高中數(shù)學(xué)北師大版第二章平面向量 省賽獲獎(jiǎng)

15平面向量的坐標(biāo)時(shí)間：45分鐘滿分：80分班級________姓名________分?jǐn)?shù)________一、選擇題：(每小題5分，共5×6＝30分)1．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,2)，則eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－2，－2)B．(2,2)C．(1,1)D．(－1，－1)答案：D解析：eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－2，－2)＝(－1，－1)，故選D.2．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，則eq\o(DA,\s\up6(→))＝()A．(2,4)B．(3,5)C．(1,1)D．(－1，－1)答案：C解析：eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＝－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1,1)．3．已知點(diǎn)A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥eq\o(AB,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．－eq\f(2,3)\f(3,2)\f(2,3)D．－eq\f(3,2)答案：C解析：根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，∵a∥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝eq\f(2,3)，故選C.4．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c可用a，b表示為()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b\f(1,2)a－eq\f(3,2)b\f(3,2)a－eq\f(1,2)bD．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b答案：B解析：設(shè)c＝xa＋yb，∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－1，,x－y＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－\f(3,2).))故選B.5．已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))C．(3,2)D．(1,3)答案：A解析：設(shè)點(diǎn)D(m，n)，則由題意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＝4,2n－4＝3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2,n＝\f(7,2)))，即點(diǎn)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))，故選A.6．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sinB＝1，向量p＝(a，b)，q＝(1,2)．若p∥q，則C的大小為()\f(π,6)\f(π,3)\f(π,2)\f(2π,3)答案：B解析：由sinB＝1，得B＝eq\f(π,2)，所以在△ABC中，cosC＝eq\f(a,b).又由p＝(a，b)，q＝(1,2)，p∥q，得2a－b＝0，a＝eq\f(b,2)，故cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3).二、填空題：(每小題5分，共5×3＝15分)7．若向量a＝(1,2)，b＝(－1,0)，則2a－b＝答案：(3,4)解析：2a－b＝(2,4)－(－1,0)＝(3,48．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))，若a－2b與c共線，則k＝________.答案：1解析：a－2b＝(eq\r(3)，3)，根據(jù)a－2b與c共線，得3k＝eq\r(3)×eq\r(3)，解得k＝1.9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)．當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí)，eq\o(OP,\s\up6(→))的坐標(biāo)為________．答案：(2－sin2,1－cos2)解析：設(shè)A(2,0)，B(2,1)，由題意知劣弧eq\o(PA,\s\up6(⌒))長為2，∠ABP＝eq\f(2,1)＝2.設(shè)P(x，y)，則x＝2－1×cos(2－eq\f(π,2))＝2－sin2，y＝1＋1×sin(2－eq\f(π,2))＝1－cos2，∴eq\o(OP,\s\up6(→))的坐標(biāo)為(2－sin2,1－cos2)．三、解答題：(共35分，11＋12＋12)10．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AB上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，連接DC延長至E，使|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(1,4)|eq\o(ED,\s\up6(→))|.求點(diǎn)E的坐標(biāo)．解析：設(shè)C(x，y)，由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，得(x＋2，y－1)＝eq\f(1,2)(x－1，y－4)．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝\f(1,2)x－1，,y－1＝\f(1,2)y－4.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝－2.))即C(－5，－2)．又E在DC的延長線上，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DE,\s\up6(→))，設(shè)E(a，b)，則(a＋5，b＋2)＝eq\f(1,4)(a－4，b＋3)解得a＝－8，b＝－eq\f(5,3).∴E(－8，－eq\f(5,3))．11．設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(BC,\s\up6(→))，若ka－b與a＋3b平行，求實(shí)數(shù)k的值．解：(1)設(shè)D(x，y)．由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，得(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4，－1)，即(1，－5)＝(x－4，y＋1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4＝1,y＋1＝－5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝－6)).所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5，－6)．(2)因?yàn)閍＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)，b＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)，所以ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)，a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)．由ka－b與a＋3b平行，得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0，所以k＝－eq\f(1,3).12．已知點(diǎn)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→)).(1)t為何值時(shí)，P在x軸上，P在y軸上，P在第二象限？(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由．解析：eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,3)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．(1)若P在x軸上，則有2＋3t＝0，t＝－eq\f(2,3)；若P在y軸上，則有1＋3t＝0，t＝－eq\f(1,3)；若P在第二象限，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0,2＋3t>0))，解得－eq\f(