注冊電氣工程師資格考試數字電子技術學習資料數字電路基礎

數字電子技術CH1

數字電路基礎1.1數制與編碼1.2

邏輯函數與邏輯圖1.3邏輯代數的基本定律1.4

邏輯函數的化簡1.1數制與編碼

進位計數制數制轉換數值數據的表示常用編碼進位計數制1、十進制=3

102

+

3101+

3100+310-1

+310-2權權權權權特點：1)基數10，逢十進一，即9+1=103)不同數位上的數具有不同的權值10i。

4)任意一個十進制數，都可按其權位展成多項式的形式(333.33)10位置計數法按權展開式(N)10=(Kn-1K1K0.K-1K-m)10

2)有0-9十個數字符號和小數點，數碼Ki從0-9=Kn-110n-1++K1101+K0100+K-110-1++K-m10-m返回數基表示相對小數點的位置返回二進制任意進制1）基數R，逢R進一，3）不同數位上的數具有不同的權值Ri。4）任意一個R進制數，都可按其權位展成多項式的形式(N)R=(Kn-1K1K0.K-1K-m)2=Kn-1Rn-1++K1R1+K0R0+K-1R-1+K-mR-m2)有R兩個數字符號和小數點，數碼Ki從0-R-11）基數2，逢二進一，即1+1=103）不同數位上的數具有不同的權值2i。4）任意一個二進制數，都可按其權位展成多項式的形式(N)2=(Kn-1K1K0.K-1K-m)2=Kn-12n-1++K121+K020+K-12-1+K-m2-m2)有0-1兩個數字符號和小數點，數碼Ki從0-1常用數制對照表返回數制轉換十進制非十進制非十進制十進制二進制八、十六進制八、十六進制二進制十進制與非十進制間的轉換非十進制間的轉換返回

整數部分的轉換十進制轉換成二進制除2取余法：用目標數制的基數（R=2）去除十進制數，第一次相除所得余數為目的數的最低位

K0，將所得商再除以基數，反復執(zhí)行上述過程，直到商為“0”，所得余數為目的數的最高位Kn-1。例：（81）10=（？）2得：（81）10=（1010001）28140201052022222221K00K10K20K31K40K51K61返回小數部分的轉換十進制轉換成二進制乘2取整法：小數乘以目標數制的基數（R=2），第一次相乘結果的整數部分為目的數的最高位K-1，將其小數部分再乘基數依次記下整數部分，反復進行下去，直到小數部分為“0”，或滿足要求的精度為止。例：

（0.65）10=(?)2

要求精度為小數五位。0.652K-110.32K-200.62K-310.22K-400.42K-500.8由此得：(0.65)10=(0.10100)2綜合得：(81.65)10=(1010001.10100)2返回如2-5，只要求到小數點后第五位十進制二進制八進制、十六進制非十進制轉成十進制方法：將相應進制的數按權展成多項式，按十進制求和(F8C.B)16=

F×162+8×161+C×160+B×16-1=

3840+128+12+0.6875=3980.6875例：返回返回非十進制間的轉換

二進制與八進制間的轉換從小數點開始，將二進制數的整數和小數部分每三位分為一組，不足三位的分別在整數的最高位前和小數的最低位后加“0”補足，然后每組用等值的八進制碼替代，即得目的數。例8：11010111.0100111B=?Q

11010111.0100111B=327.234Q11010111.0100111小數點為界000723234返回非十進制間的轉換二進制與十六進制間的轉換從小數點開始，將二進制數的整數和小數部分每四位分為一組，不足四位的分別在整數的最高位前和小數的最低位后加“0”補足，然后每組用等值的十六進制碼替代，即得目的數。例9：

111011.10101B=?H

111011.10101B=3B.A8H111011.10101小數點為界00000B3A8X1=+1101101X2=-1101101數值數據的表示一、真值與機器數數符（+/-）+尾數（數值的絕對值）符號（+/-）數碼化

最高位：“0”表示“+”“1”表示“-”二、帶符號二進制數的代碼表示1.原碼[X]原：原碼反碼補碼變形補碼尾數部分的表示形式：最高位：“0”表示“+”“1”表示“-”符號位+尾數部分（真值）原碼的性質：

“0”有兩種表示形式[+00…0]原=000…0而[-00…0]原=100…0數值范圍：+（2n–1-1）≤[X]原≤-（2n-1-1）如n=8，原碼范圍01111111～11111111，數值范圍為+127～-127符號位后的尾數即為真值的數值返回數值數據的表示2.反碼[X]反：符號位+尾數部分反碼的性質正數：尾數部分與真值形式相同負數：尾數為真值數值部分按位取反

X1=+4X2=-4[X1]反

=00000100[X2]反

=111110113、補碼[X]補：符號位+尾數部分正數：尾數部分與真值同即[X]補=[X]正負數：尾數為真值數值部分按位取反加1即[X]補=[X]反+

1

“0”有兩種表示形式[+00…0]反=000…0而[-00…0]反=111…1數值范圍：+（2n–1-1）≤[X]反≤-（2n-1-1）如n=8，反碼范圍01111111～10000000，數值范圍為+127～-127符號位后的尾數是否為真值取決于符號位返回補碼的性質：數值數據的表示雙符號位：正數-“00”

負數-“11”符號位+尾數應用：兩個符號位（S1S0）都作為數值一起參與運算，運算結果的符號如兩個符號位相同，結果正確；不同則溢出。判斷是否有溢出方法：4、變形補碼[X]變補：例：

已知X1=-1110B，X2=+0110B，求X1+X2=？

[X1]補

=10010-1110B+）[X2]補

=00110+1000B[X1+X2]補=11000-1000B故得[X1+X2]補=11000即X1+X2=-1000B例：已知X1=48，X2=31求X1+X2=？

X1=+48[X1]變補=00110000+）X2=+31+）[X2]變補=00011111X1+X2=+79[X1+X2]變補=01001111

“0”有一種表示形式[+00…0]補=000…0而[-00…0]補=1000…0

數值范圍：+(2n-1-1）≤[X]補≤-2n-1如n=8，補碼范圍01111111～10000000，數值范圍為+127～-128

符號位后的尾數并不表示真值大小

用補碼進行運算時，兩數補碼之和等于兩數和之補碼，即

[X1]補+[X2]補={X1+X2}補（mod2n）常用編碼自然二進制碼格雷碼二—十進制碼奇偶檢驗碼

ASCII碼等。常用的編碼：用一組二進制碼按一定規(guī)則排列起來以表示數字、符號等特定信息。（一）自然二進制碼及格雷碼自然二進制碼格雷碼2.編碼還具有反射性，因此又可稱其為反射碼。1.任意兩組相鄰碼之間只有一位不同。注：首尾兩個數碼即最小數0000和最大數1000之間也符合此特點，故它可稱為循環(huán)碼返回按自然數順序排列的二進制碼自然二進制碼格雷碼二—十進制碼奇偶檢驗碼

ASCII碼等。常用的編碼：（二）二—十進制BCD碼

有權碼用四位二進制代碼對十進制數的各個數碼進行編碼。有權碼表示十進制數：18421BCD（NBCD）碼276.8↓↓↓↓010011101101000例：（276.8）10=（？）NBCD（276.8）10=（0010011101101000）NBCD四位二進制數中的每一位都對應有固定的權常用編碼返回自然二進制碼格雷碼二—十進制碼奇偶檢驗碼

ASCII碼等。常用的編碼：

無權碼2.其它有權碼2421、5421、52111.余3碼余3碼中有效的十組代碼為0011～1100代表十進制數0--92.其它無權碼字符編碼ASCII碼：七位代碼表示128個字符96個為圖形字符控制字符32個。常用編碼返回1.2邏輯函數與邏輯圖邏輯變量及基本邏輯運算邏輯函數及其表示方法

邏輯代數的運算公式和規(guī)則邏輯變量及基本邏輯運算一、邏輯變量取值：邏輯0、邏輯1。邏輯0和邏輯1不代表數值大小，僅表示相互矛盾、相互對立的兩種邏輯狀態(tài)二、基本邏輯運算與運算或運算非運算返回邏輯表達式F=AB=AB與邏輯真值表與邏輯關系表與邏輯開關A開關B燈F斷斷斷合合斷合合滅滅滅亮ABF101101000010ABF邏輯符號只有決定某一事件的所有條件全部具備，這一事件才能發(fā)生與邏輯運算符，也有用“”、“∧”、“∩”、“&”表示邏輯表達式F=A+

B或邏輯真值表或邏輯ABF1邏輯符號只有決定某一事件的有一個或一個以上具備，這一事件才能發(fā)生ABF101101001110N個輸入：F=A+

B+...+N或邏輯運算符，也有用“∨”、“∪”表示返回返回非邏輯當決定某一事件的條件滿足時，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生，非邏輯真值表邏輯符號AF1AF0110邏輯表達式F=A

“-”非邏輯運算符三、復合邏輯運算與非邏輯運算F1=AB或非邏輯運算F2=A+B與或非邏輯運算F3=AB+CD異或運算ABF101101001100邏輯表達式F=AB=AB+AB

ABF=1邏輯符號ABF101101000011同或運算邏輯表達式F=AB=AB

ABF=1邏輯符號“”異或邏輯運算符“⊙”同或邏輯運算符返回0V3V工作原理A、B中有一個或一個以上為低電平0V只有A、B全為高電平3V，二極管與門電路0V3V3V3VABF3V3V3V3V0V0V0V3V0V0V0V0V返回（四）正邏輯與負邏輯則輸出F就為低電平0V則輸出F才為高電平3VABFVLVLVLVLVHVL111ABF1001000000ABF01001011111VLVHVHVLVHVH電平關系正邏輯負邏輯正與=負或正或=負與正與非=負或非正或非=負與非正、負邏輯間關系邏輯符號等效在一種邏輯符號的所有入、出端同時加上或者去掉小圈，當一根線上有兩個小圈，則無需畫圈原來的符號互換（與←→或、同或←→異或）高電平VH用邏輯1表示，低電平VL用邏輯0表示返回（四）正邏輯與負邏輯（與門）（或門）高電平VH用邏輯0表示，低電平VL用邏輯1表示邏輯函數及其表示方法一、邏輯函數用有限個與、或、非邏輯運算符，按某種邏輯關系將邏輯變量A、B、C、...連接起來，所得的表達式F=f（A、B、C、...）稱為邏輯函數。二、邏輯函數的表示方法真值表邏輯函數式

邏輯圖波形圖輸入變量不同取值組合與函數值間的對應關系列成表格用邏輯符號來表示函數式的運算關系輸入變量輸出變量取值：邏輯0、邏輯1。邏輯0和邏輯1不代表數值大小，僅表示相互矛盾、相互對立的兩種邏輯態(tài)反映輸入和輸出波形變化的圖形又叫時序圖ABCF000001001011100110111011斷“0”合“1”亮“1”滅“0”C開，F滅0000C合，A、B中有一個合，F亮11C合，A、B均斷，F滅0邏輯函數式挑出函數值為1的項1101111101111每個函數值為1的輸入變量取值組合寫成一個乘積項這些乘積項作邏輯加輸入變量取值為1用原變量表示;反之，則用反變量表示ABC、ABC、ABCF=ABC+ABC+ABC返回邏輯圖F=ABC+ABC+ABC乘積項用與門實現，和項用或門實現波形圖010011001111返回邏輯代數的運算公式和規(guī)則公理、定律與常用公式公理交換律結合律分配律0-1律重疊律互補律還原律反演律00=001=10=011=10+0=00+1=1+0=11+1=1AB=BAA+B=B+A(AB)C=A(BC)(A+B)+C=A+(B+C)自等律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)A0=0A+1=1A1=AA+0=AAA=0A+A=1AA=AA+A=AAB=A+BA+B=ABA=A吸收律消因律包含律合并律AB+AB=A(A+B)(A+B)=AA+AB=A+BA(A+B)=AA+AB=A+BA(A+B)=ABAB+AC+BC=AB+AC(A+B)(

A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)證明方法利用真值表例：用真值表證明反演律ABABA+BABA+B000110111110111010001000AB=A+BA+B=AB返回等式右邊由此可以看出：與或表達式中，兩個乘積項分別包含同一因子的原變量和反變量，而兩項的剩余因子包含在第三個乘積項中，則第三項是多余的公式可推廣：例：證明包含律成立返回利用基本定律邏輯代數的運算公式和規(guī)則三個基本運算規(guī)則代入規(guī)則：任何一個含有某變量的等式，如果等式中所有出現此變量的位置均代之以一個邏輯函數式，則此等式依然成立例：AB=A+BBC替代B得由此反演律能推廣到n個變量：利用反演律基本運算規(guī)則

反演規(guī)則：對于任意一個邏輯函數式F，做如下處理：若把式中的運算符“.”換成“+”,“+”

換成“.”;常量“0”換成“1”，“1”換成“0”；原變量換成反變量，反變量換成原變量那么得到的新函數式稱為原函數式F的反函數式。注：①保持原函數的運算次序--先與后或，必要時適當地加入括號②不屬于單個變量上的非號有兩種處理方法非號保留，而非號下面的函數式按反演規(guī)則變換

將非號去掉，而非號下的函數式保留不變例：F(A,B,C)其反函數為或返回基本運算規(guī)則

對偶式：對于任意一個邏輯函數，做如下處理：1）若把式中的運算符“.”換成“+”，“+”換成“.”；2）常量“0”換成“1”，“1”換成“0”得到新函數式為原函數式F的對偶式F′，也稱對偶函數

對偶規(guī)則：如果兩個函數式相等，則它們對應的對偶式也相等。即若F1=F2

則F1′=F2′。使公式的數目增加一倍。求對偶式時運算順序不變，且它只變換運算符和常量，其變量是不變的。注：函數式中有“”和“⊙”運算符，求反函數及對偶函數時，要將運算符“”換成“⊙”，“⊙”換成“”。

例：其對偶式返回1.3邏輯函數的表達形式函數表達式的常用形式邏輯函數的標準形式函數表達式的常用形式五種常用表達式F(A、B、C)“與―或”式“或―與”式“與非―與非”式“或非―或非”式“與―或―非”式基本形式表達式形式轉換返回利用還原律利用反演律邏輯函數的標準形式最小項：n個變量有2n個最小項，記作mi3個變量有23（8）個最小項m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567n個變量的邏輯函數中，包括全部n個變量的乘積項（每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現一次）一、最小項和最大項乘積項和項最小項二進制數十進制數編號最小項編號i-各輸入變量取值看成二進制數，對應的十進制數001ABC000m0m1m2m3m4m5m6m7100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111三變量的最小項

最小項的性質：同一組變量取值任意兩個不同最小項的乘積為0。即mimj=0(i≠j)全部最小項之和為1，即任意一組變量取值，只有一個最小項的值為1，其它最小項的值均為0最大項n個變量有2n個最大項，記作in個變量的邏輯函數中，包括全部n個變量的和項（每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現一次）同一組變量取值任意兩個不同最大項的和為1。即Mi+Mj=1(i≠j)全部最大項之積為0，即任意一組變量取值，只有一個最大項的值為0，其它最大項的值均為1最大項：最大項的性質：返回最小項與最大項的關系相同編號的最小項和最大項存在互補關系即:

mi

=Mi

Mi

=mi若干個最小項之和表示的表達式F，其反函數F可用等同個與這些最小項相對應的最大項之積表示。

例：m1m3m5m7==返回邏輯函數的標準形式標準積之和(最小項）表達式式中的每一個乘積項均為最小項F(A、B、C、D)例：求函數F(A、B、C、D)的標準積之和表達式解：F(A、B、C、D)利用反演律利用互補律，補上所缺變量CABC000001010011100101110111mi01234567FMi0123456700010111例：已知函數的真值表，寫出該函數的標準積之和表達式

從真值表找出F為1的對應最小項解:011331101551110661111771然后將這些項邏輯加F(A、B、C)1.4邏輯函數的簡化代數法化簡函數圖解法化簡函數

邏輯函數簡化中的幾個實際問題函數的簡化依據

邏輯電路所用門的數量少

每個門的輸入端個數少

邏輯電路構成級數少

邏輯電路保證能可靠地工作降低成本提高電路的工作速度和可靠性邏輯函數的簡化返回最簡式的標準

首先是式中乘積項最少

乘積項中含的變量少

與或表達式的簡化代數法化簡函數與門的輸入端個數少實現電路的與門少下級或門輸入端個數少方法：并項：利用將兩項并為一項，且消去一個變量B消項：利用A+AB=A消去多余的項AB配項：利用和互補律、重疊律先增添項，再消去多余項BC消元：利用消去多余變量A代數法化簡函數例：試簡化函數解：利用反演律配項加AB消因律消項AB或與表達式的簡化F（或與式）求對偶式F（與或式）簡化F（最簡與或式）求對偶式F（最簡或與式）返回圖形法化簡函數卡諾圖（K圖）圖中的一小格對應真值表中的一行，即對應一個最小項，又稱真值圖AB00011011m0m1m2m3AABBABBAABABAB1010m0m1m2m3miABC01000111100001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD二變量K圖三變量K圖四變量K圖K圖的特點圖形法化簡函數

k圖為方形圖。n個變量的函數--k圖有2n個小方格，分別對應2n個最小項；

k圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，使變量各最小項之間具有邏輯相鄰性。上下左右?guī)缀蜗噜彽姆礁駜?，只有一個因子不同有三種幾何相鄰：鄰接、相對（行列兩端）和對稱（圖中以0、1分割線為對稱軸）方格均屬相鄰0001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD四變量K圖兩個相鄰格圈在一起，結果消去一個變量ABDADA1四個相鄰格圈在一起，結果消去兩個變量八個相鄰格圈在一起，結果消去三個變量十六個相鄰格圈在一起，結果mi=1卡諾圖化簡函數規(guī)則：幾何相鄰的2i（i=1、2、3…n）個小格可合并在一起構成正方形或矩形圈，消去i個變量，而用含（n-i）個變量的積項標注該圈。動畫返回圖形法化簡函數

與或表達式的簡化步驟先將函數填入相應的卡諾圖中，存在的最小項對應的方格填1，其它填0。合并：按作圈原則將圖上填1的方格圈起來，要求圈的數量少、范圍大，圈可重復包圍但每個圈內必須有新的最小項。每個圈寫出一個乘積項。按取同去異原則最后將全部積項邏輯加即得最簡與或表達式返回根據函數填寫卡諾圖1、已知函數為最小項表達式，存在的最小項對應的格填1，其余格均填0。2、若已知函數的真值表，將真值