計算方法第二章

計算方法2月17日1第2章插值法引言拉格朗日插值均差與牛頓插值多項式埃爾米特插值分段低次插值三次樣條插值2什么是插值問題？簡單地說，給定(x0,y0)，(x1,y1)，

……(xn,yn)，給定

x，確定y

=?類似地，對于多變元函數(shù).給定 (x00,x01,…x0n,y0) … (xk0,xk1,…,xkn,yk)以及給定 x0,x1,…,xk,如何確定y?3嚴(yán)格定義4首選多項式插值方便性易于計算易于微分易于積分唯一性不管用什么辦法獲得，滿足條件的n階多項式插值函數(shù)（給定n+1個插值條件）只有一個5多項式插值函數(shù)的唯一性

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而恰為范德蒙(Vandermonde)

行列式。由高等代數(shù)知：

7如何確定多項式插值函數(shù)解析方法解方程求解多項式系數(shù)ak數(shù)值方法：拉格朗日、牛頓……從方程組（*），由克萊姆(Cram)法則我們知道：其中是將系數(shù)矩陣A的第k列換為方程組（*）的右端向量形成的矩陣行列式。8線性插值（一次多項式）n=12個插值節(jié)點一次多項式插值函數(shù)滿足2個插值節(jié)點約束9線性插值基函數(shù)一次多項式插值函數(shù)的另一種寫法10線性插值基函數(shù)的性質(zhì)11拋物線插值（二次多項式）n=23個插值節(jié)點二次多項式插值函數(shù)滿足2個插值節(jié)點約束12二次插值基函數(shù)特性仿照一次（線性）插值基函數(shù)構(gòu)造一次插值多項式的原理，如果也有滿足條件

的3個二次函數(shù)，則也可類似構(gòu)造出二次插值函數(shù)，形如：13二次插值基函數(shù)14二次插值多項式15n次多項式插值

16n次插值基函數(shù)17拉格朗日插值多項式基于上述的n次插值基函數(shù)，可得到相應(yīng)的n次多項式插值函數(shù)，即拉格朗日插值多項式：18拉格朗日插值法的tips特殊情況下，n次拉格朗日插值多項式的次數(shù)可能小于n．唯一性。定理1

在次數(shù)不超過n的多項式集合Hn中，滿足n+1個插值節(jié)點約束條件的插值多項式Ln(x)∈Hn是存在唯一的。（證明自學(xué)）特例：19一個重要的結(jié)論在上述特例中，最特的一個：20拉格朗日插值余項21證明:只給出思路,詳見課本按定義,Rn(x)有根x0,x1,…,xn.所以,可以假設(shè)

Rn(x)=K(x)n+1(x).

其中K(x)待定．

把x也看作一個確定的值，構(gòu)造一個函數(shù)

(t)=f(t)-Ln(t)-K(t)n+1(t).

則(t)有(n+2)個根x0,x1,…,xn,x.由Roll定理，’(t)在(t)的兩個根之間有一個根，所以在[a,b]上’(t)有至少n+1個根.……

反復(fù)應(yīng)用Roll定理，到最后可以解得K(x).最終定理得證明．22拉格朗日插值法應(yīng)用注意：(a,b)一般是不好確定的．但是若我們能求出在(a,b)內(nèi)的界，則可得到截斷誤差的界！例2見課本28頁，演示見example201.m.23拉格朗日插值法的缺陷拉格朗日插值法的優(yōu)點是公式結(jié)構(gòu)緊湊．不足在于當(dāng)插值節(jié)點增減時全部插值基函數(shù)都要重新計算，這在實