高中數(shù)學(xué)人教A版第一章解三角形應(yīng)用舉例 第一章2

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)運(yùn)用測(cè)仰角(或俯角)解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測(cè)量的問(wèn)題.2.會(huì)用測(cè)方位角解決立體幾何中求高度問(wèn)題.3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)．知識(shí)點(diǎn)一測(cè)量仰角(或俯角)求高度問(wèn)題思考如圖，AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，如果能測(cè)出點(diǎn)C，D間的距離m和由C點(diǎn)，D點(diǎn)觀察A的仰角，怎樣求建筑物高度AB？(已知測(cè)角儀器的高是h)答案解題思路是：在△ACD中，eq\f(AC,sinβ)＝eq\f(m,sinα－β.)所以AC＝eq\f(msinβ,sinα－β)，在Rt△AEC中，AE＝ACsinα，AB＝AE＋h.梳理問(wèn)題的本質(zhì)如圖，已知∠AEC為直角，CD＝m，用α、β、m表示AE的長(zhǎng)，所得結(jié)果再加上h.知識(shí)點(diǎn)二測(cè)量方位角求高度思考如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15°的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北25°的方向上，仰角為8°，怎樣求此山的高度CD?答案先在△ABC中，用正弦定理求BC＝eq\f(5sin15°,sin10°)，再在Rt△DBC中求DC＝BCtan8°.梳理問(wèn)題本質(zhì)是：如圖，已知三棱錐D－ABC，DC⊥平面ABC，AB＝m，用α、β、m、γ表示DC的長(zhǎng)．類型一測(cè)量仰角(或俯角)求高度問(wèn)題命題角度1仰角例1如圖所示，D，C，B在地平面同一直線上，DC＝10m，從D，C兩地測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為30°和45°，則A點(diǎn)離地面的高AB等于()A．10m B．5eq\r(3)mC．5(eq\r(3)－1)m D．5(eq\r(3)＋1)m答案D解析方法一設(shè)AB＝xm，則BC＝xm.∴BD＝(10＋x)m.∴tan∠ADB＝eq\f(AB,DB)＝eq\f(x,10＋x)＝eq\f(\r(3),3).解得x＝5(eq\r(3)＋1)m.所以A點(diǎn)離地面的高AB等于5(eq\r(3)＋1)m.方法二∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.由正弦定理，得AC＝eq\f(CD,sin∠CAD)·sin∠ADC＝eq\f(10,sin15°)·sin30°＝eq\f(20,\r(6)－\r(2)).∴AB＝ACsin45°＝5(eq\r(3)＋1)m.反思與感悟(1)底部可到達(dá)，此類問(wèn)題可直接構(gòu)造直角三角形．(2)底部不可到達(dá)，但仍在同一與地面垂直的平面內(nèi)，此類問(wèn)題中兩次觀測(cè)點(diǎn)和所測(cè)垂線段的垂足在同一條直線上，觀測(cè)者一直向“目標(biāo)物”前進(jìn)．跟蹤訓(xùn)練1某登山隊(duì)在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為35°，沿傾斜角為20°的斜坡前進(jìn)1000m后到達(dá)D處，又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?5°，則山的高度為_(kāi)_______m．(精確到1m)答案811解析如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交BC于E，因?yàn)椤螪AC＝20°，所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.在△ABD中，由正弦定理，得AB＝eq\f(ADsin∠ADB,sin∠ABD)＝eq\f(1000×sin135°,sin30°)＝1000eq\r(2)(m)．在Rt△ABC中，BC＝ABsin35°≈811(m)．所以山的高度約為811m.命題角度2俯角例2如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角α＝54°40′，在塔底C處測(cè)得A處的俯角β＝50°1′.已知鐵塔BC部分的高為m，求出山高CD.(精確到1m)解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α.根據(jù)正弦定理，eq\f(BC,sinα－β)＝eq\f(AB,sin90°＋β)，所以AB＝eq\f(BCsin90°＋β,sinα－β)＝eq\f(BCcosβ,sinα－β).解Rt△ABD，得BD＝ABsin∠BAD＝eq\f(BCcosβsinα,sinα－β).將測(cè)量數(shù)據(jù)代入上式，得BD＝eq\f50°1′sin54°40′,sin54°40′－50°1′)＝eq\f50°1′sin54°40′,sin4°39′)≈(m)．CD＝BD－BC≈－≈149(m)．答山的高度約為149m.反思與感悟利用正弦、余弦定理來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要從所給的實(shí)際背景中，進(jìn)行加工、提煉，抓住本質(zhì)，抽象出數(shù)學(xué)模型，使之轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練2江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距_____m.答案30解析設(shè)兩條船所在位置分別為A、B兩點(diǎn)，炮臺(tái)底部所在位置為C點(diǎn)，在△ABC中，由題意可知AC＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3)(m)，BC＝eq\f(30,tan45°)＝30(m)，C＝30°，AB2＝(30eq\r(3))2＋302－2×30eq\r(3)×30×cos30°＝900，所以AB＝30(m)．類型二測(cè)量方位角求高度問(wèn)題例3如圖所示，A、B是水平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800m，在A點(diǎn)測(cè)得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點(diǎn)測(cè)得∠ABD＝45°，其中D點(diǎn)是點(diǎn)C到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．即山的高度為800(eq\r(3)＋1)m.反思與感悟此類問(wèn)題特點(diǎn)：底部不可到達(dá)，且涉及與地面垂直的平面，觀測(cè)者兩次觀測(cè)點(diǎn)所在直線不經(jīng)過(guò)“目標(biāo)物”，解決辦法是把目標(biāo)高度轉(zhuǎn)化為地平面內(nèi)某量，從而把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)解三角形問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練3如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10m到位置D，測(cè)得∠BDC＝45°，則塔AB的高是()A．10m B．10eq\r(2)mC．10eq\r(3)m D．10eq\r(6)m答案D解析在△BCD中，CD＝10m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，BC＝eq\f(10sin45°,sin30°)＝10eq\r(2)(m)．在Rt△ABC中，tan60°＝eq\f(AB,BC)，AB＝BC×tan60°＝10eq\r(6)(m)．1．一架飛機(jī)在海拔8000m的高度飛行，在空中測(cè)出前下方海島兩側(cè)海岸俯角分別是30°和45°，則這個(gè)海島的寬度為_(kāi)_______m．(精確到m)答案5解析寬＝eq\f(8000,tan30°)－eq\f(8000,tan45°)＝5(m)．2．甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是________________．答案20eq\r(3)米、eq\f(40,3)eq\r(3)米解析甲樓的高為20tan60°＝20×eq\r(3)＝20eq\r(3)(米)，乙樓的高為20eq\r(3)－20tan30°＝20eq\r(3)－20×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(40\r(3),3)(米)．3．為測(cè)量某塔的高度，在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量的數(shù)據(jù)如圖所示，求塔的高度．解在△ABT中，∠ATB＝°－°＝°，∠ABT＝90°＋°，AB＝15(m)．根據(jù)正弦定理，eq\f(15,sin°)＝eq\f(AT,cos°)，AT＝eq\f(15×cos°,sin°).塔的高度為AT×sin°＝eq\f(15×cos°,sin°)×sin°≈(m)．1．在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的方案，但有些過(guò)程較繁瑣，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選擇最佳的計(jì)算方式．2．測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題．由于底部不可到達(dá)，這類問(wèn)題不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計(jì)算出建筑物頂部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題．40分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．為了測(cè)某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，塔基的俯角為45°，那么塔AB的高為()A．20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))m B．201＋eq\f(\r(3),2)mC．20(1＋eq\r(3))m D．30m答案A解析塔的高度為20tan30°＋20tan45°＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))(m)，故選A.2．在某個(gè)位置測(cè)得某山峰仰角為θ，對(duì)著山峰在地面上前進(jìn)600m后測(cè)得仰角為2θ，繼續(xù)在地面上前進(jìn)200eq\r(3)m以后測(cè)得山峰的仰角為4θ，則該山峰的高度為()A．200mB．300mC．400mD．100eq\r(3)m答案B解析方法一如圖，△BED，△BDC為等腰三角形，BD＝ED＝600m，BC＝DC＝200eq\r(3)m.在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝eq\f(6002＋200\r(3)2－200\r(3)2,2×600×200\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BCsin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m)，故選B.方法二由于△BCD是等腰三角形，eq\f(1,2)BD＝DCcos2θ，即300＝200eq\r(3)cos2θ.cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，0°＜2θ＜90°，2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m)，故選B.3．已知兩座燈塔A，B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°答案B解析如圖，因?yàn)椤鰽BC為等腰三角形，所以∠CBA＝eq\f(1,2)(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故選B.4．從高出海平面h米的小島看正東方向有一只船俯角為30°，看正南方向有一只船俯角為45°，則此時(shí)兩船間的距離為()A．2h米\r(2)h米\r(3)h米D．2eq\r(2)h米答案A解析如圖所示，BC＝eq\r(3)h，AC＝h，∴AB＝eq\r(3h2＋h2)＝2h(米)．5．某人在C點(diǎn)測(cè)得某塔在南偏西80°，塔頂仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10m到D，測(cè)得塔頂A的仰角為30°，則塔高為()A．15m B．5mC．10m D．12m答案C解析如圖，設(shè)塔高為h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，則OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，則OD＝eq\r(3)h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理，得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(eq\r(3)h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．即塔高為10m.6．要測(cè)量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測(cè)點(diǎn)，在甲、乙兩點(diǎn)分別測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測(cè)得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500m，則電視塔在這次測(cè)量中的高度是()A．100eq\r(2)m B．400mC．200eq\r(3)m D．500m答案D解析由題意畫(huà)出示意圖，設(shè)高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝eq\r(3)h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC×CD×cos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h×500，解得h＝500(m)(負(fù)值舍去)．故選D.二、填空題7.如圖所示為一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并測(cè)量得AC＝3mm，BC＝2eq\r(2)mm，AB＝eq\r(29)mm，則∠ACB＝________.答案eq\f(3π,4)解析在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ACB＝eq\f(32＋2\r(2)2－\r(29)2,2×3×2\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).因?yàn)椤螦CB∈(0，π)，所以∠ACB＝eq\f(3π,4).8.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB＝________米．答案15eq\r(6)解析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，所以BC＝eq\f(30sin30°,sin135°)＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×tan60°＝15eq\r(6)(米)．9．如圖，A、B、C、D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°，30°，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°，AC＝km.若AB＝BD，則B、D間的距離為_(kāi)_______km.答案eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)解析在△ABC中，∠BCA＝60°，∠ABC＝75°－60°＝15°，AC＝km，由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，所以AB＝eq\f60°,sin15°)＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)(km)，又因?yàn)锽D＝AB，所以BD＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)(km)．三、解答題10．如圖，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為α，沿傾斜角為β的斜坡向上走a米到B，在B處測(cè)得山頂P的仰角為γ，求證：山高h(yuǎn)＝eq\f(asinαsinγ－β,sinγ－α).證明在△ABP中，∠ABP＝180°－γ＋β，∠BPA＝180°－(α－β)－∠ABP＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.在△ABP中，根據(jù)正弦定理，eq\f(AP,sin∠ABP)＝eq\f(AB,sin∠APB)，即eq\f(AP,sin180°－γ＋β)＝eq\f(a,sinγ－α)，AP＝eq\f(a×sinγ－β,sinγ－α)，所以山高h(yuǎn)＝APsinα＝eq\f(asinαsinγ－β,sinγ－α).11．某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40m后，望見(jiàn)塔在東北，若沿途測(cè)得塔的最大仰角為30°，求塔高．解如圖所示，設(shè)AE為塔，B為塔正東方向一點(diǎn)，沿南偏西60°行走40m到達(dá)C處，即BC＝40，∠CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°.在△ABC中，eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,sin∠CAB)，即eq\f(AC,sin30°)＝eq\f(40,sin135°)，∴AC＝20eq\r(2).過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G，此時(shí)仰角∠AGE最大，在△ABC中，由面積公式知eq\f(1,2)×BC×AG＝eq\f(1,2)×BC×AC×sin∠AC