第7章有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計

第7章有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計7.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點7.2利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器7.5IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較

用N表示FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)的長度，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為

H(z)是z－1的N－1次多項式，有N－1個零點，在原點z=0處有一個N－1重極點。因此，H(z)永遠(yuǎn)穩(wěn)定。

穩(wěn)定和線性相位特性是FIR濾波器最突出的優(yōu)點。

FIR濾波器設(shè)計任務(wù)：選擇有限長度的h(n)，使頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω)滿足技術(shù)指標(biāo)要求。7.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點1.

線性相位FIR數(shù)字濾波器

對于長度為N的h(n)，傳輸函數(shù)為Hg(ω)：幅度特性

θ(ω)：相位特性

注：Hg(ω)為ω的實函數(shù)，可能取負(fù)值

|H(ejω)|總是正值。

線性相位FIR濾波器是指θ(ω)是ω的線性函數(shù)，即

(2)式θ(ω)不具有線性相位，但以上二式都滿足群時延（相位特性曲線的斜率）是一個常數(shù)，即滿足(1)式是第一類線性相位；滿足(2)式是第二類線性相位。

是第二類線性相位特性常用的情況。(2)(1)2.線性相位FIR的時域約束條件

滿足線性相位時，對h(n)的約束條件。1)第一類線性相位對h(n)的約束條件第一類線性相位的相位函數(shù)：可得:由上式得到:兩式相除得到：即

移項并用三角公式化簡得到:

滿足上式的一組解是：

函數(shù)h(n)sinω(n?τ)關(guān)于求和區(qū)間的中心(N?

1)/2奇對稱。因為sinω(n?τ)關(guān)于n=τ奇對稱，如果取τ=(N?1)/2，則要求h(n)關(guān)于(N?1)/2偶對稱。所以要求τ和h(n)滿足如下條件:

要求單位脈沖響應(yīng)為h(n)、長度為N的FIR數(shù)字濾波器具有第一類線性相位特性（嚴(yán)格線性相位特性），則

h(n)應(yīng)當(dāng)關(guān)于n=(N?

1)/2點偶對稱。當(dāng)N確定時，其相位特性是一個確知的線性函數(shù)：

N為奇數(shù)和偶數(shù)時，h(n)的對稱情況如表7.1.1中的情況1和情況2所示。表7.1.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時域和頻域特性一覽

2)第二類線性相位對h(n)的約束條件第二類線性相位的相位函數(shù)可得:

滿足上式的一組解是：函數(shù)h(n)cos[ω(n?τ)]關(guān)于求和區(qū)間的中心(N－1)/2奇對稱。因為cos[ω(n?τ)]關(guān)于n=τ偶對稱，如果取τ=(N?1)/2，則要求h(n)關(guān)于(N?1)/2

奇對稱。所以要求τ和h(n)滿足如下條件：經(jīng)同樣的推導(dǎo)得即：如果要求單位脈沖響應(yīng)為h(n)、長度為N的FIR數(shù)字濾波器具有第二類線性相位特性，則

h(n)應(yīng)當(dāng)關(guān)于n=(N－1)/2點奇對稱當(dāng)N確定時，其相位特性是一個確知的線性函數(shù)：

N為奇數(shù)和偶數(shù)時，h(n)的對稱情況如下表7.1.1中情況3和情況4表7.1.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時域和頻域特性一覽2．線性相位FIR濾波器幅度特性Hg(ω)的特點即：線性相位FIR濾波器的頻域約束條件將時域約束條件h(n)=±h(N－n－1)代入下式設(shè)h(n)為實序列，針對兩類線性相位以及N取奇數(shù)和偶數(shù)，分四種情況討論幅度特性Hg(ω)的約束條件。為了推導(dǎo)方便，引入兩個參數(shù)：：取不大于(N－1)/2的最大整數(shù)。顯然，僅當(dāng)N為奇數(shù)時，M=τ＝(N－1)/2情況1：h(n)=h(N?n?1)，N為奇數(shù)。

將時域約束條件h(n)=h(N?n?1)和

代入式得到:所以幅度特性Hg(ω)分析：

因為關(guān)于ω=0,π,2π三點偶對稱

所以Hg(ω)關(guān)于ω=0,π,2π三點偶對稱

因此，情況1：h(n)=h(N?n?1)，N為奇數(shù)。

可以實現(xiàn)各種濾波器：低通、高通、帶通、帶阻。對N=13的低通情況，Hg(ω)如表7.1.1中情況1所示。圖7.1.0理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性表7.1.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時域和頻域特性一覽情況2：h(n)=h(N－n－1)，N為偶數(shù)。

仿照情況1的推導(dǎo)方法得到:式中，

因為Ｎ是偶數(shù)，所以當(dāng)時幅度特性Hg(ω)分析：因為

關(guān)于過零點奇對稱，關(guān)于ω=0和2π偶對稱。所以

關(guān)于ω=π奇對稱，關(guān)于ω=0和2π偶對稱。

因此，情況2：h(n)=h(N－n－1)，N為偶數(shù)。不能實現(xiàn)高通和帶阻濾波器。對N=12的低通情況，Hg(ω)如表7.1.1中情況2所示。

圖7.1.0理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性表7.1.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時域和頻域特性一覽情況3：h(n)=－h(huán)(N－n－1)，N為奇數(shù)。將時域約束條件：

h(n)=－h(huán)(N－n－1)和代入式并考慮得到:N是奇數(shù)，τ=(N－1)/2是整數(shù)。所以，當(dāng)ω=0，π，2π時，而且關(guān)于過零點奇對稱。因此Hg(ω)關(guān)于ω=0，π，2π三點奇對稱。由此可見，情況3：h(n)=－h(huán)(N－n－1)，N為奇數(shù)。只能實現(xiàn)帶通濾波器。對N=13的帶通濾波器舉例，Hg(ω)如表7.1.1中情況3所示。幅度特性Hg(ω)分析：圖7.1.0理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性表7.1.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時域和頻域特性一覽情況4：h(n)=－h(huán)(N－n－1)，N為偶數(shù)。

用情況3的推導(dǎo)過程可以得到:

幅度特性Hg(ω)分析：

N是偶數(shù)，τ=(N－1)/2=N/2－1/2。當(dāng)ω=0，2π時，當(dāng)ω=π時，，為峰值點。而關(guān)于過零點ω=0、2π奇對稱，關(guān)于峰值點ω=π偶對稱因此，Hg(ω)關(guān)于ω=0、2π奇對稱，關(guān)于ω=π偶對稱。所以，情況4不能實現(xiàn)低通和帶阻濾波器。對N=12的高通濾波器舉例，Hg(ω)如表7.1.1中情況4所示。圖7.1.0理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性表7.1.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時域和頻域特性一覽注意:

對每一種情況表中僅畫出滿足幅度特性要求的一種例圖

例如，情況1僅以低通的幅度特性曲線為例。當(dāng)然也可以畫出滿足情況1的幅度約束條件（Hg(ω)關(guān)于ω=0,π,2π三點偶對稱）的高通、帶通和帶阻濾波器的幅度特性曲線。

所以，僅從表7.1.1就認(rèn)為情況1只能設(shè)計低通濾波器是錯誤的。3.線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點分布特點將h(n)=±h(N－1－n)代入上式,得到:由上式可以看出：如z=zi是H(z)的零點，其倒數(shù)

也必然是其零點；又因為h(n)是實序列，H(z)的零點必定共軛成對，因此也是其零點。所以：線性相位FIR濾波器零點必定是互為倒數(shù)的共軛對，確定其中一個，另外三個零點也就確定了,如圖7.1.1中

。當(dāng)然，也有一些特殊情況，如圖7.1.1中z1、z2和z4情況。圖7.1.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點分布作業(yè)第七章《習(xí)題與上機題》課本第235頁1、3、7.2利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器7.2.1窗函數(shù)法設(shè)計原理設(shè)希望逼近的濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)為Hd(ejω)，其單位脈沖響應(yīng)是hd(n)。

通常以理想濾波器作為Hd(ejω)，其幅度特性逐段恒定，在邊界頻率處有不連續(xù)點，因而hd(n)是無限時寬的，且是非因果序列。例如：線性相位理想低通濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω):

單位脈沖響應(yīng)hd(n)：

hd(n)是無限長非因果序列。hd(n)的波形如圖7.2.1（a）所示。圖7.2.1窗函數(shù)設(shè)計法的時域波形（矩形窗，N=30）目標(biāo)：構(gòu)造一個長度為N的第一類線性相位FIR濾波器方法：將hd(n)截取一段，并保證截取的一段關(guān)于n=(N-1)/2偶對稱。設(shè)截取的一段用h(n)表示，即

RN(n)是一個矩形序列，長度為N。當(dāng)取值為(N－1)/2時，截取的一段h(n)關(guān)于n=(N－1)/2偶對稱，保證所設(shè)計的濾波器具有線性相位。

h(n)就是所設(shè)計濾波器的單位脈沖響應(yīng)，長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，圖7.2.1窗函數(shù)設(shè)計法的時域波形（矩形窗，N=30）

RN(n)（矩形序列）起對無限長序列的截斷作用，可以把RN(n)看做一個窗口，h(n)則是從窗口看到的一段hd(n)序列，所以稱h(n)=hd(n)RN(n)為用矩形窗對hd(n)進(jìn)行加窗處理。

用有限長的序列h(n)去代替hd(n)，肯定會引起誤差，在頻域會出現(xiàn)吉布斯（Gibbs）效應(yīng)（截斷效應(yīng)）：

1.引起過渡帶加寬

2.通帶和阻帶內(nèi)出現(xiàn)波動，尤其使阻帶的衰減小。

圖7.2.2吉布斯效應(yīng)Hd(ejω)是以2π為周期的函數(shù)，可展為傅里葉級數(shù)：傅里葉級數(shù)的系數(shù)為hd(n)，是Hd(ejω)對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)。

設(shè)計FIR濾波器：

根據(jù)要求找到N個傅里葉級數(shù)系數(shù)h(n)，n=0,1,2,…,N－1，以N項傅氏級數(shù)h(n)近似代替無限項傅氏級數(shù)hd(n)

。因此，在一些頻率不連續(xù)點附近會引起較大誤差，這種誤差就是截斷效應(yīng)。

窗函數(shù)法也稱為傅氏級數(shù)法。

根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理：分析：用矩形窗截斷的影響和改進(jìn)的措施Hd(ejω)和WR(ejω)分別是hd(n)和RN(n)的傅里葉變換。WRg(ω)：矩形窗的幅度函數(shù)WRg(ω)的主瓣：圖中[－2π/N,2π/N]區(qū)間上的一段波形WRg(ω)的旁瓣：其余較小的波動。

圖7.2.3矩形窗加窗效應(yīng)按照式理想低通濾波器的幅度特性函數(shù)（圖7.2.3(a)）為：圖7.2.3矩形窗加窗效應(yīng)將Hd(ejω)和WR(ejω)代入式則得到：加窗后的濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的幅度特性Hdg(ω)與矩形窗幅度特性WRg(ω)的卷積。圖7.2.3矩形窗加窗效應(yīng)圖7.2.3(f)表示Hdg(ω)與WRg(ω)卷積形成的Hg(ω)波形當(dāng)ω=0時，Hg(0)等于圖7.2.3(a)與(b)兩波形乘積的積分，相當(dāng)于對WRg(ω)在±ωc之間一段波形的積分，當(dāng)ωc>>2π/N時，近似為±π之間波形的積分。將Hg(0)值歸一化到1。當(dāng)ω=ωc時，情況如圖7.2.3(c)所示，當(dāng)ωc>>2π/N時，積分近似為WRg(θ)一半波形的積分，對Hg(0)歸一化后的值近似為1/2。3.當(dāng)ω=ωc?2π/N時，情況如圖7.2.3（d）所示，WR(ω)主瓣完全在區(qū)間［?ωc,ωc］之內(nèi)，而最大的一個負(fù)旁瓣移到區(qū)間［?ωc,ωc］之外，因此Hg(ωc?2π/N)有一個最大的正峰。當(dāng)ω=ωc+2π/N時，情況如圖7.2.3（e）所示，WRg(ω)主瓣完全移到積分區(qū)間外邊，由于最大的一個負(fù)旁瓣完全在區(qū)間［?ωc,ωc］內(nèi)，因此Hg(ωc+2π/N)形成最大的負(fù)峰。Hg(ω)最大的正峰與最大的負(fù)峰對應(yīng)的頻率相距4π/N。（1）在理想特性不連續(xù)點ω=ωc附近形成過渡帶。過渡帶的寬度近似等于WRg(ω)主瓣寬度4π/N。（2）通帶內(nèi)產(chǎn)生了波紋，最大的峰值在ωc?2π/N處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在ωc+2π/N處。通帶與阻帶中波紋的情況與窗函數(shù)的幅度譜有關(guān)，WRg(ω)旁瓣幅度的大小直接影響Hg(ω)波紋幅度的大小。以上兩點就是對hd(n)用矩形窗截斷后的吉布斯效應(yīng)：通帶內(nèi)的波紋影響濾波器通帶的平穩(wěn)性，阻帶內(nèi)的波紋影響阻帶內(nèi)的衰減，可能使最小衰減不滿足技術(shù)指標(biāo)要求。如何減少吉布斯效應(yīng)的影響？

通過以上分析，對hd(n)加矩形窗處理后，Hg(ω)與原理想低通Hdg(ω)的差別有兩點：增加矩形窗長度是否可減少吉布斯效應(yīng)的影響？分析一下N加大時WRg(ω)的變化：在主瓣附近，按照式（7.2.5），WRg(ω)可近似為該函數(shù)的性質(zhì)：隨x加大（N加大），主瓣幅度加高，同時旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相對值不變；N加大時，WRg(ω)的主瓣和旁瓣寬度變窄，波動的頻率加快。三種不同長度的矩形窗函數(shù)的幅度特性WRg(ω)曲線如圖7.2.4(a)、(b)、(c)所示。用這三種窗函數(shù)設(shè)計的FIR濾波器的幅度特性Hg(ω)曲線如圖7.2.4(d)、(e)、(f)所示。因此，當(dāng)N加大時，Hg(ω)的波動幅度沒有多大改善，帶內(nèi)最大肩峰比H(0)高8.95%，阻帶最大負(fù)峰值為H(0)的8.95%，使阻帶最小衰減只有21dB。加大N只能使Hg(ω)過渡帶變窄（過渡帶近似為主瓣寬度4π/N）。因此加大N,并不是減小吉布斯效應(yīng)的有效方法。圖7.2.4矩形窗函數(shù)長度的影響分析表明：調(diào)整窗口長度N只能有效地控制過渡帶的寬度，而要減少帶內(nèi)波動以及增大阻帶衰減，只能從窗函數(shù)的形狀上找解決問題的方法。構(gòu)造新的窗函數(shù)形狀，使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量，相應(yīng)旁瓣幅度更小。旁瓣的減小可使通帶、阻帶波動減小，從而加大阻帶衰減。但這樣總是以加寬過渡帶為代價的。7.2.2典型窗函數(shù)介紹幾種常用窗函數(shù)的時域表達(dá)式、時域波形、幅度特性函數(shù)（衰減用dB計量）曲線，用該窗函數(shù)設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)和損耗函數(shù)曲線。

Hd(ejω)取理想低通，ωc=π/2，窗函數(shù)長度N=31。窗函數(shù)的幾個參數(shù):旁瓣峰值n：窗函數(shù)的幅頻函數(shù)|Wg(ω)|的最大旁瓣的最大值相對主瓣最大值的衰減值（dB）過渡帶寬度Bg：用該窗函數(shù)設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的過渡帶寬度阻帶最小衰減s：用該窗函數(shù)設(shè)計的FIRDF的阻帶最小衰減圖7.2.4所示的矩形窗的參數(shù)為:

n=－13dBBg=4π/N

s=－21dB1．矩形窗（RectangleWindow）wR(n)=RN(n)

其幅度函數(shù)為2．三角形窗（BartlettWindow）其頻譜函數(shù)為其幅度函數(shù)為

三角窗的四種波形如圖7.2.5所示，參數(shù)為:n=－25dBBg=8π/N

s=－25dB圖7.2.5三角窗的四種波形3．漢寧（Hanning）窗——升余弦窗當(dāng)N>>1時，N－1≈N

漢寧窗的幅度函數(shù)WHng(ω)由三部分相加，旁瓣互相對消，使能量更集中在主瓣中。漢寧窗的四種波形如圖7.2.6所示，參數(shù)為:

n=?31dBBg=8π/N

s=?44dB圖7.2.6漢寧窗的四種波形4．哈明（Hamming）窗——改進(jìn)的升余弦窗

其頻譜函數(shù)WHm(ejω)為其幅度函數(shù)WHmg(ω)為當(dāng)N>>１時，其可近似表示為

這種改進(jìn)的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量約占99.963%，旁瓣峰值幅度為40dB，但其主瓣寬度和漢寧窗的相同，仍為8π/N。哈明窗是一種高效窗函數(shù)，所以MATLAB窗函數(shù)設(shè)計函數(shù)的默認(rèn)窗函數(shù)就是哈明窗。哈明窗的四種波形如圖7.2.7所示，參數(shù)為:

n=?41dBBg=8π/N

s=?53dB圖7.2.7哈明窗的四種波形5．布萊克曼（Blackman）窗

其頻譜函數(shù)為其幅度函數(shù)為

其幅度函數(shù)由五部分組成，它們都是移位不同，且幅度也不同的WRg(ω)函數(shù)，使旁瓣再進(jìn)一步抵消。旁瓣峰值幅度進(jìn)一步增加，其幅度譜主瓣寬度是矩形窗的3倍。布萊克曼窗的四種波形如圖7.2.8所示，參數(shù)為:n=?57dBΔB=12π/N

s=?74dB圖7.2.8布萊克曼窗的四種波形6．凱塞—貝塞爾窗（Kaiser-BaselWindow）以上五種窗函數(shù)都稱為參數(shù)固定窗函數(shù)，每種窗函數(shù)的旁瓣幅度都是固定的。凱塞—貝塞爾窗是一種參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù)，是一種最優(yōu)窗函數(shù)。（7.2.15）式中I0(β)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級數(shù)計算：一般I0(β)取15~25項，便可以滿足精度要求。參數(shù)可以控制窗的形狀。一般加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為4<<9。當(dāng)

=5.44時，窗函數(shù)接近哈明窗。

=7.865時，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。在設(shè)計指標(biāo)給定時，可以調(diào)整值，使濾波器階數(shù)最低，所以其性能最優(yōu)。凱塞（Kaiser）給出的估算β和濾波器階數(shù)N的公式如下:（7.2.17）式中，Bt=|ωs－ωp|,是數(shù)字濾波器過渡帶寬度。應(yīng)當(dāng)注意，因為式（7.2.17）為階數(shù)估算，所以必須對設(shè)計結(jié)果進(jìn)行檢驗。另外，凱塞窗函數(shù)沒有獨立控制通帶波紋幅度，實際中通帶波紋幅度近似等于阻帶波紋幅度。凱塞窗的幅度函數(shù)為（7.2.16）（7.2.18）對的8種典型值，將凱塞窗函數(shù)的性能列于表7.2.1中，供設(shè)計者參考。由表可見,當(dāng)

=5.568時,各項指標(biāo)都好于哈明窗。6種典型窗函數(shù)基本參數(shù)歸納在表7.2.2中，可供設(shè)計時參考。表7.2.1凱塞窗參數(shù)對濾波器的性能影響表7.2.26種窗函數(shù)的基本參數(shù)

表中過渡帶寬和阻帶最小衰減是用對應(yīng)的窗函數(shù)設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)指標(biāo)。圖7.2.4常用的窗函數(shù)

隨著數(shù)字信號處理的不斷發(fā)展，學(xué)者們提出的窗函數(shù)已多達(dá)幾十種，除了上述6種窗函數(shù)外，比較有名的還有Chebyshev窗、Gaussian窗等。

MATLAB信號處理工具箱提供了14種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)，下面列出上述6種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)及其調(diào)用格式：wn=boxcar(N)

％列向量wn中返回長度為N的矩形窗函數(shù)w(n)wn=bartlett(N) ％列向量wn中返回長度為N的三角窗函數(shù)w(n)wn=hanning(N) ％列向量wn中返回長度為N的漢寧窗函數(shù)w(n)wn=hamming(N) ％列向量wn中返回長度為N的哈明窗函數(shù)w(n)wn=blackman(N) ％列向量wn中返回長度為N的布萊克曼窗函數(shù)w(n)wn=kaiser(N,beta) ％列向量wn中返回長度為N的凱塞—貝塞爾窗函數(shù)w(n)7.2.3用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的步驟

用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的步驟如下：（1）根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的指標(biāo)要求，選擇窗函數(shù)的類型，并估計窗口長度N。

a：窗函數(shù)類型選擇：按照阻帶衰減選擇原則：在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。

b：窗口長度N估計：根據(jù)過渡帶寬度。（2）構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)，即對所謂的“標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)法”，就是選擇Hd(ejω)為線性相位理想濾波器（理想低通、理想高通、理想帶通、理想帶阻）。理想濾波器的截止頻率ωc近似位于最終設(shè)計的FIRDF的過渡帶的中心頻率點，幅度函數(shù)衰減一半（約－6dB）。所以如果設(shè)計指標(biāo)給定通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率ωp和ωs，一般?。?）計算hd(n)。如果給出待求濾波器的頻響函數(shù)為Hd(ejω)，那么單位脈沖響應(yīng)用下式求出：

如果Hd(ejω)較復(fù)雜，或者不能用封閉公式表示，則不能用上式求出hd(n)?？梢圆捎妙l域采樣法求取。（4）加窗得到設(shè)計結(jié)果：h(n)=hd(n)w(n)。

（5）驗算技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求。設(shè)計出的濾波器頻率響應(yīng)用下式計算：【例7.2.1】用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位高通FIRDF，要求通帶截止頻率ωp=π/2rad，阻帶截止頻率ωs=π/4rad，通帶最大衰減

p=1dB，阻帶最小衰減

s=40dB。解：（1）選擇窗函數(shù)w(n)，計算窗函數(shù)長度N。已知阻帶最小衰減

s=40dB，由表（7.2.2）可知漢寧窗和哈明窗均滿足要求，選擇漢寧窗。過渡帶寬度Bt≤ωp－ωs=π/4，漢寧窗的精確過渡帶寬度Bt=6.2π/N，所以要求Bt=6.2π/N≤π/4，解之得N≥24.8。對高通濾波器N必須取奇數(shù)，取N=25。有：（2）構(gòu)造Hd(ejω):式中（3）求出hd(n):將τ=12代入得δ(n－12)對應(yīng)全通濾波器，是截止頻率為3π/8的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)，二者之差就是理想高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。（4）加窗:7.2.4窗函數(shù)法的MATLAB設(shè)計函數(shù)簡介實際設(shè)計時可調(diào)用MATLAB工具箱函數(shù)fir1實現(xiàn)窗函數(shù)法設(shè)計步驟（2）～（4）的解題過程。

(1)fir1

用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIR數(shù)字濾波器的工具箱函數(shù)，以實現(xiàn)線性相位FIR數(shù)字濾波器的標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)法設(shè)計?！皹?biāo)準(zhǔn)”：是指在設(shè)計低通、高通、帶通和帶阻FIR濾波器時，Hd(ejω)分別表示相應(yīng)的線性相位理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)。因而將所設(shè)計的濾波器的頻率響應(yīng)稱為標(biāo)準(zhǔn)頻率響應(yīng)。

fir1的調(diào)用格式及功能：hn=fir1(M,wc)

返回6dB截止頻率為wc的M階FIR低通濾波器系數(shù)向量hn，默認(rèn)選用哈明窗。濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)與向量hn的關(guān)系為h(n)=hn(n+1)n=0,1,2,…,M而且滿足線性相位條件:h(n)=h(N－1－n)。其中wc為對π歸一化的數(shù)字頻率，0≤wc≤1。當(dāng)wc=［wcl,wcu］時，得到的是帶通濾波器，其－6dB通帶為wcl≤ω≤wcu。hn=fir1(M,wc,‘ftype’)可設(shè)計高通和帶阻FIR濾波器。當(dāng)ftype=high時，設(shè)計高通FIR濾波器；當(dāng)ftype=stop時，且wc=［wcl,wcu］時，設(shè)計帶阻FIR濾波器。應(yīng)當(dāng)注意，在設(shè)計高通和帶阻FIR濾波器時，階數(shù)M只能取偶數(shù)（h(n)長度N=M+1為奇數(shù)）。不過，當(dāng)用戶將M設(shè)置為奇數(shù)時，fir1會自動對M加1。

hn=fir1(M,wc,window)

可以指定窗函數(shù)向量window。如果缺省window參數(shù)，則fir1默認(rèn)為哈明窗。例如:hn=fir1(M,wc,bartlett(M+1))，使用Bartlett窗設(shè)計；hn=fir1(M,wc,blackman(M+1))，使用blackman窗設(shè)計；hn=fir1(M,wc,'ftype',window)，通過選擇wc、ftype和window參數(shù)（含義同上），可以設(shè)計各種加窗濾波器。（2）fir2

為任意形狀幅度特性的窗函數(shù)法設(shè)計函數(shù)。用fir2設(shè)計時，可以指定任意形狀的Hd(ejω)，它實質(zhì)是一種頻率采樣法與窗函數(shù)法的綜合設(shè)計函數(shù)。主要用于設(shè)計幅度特性形狀特殊的濾波器（如數(shù)字微分器和多帶濾波器等）。例7.2.1的設(shè)計程序如下:％例7.2.1用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位高通FIR數(shù)字濾波器wp=pi/2;ws=pi/4;Bt=wp-ws; ％計算過渡帶寬度N0=ceil(6.2*pi/Bt);％根據(jù)表7.2.2漢寧窗計算所需％h(n)長度N0，ceil(x)取大于等％于x的最小整數(shù)N=N0+mod(N0+1,2);％確保h(n)長度N是奇數(shù)wc=(wp+ws)/2/pi;％計算理想高通濾波器通帶截止％頻率(關(guān)于π歸一化)hn=fir1(N-1,wc,'high',hanning(N)); ％調(diào)用fir1計算高通FIR數(shù)字濾波％器的h(n)M=1024;hk=fft(hn,M);n=0:N-1;subplot(2,2,1);stem(n,hn,'.');line([0,30],[0,0])xlabel('n');ylabel('h(n)');k=1:M/2;w=2*(0:M/2-1)/M;subplot(2,2,2);plot(w,20*log10(abs(hk(k))));axis([0,1,-80,5]);xlabel('ω/π');ylabel('20lg|Hg(ω)|');gridon運行程序得到h(n)的25個值:

h(n)=［－0.0004 －0.00060.0028

0.0071－0.0000 －0.0185－0.0210

0.01650.06240.0355

0.1061－0.2898 0.6249－0.2898

－0.1061 0.03550.0624

0.0165－0.0210

0.0185－0.0000

0.0071 0.0028－0.0006－0.0004］高通FIR數(shù)字濾波器的h(n)及損耗函數(shù)如圖7.2.9所示。圖7.2.9高通FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形及損耗函數(shù)曲線【例7.2.2】對模擬信號進(jìn)行低通濾波處理，要求通帶0≤f≤1.5kHz內(nèi)衰減小于1dB，阻帶2.5kHz≤f≤∞上衰減大于40dB。希望對模擬信號采樣后用線性相位FIR數(shù)字濾波器實現(xiàn)上述濾波，采樣頻率Fs=10kHz。用窗函數(shù)法設(shè)計滿足要求的FIR數(shù)字低通濾波器，求出h(n)，并畫出損耗函數(shù)曲線。為了降低運算量，希望濾波器階數(shù)盡量低。解：（1）確定相應(yīng)的數(shù)字濾波器指標(biāo):

通帶截止頻率為

阻帶截止頻率為阻帶最小衰減為

s=40dB（2）用窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字低通濾波器，為了降低階數(shù)選擇凱塞窗。根據(jù)式（7.2.16）計算凱塞窗的控制參數(shù)為指標(biāo)要求過渡帶寬度Bt=ωs－ωp=0.2π，根據(jù)式（7.2.17）計算濾波器階數(shù)為取滿足要求的最小整數(shù)M=23。所以h(n)長度為N=M+1=24。理想低通濾波器的通帶截止頻率ωc=(ωs+ωp)/2=0.4π，所以由式（7.2.2）和式（7.2.3）,得到:式中，w(n)是長度為24（

=3.395）的凱塞窗函數(shù)。實現(xiàn)本例設(shè)計的MATLAB程序：％用凱塞窗函數(shù)設(shè)計線性相位低通FIR數(shù)字濾波器fp=1500;fs=2500;rs=40;wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs;Bt=ws-wp;%計算過渡帶寬度alph=0.5842*(rs-21)^0.4+0.07886*(rs-21);%根據(jù)(7.2.16)式計算kaiser窗的控制參數(shù)αN=ceil((rs-8)/2.285/Bt);%計算kaiser窗所需階數(shù)Nwc=(wp+ws)/2/pi;%計算理想高通濾波器通帶截止頻率(關(guān)于π歸一化）hn=fir1(N,wc,kaiser(N+1,alph));%調(diào)用kaiser計算低通FIRDF的h(n)M=1024;hk=fft(hn,M);n=0:N;subplot(2,2,1);stem(n,hn,'.');line([0,30],[0,0])xlabel('n');ylabel('h(n)');k=1:M/2;w=2*(0:M/2-1)/M;subplot(2,2,2);plot(w,20*log10(abs(hk(k))));axis([0,1,-80,5]);xlabel('ω/π');ylabel('20lg|Hg(ω)|');gridon運行程序