高中數(shù)學(xué)人教A版第四章圓和方程【全國(guó)一等獎(jiǎng)】

(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．直線l：y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))與圓C：x2＋y2＝1的位置關(guān)系是()A．相交或相切 B．相交或相離C．相切 D．相交解析：方法一：圓C的圓心(0,0)到直線y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k)),\r(k2＋1))，∵d2＝eq\f(\f(1,4)k2,k2＋1)＜eq\f(1,4)＜1，∴所判斷的位置關(guān)系為相交．方法二：直線l：y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))過定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，而點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))在圓C：x2＋y2＝1內(nèi)部，故直線l與圓C相交．答案：D2．圓x2＋y2＋ax＝0的圓心到y(tǒng)軸的距離為1，則a＝()A．－1 B．±1C．－2 D．±2解析：∵圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0))，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝1，∴a＝±2.答案：D3．直線x－2y＋3＝0與圓(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則△EOF(O是原點(diǎn))的面積為()\f(3,2)\f(3,4)C．2eq\r(5)\f(6\r(5),5)解析：圓(x－2)2＋(y＋3)2＝9的圓心為(2，－3)，半徑r＝3，圓心到直線的距離d＝eq\f(|2＋6－3|,\r(1＋4))＝eq\r(5)，弦長(zhǎng)為2eq\r(9－5)＝4，原點(diǎn)到直線的距離為eq\f(|0＋0＋3|,\r(1＋4))＝eq\f(3\r(5),5)，所以S＝eq\f(1,2)×4×eq\f(3\r(5),5)＝eq\f(6\r(5),5).答案：D4．圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，eq\r(3))處的切線方程為()A．x＋eq\r(3)y－2＝0 B．x＋eq\r(3)y－4＝0C．x－eq\r(3)y＋4＝0 D．x－eq\r(3)y＋2＝0解析：∵點(diǎn)(1，eq\r(3))在圓x2＋y2－4x＝0上，∴點(diǎn)P為切點(diǎn)，從而圓心與P的連線應(yīng)與切線垂直．設(shè)切線的斜率為k，又∵圓心為(2,0)，∴eq\f(0－\r(3),2－1)·k＝－1，解得k＝eq\f(\r(3),3)，∴切線方程為x－eq\r(3)y＋2＝0.答案：D5．若直線x－y＝2被圓(x－a)2＋y2＝4所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－1或eq\r(3) B．1或3C．－2或6 D．0或4解析：由半徑、半弦長(zhǎng)、圓心到直線的距離d所形成的直角三角形，可得d＝eq\r(2)，故eq\f(|a－2|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝4，或a＝0.答案：D6．圓x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直線x＋y＋2＝0的距離為eq\r(2)的點(diǎn)共有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝(2eq\r(2))2，圓心(－1，－2)到直線x＋y＋2＝0的距離為eq\f(|－1－2＋2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故滿足條件的點(diǎn)有4個(gè)．答案：D7．若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)P(a，b)與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是()A．在圓上 B．在圓外C．在圓內(nèi) D．以上皆有可能解析：由題意，得eq\f(1,\r(a2＋b2))＜1，即a2＋b2＞1，所以點(diǎn)P在圓x2＋y2＝1外．答案：B8．設(shè)點(diǎn)P(a，b，c)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為P′，則|PP′|＝()\r(a2＋b2＋c2) B．2eq\r(a2＋b2＋c2)C．|a＋b＋c| D．2|a＋b＋c|解析：P(a，b，c)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為P′(－a，－b，－c)，則|PP′|＝eq\r([a－－a]2＋[b－－b]2＋[c－－c]2)＝2eq\r(a2＋b2＋c2).答案：B9．已知兩圓相交于A(1,3)，B(m，－1)，兩圓的圓心均在直線x－y＋c＝0上，則m＋2c的值為()A．－1 B．1C．3 D．0解析：由題意知直線x－y＋c＝0為線段AB的垂直平分線，故AB的中點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,2)，1))在直線x－y＋c＝0上，所以eq\f(m＋1,2)－1＋c＝0，即m＋2c＝1.答案：B10．若直線y＝kx－1與曲線y＝－eq\r(1－x－22)有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是()\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．[0,1]解析：曲線y＝－eq\r(1－x－22)表示的圖形是一個(gè)半圓，直線y＝kx－1過定點(diǎn)(0，－1)，在同一坐標(biāo)系中畫出直線和半圓的草圖，由圖可知，k的取值范圍是[0,1]，故選D.答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)11．已知圓C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a為實(shí)數(shù))上任意一點(diǎn)關(guān)于直線l：x－y＋2＝0的對(duì)稱點(diǎn)都在圓C上，則a＝________.解析：由題意可知，直線x－y＋2＝0過圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(a,2)))，所以－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＋2＝0，a＝－2.答案：－212．已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為________．解析：令y＝0得x＝－1，所以直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)為(－1,0)．設(shè)圓C的半徑為r，則有r＝eq\f(|－1＋0＋3|,\r(2))＝eq\r(2)，所以圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2.答案：(x＋1)2＋y2＝213．(2023·陜西府谷三中月考)過點(diǎn)P(2,1)的直線l與圓C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)∠ACB最小時(shí)，直線l的方程為________．解析：當(dāng)且僅當(dāng)CP⊥l時(shí)，∠ACB最小，又CP的斜率為1，所以直線l的斜率為－1，故l的方程為x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝014．(2023·江西廣昌一中月考)已知圓C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直線l：x－y＋3＝0，當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(3)時(shí)，則a等于________．解析：由題可得eq\f(|a－2＋3|,\r(12＋－12))＝eq\r(4－\r(3)2)，得a＝eq\r(2)－1或a＝－eq\r(2)－1(舍)．答案：eq\r(2)－1三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)求經(jīng)過直線x＋y＝0與圓x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P(－1，－2)的圓的方程．解析：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x2＋y2＋2x－4y－8＝0，))得x＝1，y＝－1或x＝－4，y＝4，即直線與圓交于點(diǎn)A(1，－1)和點(diǎn)B(－4,4)．設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分別將A，B，P的坐標(biāo)代入，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋1＋D－E＋F＝0，,16＋16－4D＋4E＋F＝0，,1＋4－D－2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝3，,E＝－3，,F＝－8，))所以，所求圓的方程為x2＋y2＋3x－3y－8＝0.16．(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在直線y＝x＋4上，半徑為2eq\r(2)的圓C經(jīng)過原點(diǎn)O.(1)求圓C的方程；(2)求經(jīng)過點(diǎn)(0,2)，且被圓C所截得弦長(zhǎng)為4的直線方程．解析：(1)設(shè)圓心C(a，a＋4)，則圓的方程為：(x－a)2＋(y－a－4)2＝8，代入原點(diǎn)得a＝－2，故圓的方程為：(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝0，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx＋2，圓心(－2,2)到直線y＝kx＋2的距離為d＝eq\f(|－2k－2＋2|,\r(1＋k2))＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))圓的半徑r＝2eq\r(2).∴22＋d2＝r2，即4＋eq\f(4k2,1＋k2)＝8，∴1＋k2＝k2，可知k無解，綜上可知直線方程為x＝0.17．(本小題滿分12分)已知正方體的棱長(zhǎng)為a，過B1作B1E⊥BD1于點(diǎn)E，求A，E兩點(diǎn)之間的距離．解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，可得A(a，0,0)，B(a，a,0)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a)．過點(diǎn)E作EF⊥BD于F，如圖所示，則在Rt△BB1D1中，|BB1|＝a，|B1D1|＝eq\r(2)a，|BD1|＝eq\r(3)a，所以|B1E|＝eq\f(a·\r(2)a,\r(3)a)＝eq\f(\r(6)a,3).所以在Rt△BEB1中，|BE|＝eq\f(\r(3),3)a.由Rt△BEF∽R(shí)t△BD1D，得|BF|＝eq\f(\r(2),3)a，|EF|＝eq\f(a,3)，所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(2a,3)，0))，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(2a,3)，\f(a,3))).由兩點(diǎn)間的距離公式，得|AE|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(a,3)))2)＝eq\f(\r(6),3)a，所以A，E兩點(diǎn)之間的距離是eq\f(\r(6),3)a.18．(本小題滿分14分)如圖，已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達(dá)，其監(jiān)測(cè)范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域．一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼，速度為28km/h.問：這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)