2023屆二輪復(fù)習(xí)通用版 專題6 第4講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 課件（76張）

第二篇經(jīng)典專題突破?核心素養(yǎng)提升專題六函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第4講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用導(dǎo)數(shù)日益成為解決數(shù)學(xué)問題強(qiáng)有力的工具，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極(最)值是常見題型，而導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式的交匯命題，則是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)．在高考?jí)狠S題中，常以二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(diǎn)、比較大小、不等式證明、不等式恒成立與能成立等熱點(diǎn)問題．考情分析自主先熱身真題定乾坤核心拔頭籌考點(diǎn)巧突破專題勇過關(guān)能力巧提升自主先熱身真題定乾坤1．(2022·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x1，f(x1))處的切線也是曲線y＝g(x)的切線．(1)若x1＝－1，求a；(2)求a的取值范圍．真題熱身【解析】

(1)由題意知，f(－1)＝－1－(－1)＝0，f′(x)＝3x2－1，f′(－1)＝3－1＝2，則y＝f(x)在點(diǎn)(－1，0)處的切線方程為y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2，設(shè)該切線與g(x)切于點(diǎn)(x2，g(x2))，g′(x)＝2x，則g′(x2)＝2x2＝2，解得x2＝1，則g(1)＝1＋a＝2＋2，解得a＝3.【解析】

(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝(x－1)ex，則f′(x)＝xex，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，故f(x)的減區(qū)間為(－∞，0)，增區(qū)間為(0，＋∞).5．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線y＝b，其與兩條曲線y＝f(x)和y＝g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．(2)證明：設(shè)三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為x1，x2，x3，由(1)得，函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴x1∈(－∞，0)，x2∈(0，1)，x3∈(1，＋∞)，b＝ex1－x1＝ex2－x2＝x2－lnx2＝x3－lnx3，∴2x2＝ex2＋lnx2，ex1－x1＝x2－lnx2，ex2－x2＝x3－lnx3，∴ex1－x1＝elnx2－lnx2，ex2－x2＝elnx3－lnx3，∴f(x1)＝f(lnx2)，f(x2)＝f(lnx3)，∵lnx2∈(－∞，0)，lnx3∈(0，＋∞)，∴x1＝lnx2，x2＝lnx3，∴x3＝ex2，∴x1＋x3＝lnx2＋ex2＝2x2，∴x1，x2，x3成等差數(shù)列，∴存在直線y＝b，其與兩條曲線y＝f(x)和y＝g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．對(duì)于導(dǎo)數(shù)的綜合問題每年都必須考查，主要是針對(duì)以下方面出題，而且題目難度較大，一般放在試卷的21～22位置：(1)函數(shù)單調(diào)性和極值、最值的分類討論．(2)研究方程的根，可以通過構(gòu)造函數(shù)g(x)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)g(x)的零點(diǎn)問題．以及函數(shù)g(x)的單調(diào)性、結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．(4)利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題．感悟高考核心拔頭籌考點(diǎn)巧突破1．常見重要不等式(1)lnx≤x－1(x＞0)；(2)ex≥x＋1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立).2．構(gòu)造輔助函數(shù)的四種方法(1)移項(xiàng)法：證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x).考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題(2)構(gòu)造“形似”函數(shù)：對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)；把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)．(3)主元法：對(duì)于(或可化為)f(x1，x2)≥A的不等式，可選x1(或x2)為主元，構(gòu)造函數(shù)f(x，x2)(或f(x1，x)).(4)放縮法：若所構(gòu)造函數(shù)最值不易求解，可將所證明不等式進(jìn)行放縮，再重新構(gòu)造函數(shù)．3．含有雙變量的不等式問題的常見轉(zhuǎn)化策略(1)?x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2)?f(x)在[a，b]上的最小值＞g(x)在[c，d]上的最大值．(2)?x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2)?f(x)在[a，b]上的最大值＞g(x)在[c，d]上的最小值．(3)?x1∈[a，b]，?x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2)?f(x)在[a，b]上的最小值＞g(x)在[c，d]上的最小值．(4)?x1∈[a，b]，?x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2)?f(x)在[a，b]上的最大值＞g(x)在[c，d]上的最大值．典例1【素養(yǎng)提升】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的兩個(gè)妙招(1)構(gòu)造函數(shù)法證明不等式①移項(xiàng)，使等式右邊為零，左邊構(gòu)造為新函數(shù)．②求導(dǎo)判斷單調(diào)性，通常要對(duì)參數(shù)分類討論．③根據(jù)單調(diào)性，求出最值與“0”比較即可得證．(2)轉(zhuǎn)化函數(shù)最值法證明不等式①條件：函數(shù)很復(fù)雜，直接求導(dǎo)不可行．②拆分：把復(fù)雜函數(shù)拆分成兩個(gè)易求最值函數(shù)．③方法：分別求導(dǎo)，結(jié)合單調(diào)性和圖象以及極值、最值，比較得出結(jié)論．考向2利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒(能)成立問題

已知函數(shù)f(x)＝ex－kx，g(x)＝x2＋k2－3.(1)討論函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若2f(x)≥g(x)對(duì)任意x≥0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解析】(1)f′(x)＝ex－k，①當(dāng)k≤0時(shí)，f′(x)>0恒成立，則y＝f(x)在R上單調(diào)遞增；典例2②當(dāng)k>0時(shí)，x>lnk時(shí)，f′(x)>0，y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)為(lnk，＋∞)；x<lnk時(shí)，f′(x)<0，y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，lnk).綜上：當(dāng)k≤0時(shí)，y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，當(dāng)k>0時(shí)，y＝f(x)的遞增區(qū)間為(lnk，＋∞)，遞減區(qū)間為(－∞，lnk).【素養(yǎng)提升】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法(1)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值，根據(jù)要求得所求范圍．一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可．(2)轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)的最值問題：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，伴有對(duì)參數(shù)的分類討論，然后構(gòu)建不等式求解．方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是三個(gè)等價(jià)的概念，解決這類問題可以通過函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，畫出函數(shù)圖象的走勢，通過數(shù)形結(jié)合思想直觀求解．考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題典例3【解析】

(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝xex－x2－2x，f′(x)＝ex＋xex－2x－2＝ex(x＋1)－2(x＋1)＝(x＋1)(ex－2)，令f′(x)>0，即(x＋1)(ex－2)>0，解得x>ln2或x<－1，令f′(x)<0，即(x＋1)(ex－2)<0，解得－1<x<ln2，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(ln2，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，ln2).【素養(yǎng)提升】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題的思路(1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，轉(zhuǎn)化確定g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢)等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解．(2)利用零點(diǎn)存在性定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．典例4【素養(yǎng)提升】根據(jù)