計(jì)算方法第二章

計(jì)算方法2月17日1第2章插值法引言拉格朗日插值均差與牛頓插值多項(xiàng)式埃爾米特插值分段低次插值三次樣條插值2什么是插值問題？簡單地說，給定(x0,y0)，(x1,y1)，

……(xn,yn)，給定

x，確定y

=?類似地，對于多變元函數(shù).給定 (x00,x01,…x0n,y0) … (xk0,xk1,…,xkn,yk)以及給定 x0,x1,…,xk,如何確定y?3嚴(yán)格定義4首選多項(xiàng)式插值方便性易于計(jì)算易于微分易于積分唯一性不管用什么辦法獲得，滿足條件的n階多項(xiàng)式插值函數(shù)（給定n+1個(gè)插值條件）只有一個(gè)5多項(xiàng)式插值函數(shù)的唯一性

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而恰為范德蒙(Vandermonde)

行列式。由高等代數(shù)知：

7如何確定多項(xiàng)式插值函數(shù)解析方法解方程求解多項(xiàng)式系數(shù)ak數(shù)值方法：拉格朗日、牛頓……從方程組（*），由克萊姆(Cram)法則我們知道：其中是將系數(shù)矩陣A的第k列換為方程組（*）的右端向量形成的矩陣行列式。8線性插值（一次多項(xiàng)式）n=12個(gè)插值節(jié)點(diǎn)一次多項(xiàng)式插值函數(shù)滿足2個(gè)插值節(jié)點(diǎn)約束9線性插值基函數(shù)一次多項(xiàng)式插值函數(shù)的另一種寫法10線性插值基函數(shù)的性質(zhì)11拋物線插值（二次多項(xiàng)式）n=23個(gè)插值節(jié)點(diǎn)二次多項(xiàng)式插值函數(shù)滿足2個(gè)插值節(jié)點(diǎn)約束12二次插值基函數(shù)特性仿照一次（線性）插值基函數(shù)構(gòu)造一次插值多項(xiàng)式的原理，如果也有滿足條件

的3個(gè)二次函數(shù)，則也可類似構(gòu)造出二次插值函數(shù)，形如：13二次插值基函數(shù)14二次插值多項(xiàng)式15n次多項(xiàng)式插值

16n次插值基函數(shù)17拉格朗日插值多項(xiàng)式基于上述的n次插值基函數(shù)，可得到相應(yīng)的n次多項(xiàng)式插值函數(shù)，即拉格朗日插值多項(xiàng)式：18拉格朗日插值法的tips特殊情況下，n次拉格朗日插值多項(xiàng)式的次數(shù)可能小于n．唯一性。定理1

在次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式集合Hn中，滿足n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)約束條件的插值多項(xiàng)式Ln(x)∈Hn是存在唯一的。（證明自學(xué)）特例：19一個(gè)重要的結(jié)論在上述特例中，最特的一個(gè)：20拉格朗日插值余項(xiàng)21證明:只給出思路,詳見課本按定義,Rn(x)有根x0,x1,…,xn.所以,可以假設(shè)

Rn(x)=K(x)n+1(x).

其中K(x)待定．

把x也看作一個(gè)確定的值，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)

(t)=f(t)-Ln(t)-K(t)n+1(t).

則(t)有(n+2)個(gè)根x0,x1,…,xn,x.由Roll定理，’(t)在(t)的兩個(gè)根之間有一個(gè)根，所以在[a,b]上’(t)有至少n+1個(gè)根.……

反復(fù)應(yīng)用Roll定理，到最后可以解得K(x).最終定理得證明．22拉格朗日插值法應(yīng)用注意：(a,b)一般是不好確定的．但是若我們能求出在(a,b)內(nèi)的界，則可得到截?cái)嗾`差的界！例2見課本28頁，演示見example201.m.23拉格朗日插值法的缺陷拉格朗日插值法的優(yōu)點(diǎn)是公式結(jié)構(gòu)緊湊．不足在于當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值基函數(shù)都要重新計(jì)算，這在實(shí)