中考數(shù)學(xué)模試題匯總《銳角三角函數(shù)》練習(xí)題

第第頁(yè)中考數(shù)學(xué)模試題匯總《銳角三角函數(shù)》練習(xí)題（含答案）一、填空題1．如圖，正方形ABCD中，將線(xiàn)段BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段CE，連接BE、DE，若正方形邊長(zhǎng)為2，則圖中陰影部分的面積是_____．2．京西某游樂(lè)園的摩天輪采用了國(guó)內(nèi)首創(chuàng)的橫梁結(jié)構(gòu)，是市民周末休閑的好去處．如圖，如果該摩天輪的直徑為88米，最高點(diǎn)距地面100米，勻速運(yùn)行一圈所需的時(shí)間是18分鐘．但受周邊建筑物影響，如果乘客與地面距離不低于34米時(shí)為最佳觀景期，那么在摩天輪運(yùn)行的一圈中最佳觀景的時(shí)長(zhǎng)為_(kāi)_______分鐘．

二、解答題3．計(jì)算：．4．計(jì)算：．5．計(jì)算：．6．計(jì)算：．7．計(jì)算：．8．計(jì)算：．9．（如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB邊中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作AB的垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，在直線(xiàn)DE上截取DF，使DF＝ED，連接AE、AF、BF．(1)求證：四邊形AEBF是菱形；(2)若cos∠EBF＝，BF＝5，連接CD，求CD的長(zhǎng)．10．如圖，在矩形中，，相交于點(diǎn)O，，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．11．如圖，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線(xiàn)段BD上，點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且DE=DF，連接AE，CE，AF，CF．(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AD=4，，求BD和AE的長(zhǎng)．12．如圖，在四邊形ABCD中，，，垂足為O，過(guò)點(diǎn)D作BD的垂線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；(2)若AC=4，AD=2，，求BC的長(zhǎng)．13．如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CFEB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形BFCE是矩形；(2)連接AC，若AB=BE=2，，求AC的長(zhǎng)14．如圖，BE是⊙O直徑，點(diǎn)A是⊙O外一點(diǎn)：OA⊥OB，AP切⊙O于點(diǎn)P，連接BP交AO于點(diǎn)C．(1)求證：∠PAO=2∠PBO；(2)若⊙O的半徑為5，，求BP的長(zhǎng)．15．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)C作⊙O的切線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，連接AC、BC，過(guò)O作OF∥AC，交BC于G，交DC于F．(1)求證：∠DCB＝∠DOF；(2)若tan∠A＝，BC＝4，求OF、DF的長(zhǎng)．16．如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，和過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)互相垂直，垂足為D．(1)求證：平分；(2)若，，求的長(zhǎng)．17．如圖，是的外接圓，AB是的直徑，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，的切線(xiàn)DE交OC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)連接BD交AC于點(diǎn)P，若，，求DE和BP的長(zhǎng)．18．（2022·北京西城·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在弧BC上，AF與CD交于點(diǎn)G，點(diǎn)H在DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且HG=HF，延長(zhǎng)HF交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M．(1)求證：HF是⊙O的切線(xiàn)；(2)若，BM=1，求AF的長(zhǎng)．19．如圖1，⊙I與直線(xiàn)a相離，過(guò)圓心I作直線(xiàn)a的垂線(xiàn)，垂足為H，且交⊙I于P，Q兩點(diǎn)（Q在P，H之間）．我們把點(diǎn)P稱(chēng)為⊙I關(guān)于直線(xiàn)a的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把PQ·PH的值稱(chēng)為⊙I關(guān)于直線(xiàn)a的“特征數(shù)”．(1)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，4），半徑為1的⊙O與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，B，C，D．①過(guò)點(diǎn)E作垂直于y軸的直線(xiàn)m﹐則⊙O關(guān)于直線(xiàn)m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O關(guān)于直線(xiàn)m的“特征數(shù)”為_(kāi)____________；②若直線(xiàn)n的函數(shù)表達(dá)式為，求⊙O關(guān)于直線(xiàn)n的“特征數(shù)”；(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy、中，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，4），點(diǎn)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以F為圓心，為半徑作⊙F．若⊙F與直線(xiàn)l相離，點(diǎn)N（–1，0）是⊙F關(guān)于直線(xiàn)l的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，且⊙F關(guān)于直線(xiàn)l的“特征數(shù)”是，直接寫(xiě)出直線(xiàn)l的函數(shù)解析式．20．（2022·北京朝陽(yáng)·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于直線(xiàn)，給出如下定義：若直線(xiàn)與某個(gè)圓相交，則兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱(chēng)為直線(xiàn)關(guān)于該圓的“圓截距”．(1)如圖1，的半徑為1，當(dāng)k=1,b=1時(shí)，直接寫(xiě)出直線(xiàn)關(guān)于的“圓截距”；(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，①如圖2，若的半徑為1，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)關(guān)于的“圓截距”小于，求k的取值范圍；②如圖3，若的半徑為2，當(dāng)k的取值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，直線(xiàn)關(guān)于的“圓截距”的最小值為2，直接寫(xiě)出b的值．21．我們規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是的整數(shù)倍，那么點(diǎn)就是點(diǎn)的倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，①如果點(diǎn)的2倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)在軸上，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是；②如果點(diǎn)是點(diǎn)的倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，．那么的最大值為_(kāi)_______；(2)如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，且在函數(shù)的圖象上存在的2倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求的取值范圍．22．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2．對(duì)于直線(xiàn)和線(xiàn)段BC，給出如下定義：若將線(xiàn)段BC沿直線(xiàn)l翻折可以得到的弦（，分別是B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱(chēng)線(xiàn)段BC是以直線(xiàn)l為軸的的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”．例如：在圖1中，線(xiàn)段BC的是以直線(xiàn)l為軸的的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”．(1)如圖2，點(diǎn)，，，，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線(xiàn)段，，中，以直線(xiàn)l為軸的的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”是______；(2)△ABC是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，點(diǎn)，若BC是以直線(xiàn)l為軸的的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”，求a的值；(3)如果經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)上存在以直線(xiàn)l為軸的的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”，直接寫(xiě)出這條直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)m的取值范圍．參考答案1．【解析】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，到邊上的高；到邊上的高，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，∵∴∴到邊上的高；到邊上的高∴故答案為：

．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正弦等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．2．12【解析】【分析】先計(jì)算出圓的底端距離地面的距離為12，從而得到圓的底部到弦的距離為22，從而計(jì)算出弦所對(duì)的圓心角，用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧的長(zhǎng)，周長(zhǎng)減去劣弧的長(zhǎng)得到最佳觀賞路徑長(zhǎng)，除以運(yùn)動(dòng)速度即可．【詳解】解：如下圖所示，根據(jù)題意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，∴CE=ED-CD=34-12=22，∴OE=OC-CE=44-22=22，在直角三角形OEF中，sin∠OFE==，∴∠OFE=30°，∴∠FOE=60°，∴∠FOB=120°，∴，∵圓轉(zhuǎn)動(dòng)的速度為，∴最佳觀賞時(shí)長(zhǎng)為÷=12（分鐘），故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，弧長(zhǎng)公式，特殊角的三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長(zhǎng)公式，靈活運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)．3．【解析】【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值，以及二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值，以及二次根式的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．4．5【解析】【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，再按照從左到右的運(yùn)算順序計(jì)算即可．【詳解】原式【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及絕對(duì)值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及二次根式的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則及順序是解題的關(guān)鍵．5．【解析】【分析】根據(jù)特殊三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的法則、二次根式的化簡(jiǎn)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：＝2×－4＋1－＝－4＋1－【點(diǎn)睛】本題考查了特殊三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的法則、二次根式的運(yùn)算等知識(shí)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．6．-1【解析】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的計(jì)算，把各個(gè)部分的值求出來(lái)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式===-1．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確記憶特殊角的銳角三角函數(shù)值、絕對(duì)值化簡(jiǎn)、零指數(shù)冪、二次根式的化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．7．【解析】【分析】先分別根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的化簡(jiǎn)、絕對(duì)值的性質(zhì)及0指數(shù)冪的計(jì)算法則，計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟知0指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算法則、特殊角的三角函數(shù)值及絕對(duì)值的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．8．3【解析】【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案．【詳解】解：原式【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值、實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．9．(1)見(jiàn)解析(2)2【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的判定條件：對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形是菱形進(jìn)行證明即可；（2）先證明∠AEC=∠EBF，從而求出CE=3，，BC=8，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，即可利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半求出CD的長(zhǎng)．(1)解：∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，∵DE=DF，∴四邊形AEBF是平行四邊形，∵EF⊥AB，∴四邊形AEBF是菱形；(2)解：∵四邊形AEBF是菱形，∴，AE=BF=BE=5，∴∠AEC=∠EBF，∵∠ACB=90°，∴，∴CE=3，∴，BC=CE+BE=8，∴，∵D是AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，熟知菱形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．10．(1)見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OA=OB，進(jìn)而利用菱形的判定解答即可；(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)及面積公式，解直角三角形即可求得．(1)證明：，四邊形AEBO是平行四邊形又四邊形ABCD是矩形，，四邊形AEBO是菱形(2)解：如圖：連接EO，交AB于點(diǎn)F四邊形ABCD是矩形，，又是等邊三角形，四邊形AEBO是菱形，四邊形的面積為：【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，作出輔助線(xiàn)是解決本題的關(guān)鍵．11．(1)見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得到，再由菱形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）先求出，由勾股定理得出BD的長(zhǎng)度，解直角三角形求出AF的長(zhǎng)度，再由菱形的性質(zhì)即可求解．(1)BA=BC，BD平分∠ABCDE=DF四邊形AECF是菱形；(2)，BA⊥AF，BA=BCAD=4在中，四邊形AECF是菱形【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理及利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．12．(1)證明見(jiàn)解析(2)BC的長(zhǎng)為【解析】【分析】（1）先判定，再根據(jù)題中所給的條件即可利用平行四邊形判定定理證出；（2）根據(jù)三角函數(shù)值設(shè)，，利用平行四邊形性質(zhì)得到平行及線(xiàn)段相等，從而根據(jù)確定的相似比代值求解即可．(1)證明：，，，，在四邊形ABCD中，，四邊形ACED是平行四邊形；(2)解：在中，，設(shè)，，在中，，，，，，即，解得（舍棄）或，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．(1)見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）先證明四邊形BFCE是平行四邊形，再根據(jù)即可求證；（2）利用矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)得到，根據(jù)勾股定理求解即可．(1)證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形∵∴∴四邊形是矩形．(2)解：∵四邊形是矩形∴，，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．14．(1)見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）連接，由切線(xiàn)的性質(zhì)及垂直條件可得，再由等腰三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)果；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，設(shè)，則可求得OB，從而可得k的值，則在中由勾股定理即可求得PB的長(zhǎng)．(1)證明：連接∵切⊙O于點(diǎn)∴∴∵OA∴∴∵OP=OB∴∠OPB=∠PBO∴∴(2)解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)∵∴∴設(shè)∴由勾股定理得：∵⊙O半徑為5∴∴∴∴∴在中，【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理及正切函數(shù)的定義等知識(shí)，連接半徑是關(guān)鍵．15．(1)見(jiàn)解析(2)，【解析】【分析】（1）如圖所示，連接OC，先證明∠DCB=∠OCA，由OC=OA，可證∠OAC=∠OCA=∠DCB，再由，可證∠DOF=∠OAC，即可證明∠DOF=∠DCB；（2）先證△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°得到，則CG=2，再由∠BCD=∠OAC，，求出，則，，即可得到，可證△OFD∽△ACD，得到，則．(1)解：如圖所示，連接OC，∵CD是圓O的切線(xiàn)，AB是圓O的直徑，∴∠OCD=∠ACB=90°，∴∠DCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB，∴∠DCB=∠OCA，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA=∠DCB，∵，∴∠DOF=∠OAC，∴∠DOF=∠DCB；(2)解：設(shè)OF與BC交于點(diǎn)G，∵，∴△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°∴，∠CGF=90°∴，∴CG=2，∵∠BCD=∠OAC，，∴，∴，∴，，∴，同理可證△OFD∽△ACD，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓切線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，平行線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角等等，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．16．(1)證明見(jiàn)詳解(2)【解析】【分析】（1）連接OC，可證明，推導(dǎo)出，又因?yàn)椋傻?，即可證明，即平分；（2）連接BC，由為的直徑可證明，由（1）可知，利用三角函數(shù)分別解、，解得AC、AD長(zhǎng)度，再由勾股定理計(jì)算CD的長(zhǎng)即可．(1)證明：如圖1，連接OC，∵CD為切線(xiàn)，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即平分；(2)解：如圖2，連接BC，∵為的直徑，∴，∵，∴，即，解得，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角定理、三角函數(shù)解直角三角形以及勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵．17．(1)見(jiàn)解析(2)，【解析】【分析】（1）連接OD，用垂徑定理的推論和切線(xiàn)性質(zhì)定理證明；（2）設(shè)OD與AC交點(diǎn)為F，連接AD，根據(jù)∠BAC的余弦值和勾股定理求出AB，BC的長(zhǎng)，證明∠E=∠BAC，∠EDO=∠ACB，得到△ABC∽△EOD，根據(jù)相似比求出DE的長(zhǎng)；根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理求出OF的長(zhǎng)，得到DF的長(zhǎng)，用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，最后用∠CAD=∠CBD的余弦值求出BP的長(zhǎng)(1)連接OD，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，∵DE是⊙O切線(xiàn)，∴DE⊥OD，∴DE∥AC(2)設(shè)OD與AC交點(diǎn)為F，連接AD，則∠CAD=∠CBD，∵DE∥AC，∴∠E=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠E，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠EDO=90°，∴△ABC∽△EOD，∴，∵，AC=8，∴AB=10，∴，OD=5，∴∴，∵，∴DF=OD-OF=5-3=2，∵，∴，∴，∴，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，切線(xiàn)性質(zhì)定理，平行線(xiàn)的判定，圓周角定理推論，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是連接OD，AD，熟練運(yùn)用上述性質(zhì)和判定定理解答18．(1)見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）連接OF，根據(jù)CD⊥AB，可得∠A+∠AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG=∠AGE，然后根據(jù)OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求證；（2）連接BF，先證得△BFM∽△FAM，可得，再由，可得OM=5，AM=9，AB=8，F(xiàn)M=3，從而得到，然后由勾股定理，即可求解．(1)證明：連接OF，∵CD⊥AB，∴∠AEG=90°，∴∠A+∠AGE=90°，∵HG=HF，∴∠HFG=∠HGF，∵∠HGF=∠AGE，∴∠HFG=∠AGE，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA，∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，∴HF是⊙O的切線(xiàn)；(2)解：如圖，連接BF，由（1）得：∠OFM=90°，∴∠BFO+∠BFM=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB=90°，∴∠A+∠ABF=90°，∵OB=OF，∴∠ABF=∠BFO，∴∠BFM=∠A，∵∠M=∠M，∴△BFM∽△FAM，∴，∵，∴，∵BM=1，OB=OF，∴，解得：OF=4，∴OM=5，AM=9，AB=8，∴FM=，∴，∴，∵，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合題，熟練掌握切線(xiàn)的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．19．(1)①D；10；②⊙O關(guān)于直線(xiàn)n的“特征數(shù)”為6；(2)或【解析】【分析】（1）①根據(jù)題干中“遠(yuǎn)點(diǎn)”及“特征數(shù)”的定義直接作答即可；②過(guò)圓心O作OH⊥直線(xiàn)n，垂足為點(diǎn)H，交⊙O于點(diǎn)P、Q，首先判斷直線(xiàn)n也經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（0，4），在中，利用三角函數(shù)求出∠EFO=60°，進(jìn)而求出PH的長(zhǎng)，再根據(jù)“特征數(shù)”的定義計(jì)算即可；（2）連接NF并延長(zhǎng)，設(shè)直線(xiàn)l的解析式為y=kx+b1,用待定系數(shù)法得到，再根據(jù)兩條直線(xiàn)互相垂直，兩個(gè)一次函數(shù)解析式的系數(shù)k互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系可設(shè)直線(xiàn)NF的解析式為y=x+b2,用待定系數(shù)法同理可得，消去b1和b2，得到關(guān)于m、n的方程組；根據(jù)⊙F關(guān)于直線(xiàn)l的“特征數(shù)”是，得出NA=，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式列出方程(m+1)2+n2=，把代入，求出k的值，便得到m、n的值即點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求直線(xiàn)l的函數(shù)表達(dá)式．注意有兩種情況，不要遺漏．(1)解：（1）①⊙O關(guān)于直線(xiàn)m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)D，⊙O關(guān)于直線(xiàn)m的“特征數(shù)”為=2×5=10；②如下圖：過(guò)圓心O作OH⊥直線(xiàn)n，垂足為點(diǎn)H，交⊙O于點(diǎn)P、Q，∵直線(xiàn)n的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)y=0時(shí)，x=，∴直線(xiàn)n經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（0，4），點(diǎn)F（，0），在中，∵==4334=，∴∠FEO=30°，∴∠EFO=60°，在中，∵，∴HO=·FO=2，∴PH=HO+OP=3，∴PQ·PH=2×3=6，∴⊙O關(guān)于直線(xiàn)n的“特征數(shù)”為6；(2)如下圖，∵點(diǎn)F是圓心，點(diǎn)是“遠(yuǎn)點(diǎn)”，∴連接NF并延長(zhǎng)，則直線(xiàn)NF⊥直線(xiàn)l，設(shè)NF與直線(xiàn)l的交點(diǎn)為點(diǎn)A（m，n），設(shè)直線(xiàn)l的解析式為y=kx+b1（k≠0）,將點(diǎn)與A（m，n）代入y=kx+b1中，②-①得：n-4=mk-k，③又∵直線(xiàn)NF⊥直線(xiàn)l，∴設(shè)直線(xiàn)NF的解析式為y=x+b2（k≠0）,將點(diǎn)與A（m，n）代入y=x+b2中，④-⑤得：-n=+，⑥聯(lián)立方程③與方程⑥，得：解得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）；又∵⊙F關(guān)于直線(xiàn)l的“特征數(shù)”是，⊙F的半徑為，∴NB·NA=，即2·NA=，解得：NA=，∴[m-(-1)]2+(n-0)2=()2，即(m+1)2+n2=18，把代入，解得k=-1或k=；當(dāng)k=-1時(shí)，m=2，n=3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），把點(diǎn)A（2，3）與點(diǎn)代入y=kx+b1中，解得直線(xiàn)l的解析式為；當(dāng)k=時(shí)，m=，n=，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），把點(diǎn)A（，）與點(diǎn)代入y=kx+b1中，解得直線(xiàn)l的解析式為．∴直線(xiàn)l的解析式為或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與圓的綜合題，考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解直角三角形等，理解“遠(yuǎn)點(diǎn)”和“特征數(shù)”的意義，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間距離公式、兩條直線(xiàn)互相垂直的兩個(gè)一次函數(shù)解析式中系數(shù)k互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．20．(1)(2)①或

②-≤b≤【解析】【分析】(1)直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)分別為A(0，1)和B(-1，0)，則OA=OB=1，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．(2)①根據(jù)圓的垂徑定理，確定弦長(zhǎng)為時(shí)，弦的位置，注意分類(lèi)，確定直線(xiàn)的解析式，根據(jù)直線(xiàn)的增減性，確定k的范圍．②分最短弦長(zhǎng)2的弦在x軸上方和下方，兩種情形求解．(1)解：如圖1，∵，∴直線(xiàn)的解析式為y=x+1，∴直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為A(0，1)，與x軸的交點(diǎn)為B(-1，0)，∵的半徑為1，∴圓O與y軸的正半軸交點(diǎn)為A(0，1)，與x軸的負(fù)半軸交點(diǎn)為B(-1，0)，∴直線(xiàn)關(guān)于該圓的“圓截距”為AB，∵OA=OB=1，∴AB=．(2)①如圖2，設(shè)直線(xiàn)與y軸正半軸交點(diǎn)為A，且A(0，1)∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為，的半徑為1，∴圓與x軸正半軸交點(diǎn)為B(2，0)，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的解析式為y=kx+1，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，2k+1=0，解得k=；過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AB，垂足為F，∵OA=1，OB=2，∴AB=，∴sin∠ABO=，∵M(jìn)B=1，sin∠ABO=，∴，，設(shè)直線(xiàn)AB與圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C，則BC=2BF=，∵關(guān)于的“圓截距”小于，∴k的取值范圍是；設(shè)直線(xiàn)AM與圓的一個(gè)交點(diǎn)為N，∵點(diǎn)A(0，1)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴OA=OM，∴∠AMO=45°，∴∠BMN=45°，根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，直線(xiàn)AB和直線(xiàn)AD關(guān)于直線(xiàn)AN對(duì)稱(chēng)，此時(shí)ED=CB，∴∠DMN=45°，∴∠DMB=90°，∴D的坐標(biāo)為(1，-1)，∴k+1=-1，解得k=-2，直線(xiàn)AD的解析式為y=-2x+1，∵關(guān)于的“圓截距”小于，∴k的取值范圍是；綜上所述，k的取值范圍是或．②如圖3，設(shè)圓M與x軸的正半軸交點(diǎn)為A,當(dāng)AF=2時(shí)，作直線(xiàn)AB交y軸的正半軸于點(diǎn)B，此時(shí)b的值最大，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB，垂足為D，∵AF=2，∴AD=1，∵M(jìn)A=2，∴∠DMA=30°，∠BAO=60°，∵OA=3，tan∠BAO=，∴OB=OAtan60°=，此時(shí)b的最大值為；設(shè)圓M與x軸的正半軸交點(diǎn)為A,當(dāng)AF=2時(shí)，作直線(xiàn)AC交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，此時(shí)b的值最小，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AC，垂足為E，∵AG=2，∴AE=1，∵M(jìn)A=2，∴∠EMA=30°，∠CAO=60°，∵OA=3，tan∠CAO=，∴OC=OAtan60°=，此時(shí)b的最小值為-；故b的取值范圍-≤b≤．【點(diǎn)睛】本題考查了了垂徑定理，一次函數(shù)的解析式和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)，靈活運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．21．(1)①（1.5，0）或（﹣4.5，0），②3(2)1－≤b≤1＋【解析】【分析】（1）①根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的2倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)在軸上，利用關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義即可求解；②根據(jù)點(diǎn)是點(diǎn)的倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，列出不等式，即可求解；（2）根據(jù)當(dāng)直線(xiàn)與⊙相切時(shí)，即直線(xiàn)和，b分別取最大值b1和最小值b2，分兩種情況解答即可．(1)解：①∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1.5，∴a＝1.5