微積分8-2二重積分的計算

*三、二重積分的換元法第二節(jié)一、利用直角坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分二重積分的計算法第十章D為X-

型區(qū)域D為Y-型區(qū)域一、利用直角坐標計算二重積分引:曲頂柱體體積的計算設曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的記作同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算記作例.求兩個底圓半徑為R的直交圓柱面所圍的體積.解:設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為且在D上連續(xù)時,由曲頂柱體體積的計算可知,若D為X-

型區(qū)域則若D為Y-型區(qū)域則一、利用直角坐標計算二重積分當被積函數(shù)均非負在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于說明:(1)若積分區(qū)域既是X-型區(qū)域又是Y

-型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則例1.

計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X-型區(qū)域,則解法2.將D看作Y-型區(qū)域,

則例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則oxy11Dy=xxyoxy11Dy=xD1D2oy-111練習1.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X-型域:先對x積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.練習2.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y-型區(qū)域,則三、關于利用對稱性積分的問題(1)若D的圖形關于x軸對稱.(i)若f(x,–y)=f(x,y),

其中點(x,–y)與(x,y)關于x軸對稱，即函數(shù)也關于x軸對稱.yx0D2D1(ii)若f(x,–y)=–f(x,y),(2)若D的圖形關于y軸對稱.yx0D2D1若f(–

x,y)=f(x,y).其中

(–x,y)是(x,y)的關于y軸的對稱點.(ii)f(–x,y)=–f(x,y)，則例5.

計算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,二、利用極坐標計算二重積分對應有在極坐標系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內取點及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為即設則特別,對此時若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點,試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)為什么引用極坐標計算二重積分？21D0y

xD1D2D3D4D:.怎么計算？需使用極坐標系！此題用直角系算麻煩必須把D分塊兒!此題用直角系算麻煩，需使用極坐標系！21D0y

x變換到極坐標系..

D:r=1和

r

=2圍成DoxyDoxy0y

x2R區(qū)域邊界：.r=2Rsinr=2Rsin0y

x12

y=xD0y

x4r=4cosr=8cos8D1223.計算y=2xx=y解:I=例7.計算其中解:在極坐標系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標計算.注:利用上題可得一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,①故①式成立.又例8.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內的)立體的體積.解:設由對稱性可知練習.

計算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對稱性.圍成.(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得*三、二重積分換元法

定積分換元法滿足一階偏導數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對應的,證:根據(jù)定理條件可知變換T可逆.

用平行于坐標軸的直線分割區(qū)域任取其中一個小矩形,其頂點為通過變換T,在xOy面上得到一個四邊形,其對應頂點為則同理得當h,k充分小時,曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為因此面積元素的關系為從而得二重積分的換元公式:例如,直角坐標轉化為極坐標時,例8.

計算其中D是x軸y軸和直線所圍成的閉域.解:令則例9.計算由所圍成的閉區(qū)域D的面積S.解:令則例10.

試計算橢球體解:由對稱性令則D的原象為的體積V.內容小結(1)二重積分化為二次積分的方法直角坐標系情形:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則則(2)一般換元公式且則極坐標系情形:若積分區(qū)域為在變換下(3)計算步驟及注意事項?畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數(shù)關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積分好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分