2+CB2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ C是直角應(yīng)用舉例：如圖所示，有一塊地，已知 AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13 米，BC=12米，則這塊地的面積為多少？解：∵△ADC是直角三角形AC2=AD2+DC2=42+32=52（注：這是在用勾股定理）AC2+BC2=52+122=169AB2=132=169∴AC2+BC2=AB2∴△ABC是直角三角形（注：這是在用勾股定理的逆定理）（米2）∴S地=S△ABC△ADCACBCCDAD12534-S=2422222.方程思想我們知道，知道直角三角形的兩條邊，可以借助勾股定理求出第三邊。但是有的問題只知道直角三角形的一條邊，這時候，要考慮借助勾股定理列方程解決問題。例1：如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，先將直角邊AC沿AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．3Ｄ．5A解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=100=102AB=10（cm）∵AE=AC=6cm ，EB=4cm

EBC D∵∠AED=∠C=90°∴∠DEB=90°∴△DEB是直角三角形∴DE2+EB2=DB2設(shè)CD=xcm，則DE=CD=xcm，DB=（8-x）cm∴x2+42=(8-x)2解得x=3，所以，CD=3cm1例2：在筆直的公路上A、B兩點相距20km，在A的正南方8km處有村莊D，在B的正南方11km處有村莊C.現(xiàn)在要在AB上建一個中轉(zhuǎn)站E，是的C、D兩村莊到E站的距離相等。利用尺規(guī)作圖，做出點E的位置。計算點E距離點A多遠(yuǎn)？解：（1）如圖，點E就是要建中轉(zhuǎn)站的位置2）設(shè)AE=xkm，則EB=(20-x)km在Rt△ADE中DE2=AD2+AE2=82+x2在Rt△EBC中EC2=EB2+BC2=(20-x)2+112DE=EC82+x2=(20-x)2+112457解得x= km40457所以，點E與點A的距離是 km40典型題目練習(xí)一．折疊問題1.一張直角三角形的紙片，如圖所示折疊，使兩個銳角的頂點 A、B重合，若AC=6，BC=8，求DC的長。BEDC A(B)2.如圖所示，將長方形紙片 ABCD的一邊AD向下折疊，點D落在BC邊的F處。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm ，求EC的長。DAEBF

C2其他折疊問題常見圖形：A E D

ED CFBCFC

A B二．最短問題1.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長，寬和高分別為 50寸，30寸和10寸，A和B是這個臺階的兩個相對端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長是多少？如圖，長方體的長，寬，高分別為8，4，10．若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為多少？如圖，一圓柱體的底面周長為16，高AB為15，BC是上底面的直徑．一只昆蟲從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，則昆蟲爬行的最短路程為多少？如圖,長方體的長為15,寬為10,高為20,點B離點C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是多少？35.如圖所示，有一根高為 2m的木柱，它的底面周長為 0.3m，為了營造喜慶的氣氛，老師要求小明將一根彩帶從柱底向柱頂均勻地纏繞 圈，一直纏到起點的正上方為止，問：小明至少需要準(zhǔn)備多長的一根彩帶？三．梯子問題如圖，一架云梯AC長為25m，斜靠在一豎直的墻CO上，這時梯子底端A離墻的距離AO是7m，如果梯子的頂端C沿墻下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑動了多少米？如圖，兩墻之間的距離BC=22米，當(dāng)云梯靠在西墻的時候，此時可以達(dá)到的高度AB=24米；若云梯底部O不動，使云梯靠在東墻上，此時云梯可以達(dá)到的高度DC=20米，試求BO的距離。4四．蘆葦問題1.有一個邊長為 1O尺的正方形水池，一棵蘆葦 AB生長在它的中央，高出水面BC為l尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳?B碰到岸邊的B'（如圖）時，水恰好沒過蘆葦．問水深和長各多少？如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計）為多少米？五．構(gòu)造直角三角形1.如圖，每個小正方形的邊長為 1，A、B、C是小正方形的頂點，則∠ ABC的度數(shù)為（ ） AA．90° B．60° C．45° D．30° B如圖，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個村莊，A村到公路l的距離AC＝1kmCB村到公路l的距離BD＝2km，CD=4km1）求出A，B兩村之間的距離；2）為方便村民出行，計劃在公路邊新建一個公共汽車站P，要求該站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點P的位置（保留清晰的作圖痕跡，并簡要寫明作法）．5六．綜合題目如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直．如果小明站在南京路與八一街