理論物理導(dǎo)論-李衛(wèi)1-3章習(xí)題解答完整

第一章拉格朗日方程與哈密頓方程

習(xí)題解答本章要求：1.熟練掌握自由度、約束和廣義坐標(biāo)基本概念2.熟練掌握拉格朗日方程的形式3.熟練掌握哈密頓方程的形式及其物理意義4.基本掌握應(yīng)用拉格朗日方程和哈密頓方程解決力學(xué)問題填空：3.兩個(gè)質(zhì)量為m1、m2的質(zhì)點(diǎn)固定于一長為R的輕桿兩端，桿的質(zhì)量可以忽略不計(jì)，這個(gè)系統(tǒng)在重力作用下，在一鉛直面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，請分別用拉式方程和哈氏方程分析其運(yùn)動(dòng)。解:設(shè)桿在水平方向的位移為x，在豎直方向的位移為y.（1）拉式方程分析：則有由拉式方程：解得：該系統(tǒng)在水平方向加速度為0，在豎直方向加速度為g.（2）哈氏方程分析：代入哈氏方程：可解得與（1）相同結(jié)果5.對本章1-3節(jié)所舉的兩個(gè)小球的振動(dòng)，給出初始條件如下：試求a1，a2，δ1，δ2，并討論兩球各自的位移與時(shí)間的關(guān)系。解：代入初始條件：解得：所以：第二章薛定諤方程

習(xí)題解答

本章要求：1．了解波粒二象性假設(shè)的物理意義及其主要實(shí)驗(yàn)事實(shí)，

2．熟練掌握波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件：有限性、連續(xù)性和單值性。深入理解波函數(shù)的概率解釋。

3．理解態(tài)疊加原理以及任何波函數(shù)按不同動(dòng)量的平面波展開的方法及其物理意義．

4．熟練掌握薛定諤方程的建立過程。深入了解定態(tài)薛定諤方程，定態(tài)與非定態(tài)波函數(shù)的意義及相互關(guān)系。了解連續(xù)性方程的推導(dǎo)及其物理意義。

第二章薛定諤方程

本章要求：（二）一維勢場中的粒子

1．熟練掌握一維薛定諤方程邊界條件的確定和處理方法。

2．熟練掌握一維無限深方勢阱的求解方法及其物理討論，掌握一維有限深方勢阱束縛態(tài)問題的求解方法。

3．熟練掌握勢壘貫穿的求解方法及隧道效應(yīng)的解釋。掌握一維有限深方勢阱的反射、透射的處理方法及共振現(xiàn)象的發(fā)生。

4．熟練掌握一維諧振子的能譜及其定態(tài)波函數(shù)的一般特點(diǎn)及其應(yīng)用。

第二章薛定諤方程填空：1.一維運(yùn)動(dòng)粒子處于的狀態(tài)，式中>0，求（1）歸一化因子A；（2）粒子的幾率密度；（3）粒子出現(xiàn)在何處的幾率最大？解：（1）令

，則由歸一化的定義得（2）粒子的幾率密度（3）在極值點(diǎn)，由一階導(dǎo)數(shù)可得方程而方程的根；；即為極值點(diǎn)。幾率密度在極值點(diǎn)的值；；

由于P(x)在區(qū)間(0，1/)的一階導(dǎo)數(shù)大于零，是升函數(shù)；在區(qū)間(1/，)的一階導(dǎo)數(shù)小于零，是減函數(shù)，故幾率密度的最大值為，出現(xiàn)在處。2.一維線性諧振子處于狀態(tài)

（1）求歸一化因子A；（2）求諧振子坐標(biāo)的平均值；（3）求諧振子勢能的平均值。解：（1）

由歸一化的定義得（2）因被積函數(shù)是奇函數(shù)，在對稱區(qū)間上積分應(yīng)為0，故

（3）將、代入，可得

是總能量的一半，由能量守恒定律可知?jiǎng)幽芷骄岛蛣菽芷骄迪嗟?，也是總能量的一半?．設(shè)把寬為的一維無限深勢阱的坐標(biāo)原點(diǎn)取在勢阱中點(diǎn)，有試通過具體解定態(tài)方程，證明勢阱中粒子的波函數(shù)為粒子的能量為證明：勢函數(shù)與時(shí)間無關(guān)，是定態(tài)問題。由于是無限深勢阱，粒子不可能到達(dá)阱外，因此在阱外在阱內(nèi)，波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程上式可變形為令，則方程化為該方程的通解為

在邊界上，波函數(shù)應(yīng)滿足連續(xù)性條件，即將通解代入有由此可得A和B不能同時(shí)為零，否則解無意義。，則必有，則必有由此可得方程的解為

由歸一化條件可知

解得

故在阱內(nèi)的波函數(shù)為粒子的能量

波函數(shù)的兩個(gè)表達(dá)式還可統(tǒng)一為一個(gè)表達(dá)式4．帶電荷q的一維諧振子在外電場E作用下運(yùn)動(dòng)，，試證明粒子的能量和波函數(shù)分別為證明：勢函數(shù)與時(shí)間無關(guān)，是定態(tài)問題。定態(tài)薛定諤方程為上式可改寫為即

作代換，則方程化為標(biāo)準(zhǔn)的一維諧振子方程其解為能量為代換回去得能量

波函數(shù)我們看一下諧振子所受的力由F=0可知諧振子的平衡點(diǎn)不再是而是平移到作代換，無非是將坐標(biāo)原點(diǎn)移到新的平衡點(diǎn)

，移到新的平衡點(diǎn)后，與標(biāo)準(zhǔn)諧振子的力函數(shù)表達(dá)式完全相同。5．有一維勢壘如下圖所示，自由粒子沿方向向勢壘運(yùn)動(dòng)，，求粒子的透射系數(shù)D。提示：寫出表達(dá)式；令，解出積分限b；利用（2-104）式得D，并注意簡化運(yùn)算。解：由

可得

故

第三章力學(xué)量的算符習(xí)題解答1.掌握算符的本征值和本征方程的基本概念。

2．熟練掌握厄米算符的基本性質(zhì)及相關(guān)的定理。

3．熟練掌握坐標(biāo)算符、動(dòng)量算符以及角動(dòng)量算符，包括定義式、相關(guān)的對易關(guān)系及本征值和本征數(shù)。

4．熟練掌握力學(xué)量取值的概率及平均值的計(jì)算方法．理解兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定值的條件和共同本征函數(shù)。

5．熟練掌握不確定度關(guān)系的形式、物理意義及其一些簡單的應(yīng)用。

6．理解力學(xué)量平均值隨時(shí)間變化的規(guī)律。掌握如何根據(jù)哈密頓算符來判斷該體系的守恒量。填空：2.一維線性諧振子處于能量算符的本征態(tài)求振子在此態(tài)的能量本征值。解：一維線性諧振子V（x）=1/2kx2。由得解得當(dāng)取n=2時(shí)，得到即題中所給的本征態(tài)。所以此時(shí)3.解：氫原子電子勢能勢能平均值：動(dòng)能平均值：

由其中4.設(shè)和是可對易的厄米算符，試證:（1）是否厄米算符？（2）