高中數(shù)學(xué)人教A版第三章概率單元測試（省一等獎(jiǎng)）

河南省示范性高中羅山高中2023屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)單元過關(guān)練：必修三概率（含解析）1．從裝有2個(gè)黑球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而對立的兩個(gè)事件是（）A.至少有1個(gè)黑球，至少有1個(gè)白球B.恰有1個(gè)黑球，恰有2個(gè)白球C.至少有1個(gè)黑球，都是黑球D.至少有1個(gè)黑球，都是白球2．設(shè)集合，，從集合中隨機(jī)地取出一個(gè)元素，則的概率是（）A．B．C．D．3．把半徑為2的圓分成相等的四弧，再將四弧圍成星形放在半徑為2的圓內(nèi)，現(xiàn)在往該圓內(nèi)任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在星形內(nèi)的概率為（）A．B．C．D．4．若=，則事件A與B的關(guān)系是（）A互斥不對立B對立不互斥C互斥且對立D以上都不對5．在區(qū)間[0，10]內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)的平方和也在區(qū)間[0,10]的概率是（）A． B． C． D．6．如圖，設(shè)D是圖中邊長為4的正方形區(qū)域，E是D內(nèi)函數(shù)圖象下方的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域（陰影部分）.向D中隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落入E中的概率為（）A.B.C.D.7．一個(gè)盒子中裝有4張卡片,上面分別寫著如下四個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù):f1(x)=x3,f2(x)=|x|,f3(x)=sinx,f4(x)=cosx,現(xiàn)從盒子中任取2張卡片,將卡片上的函數(shù)相乘得到一個(gè)新函數(shù),所得函數(shù)為奇函數(shù)的概率是()(A)QUOTE(B)QUOTE(C)QUOTE(D)QUOTE8．將一個(gè)骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是（）A．B．C．D．9．從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其中個(gè)位數(shù)為0的概率是（）A．B．C．D．10．如圖，設(shè)區(qū)域，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，且投入到區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，則點(diǎn)落到陰影區(qū)域內(nèi)的概率是（）y=y=x311Oxy（A）（B）（C）（D）11．．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)，的值介于與之間的概率為（）(A)(B)(C)(D)12．有6個(gè)座位連成一排，三人就座，恰有兩個(gè)空位相鄰的概率是 （）A． B． C． D．13．已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x隨機(jī)選自集合{－1,1,3}，y隨機(jī)選自集合{1,3}，那么a⊥b的概率是________．14．在區(qū)間內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)，則使不等式成立的概率為．15．有四種顏色：紅、黃、藍(lán)、黑，并且它們所占面積的比為6：2：1：4，則指針停在紅色或藍(lán)色區(qū)域的概率為。16．設(shè)隨機(jī)變量，且DX=2，則事件“X=1” 的概率為（用數(shù)學(xué)作答）.17．某條公共汽車線路沿線共有11個(gè)車站（包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站），在起點(diǎn)站開出的一輛公共汽車上有6位乘客，假設(shè)每位乘客在起點(diǎn)站之外的各個(gè)車站下車是等可能的．求：（=1\*ROMANI）這6位乘客在其不相同的車站下車的概率；（=2\*ROMANII）這6位乘客中恰有3人在終點(diǎn)站下車的概率；18．某單位招聘面試，每次從試題庫隨機(jī)調(diào)用一道試題，若調(diào)用的是類型試題，則使用后該試題回庫，并增補(bǔ)一道類試題和一道類型試題入庫，此次調(diào)題工作結(jié)束；若調(diào)用的是類型試題，則使用后該試題回庫，此次調(diào)題工作結(jié)束。試題庫中現(xiàn)共有道試題，其中有道類型試題和道類型試題，以表示兩次調(diào)題工作完成后，試題庫中類試題的數(shù)量。（Ⅰ）求的概率；（Ⅱ）設(shè)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）。19．已知某山區(qū)小學(xué)有100名四年級(jí)學(xué)生，將全體四年級(jí)學(xué)生隨機(jī)按00～99編號(hào)，并且按編號(hào)順序平均分成10組．現(xiàn)要從中抽取10名學(xué)生，各組內(nèi)抽取的編號(hào)按依次增加10進(jìn)行系統(tǒng)抽樣.（1）若抽出的一個(gè)號(hào)碼為22，則此號(hào)碼所在的組數(shù)是多少？據(jù)此寫出所有被抽出學(xué)生的號(hào)碼；（2）分別統(tǒng)計(jì)這10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，獲得成績數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖4所示，求該樣本的方差；（3）在（2）的條件下，從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名成績不低于73分的學(xué)生，求被抽取到的兩名學(xué)生的成績之和不小于154分的概率．20．某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理.（1）若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數(shù)解析式.（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310(1)假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進(jìn)17枝玫瑰花，求這100天的日利潤（單位：元）的平均數(shù)；(2)若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤不少于75元的概率.21．某市現(xiàn)有居民萬人，每天有的人選擇乘出租車出行，記每個(gè)人的乘車?yán)锍虨?，。由調(diào)查數(shù)據(jù)得到的頻率分布直方圖（如圖）。在直方圖的乘車?yán)锍谭纸M中，可以用各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，乘車?yán)锍搪淙嗽搮^(qū)間的頻率作為乘車?yán)锍倘^(qū)間中點(diǎn)值得概率?，F(xiàn)規(guī)定乘車?yán)锍虝r(shí)，乘車費(fèi)用為元；當(dāng)時(shí)，每超出（不足時(shí)按計(jì)算），乘車費(fèi)用增加元。（Ⅰ）求從乘客中任選人乘車?yán)锍滔嗖畛^的概率；（Ⅱ）試估計(jì)出租車公司一天的總收入是多?。浚ň_到萬元）22．甲乙丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約。甲表示只要面試合格就簽約，乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約。設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響。求：（I）至少一人面試合格的概率；（II）沒有人簽約的概率。參考答案1．D【解析】試題分析：根據(jù)題意，對于選項(xiàng)A至少有1個(gè)黑球，至少有1個(gè)白球，，“至少有一個(gè)黑球”，黑球的個(gè)數(shù)可能是1或2，表明紅球個(gè)數(shù)為0或1，這與“至少有1個(gè)紅球”不互斥，因此它們不對立；對于選項(xiàng)B，由于恰有1個(gè)黑球，恰有2個(gè)白球，互斥，但不是必有一個(gè)發(fā)生，故不對立，對于選項(xiàng)C，由于C.至少有1個(gè)黑球，都是黑球，可以同時(shí)發(fā)生，因此不互斥，對于D,由于至少一個(gè)黑球和沒有黑球是對立事件，因此說至少有1個(gè)黑球，都是白球是對立事件，故選D.考點(diǎn)：互斥事件與對立事件點(diǎn)評：本題考查了隨機(jī)事件當(dāng)中“互斥”與“對立”的區(qū)別與聯(lián)系，屬于基礎(chǔ)題2．C【解析】試題分析：如圖，集合是正方形內(nèi)部（含邊界），，集合是拋物線下方的點(diǎn)（含邊界），拋物線與正方形的交點(diǎn)為，，所以正方形內(nèi)部且在拋物線下方區(qū)域的面積為，所求概率為．考點(diǎn)：幾何概型．3．A【解析】試題分析：這是一道幾何概型概率計(jì)算問題．星形弧半徑為，∴點(diǎn)落在星形內(nèi)的概率為故選．考點(diǎn)：幾何概型．4．D【解析】略5．D【解析】解：將取出的兩個(gè)數(shù)分別用x，y表示，則x，y∈[0，10]要求這兩個(gè)數(shù)的平方和也在區(qū)間[0，10]內(nèi)，即要求0≤x2+y2≤10，故此題可以轉(zhuǎn)化為求0≤x2+y2≤10在區(qū)域0≤x≤10，0≤y≤10內(nèi)的面積比的問題．即由幾何知識(shí)可得到概率為π/4?10/102=π/40；故選D6．C【解析】試題分析：正方形的面積為，陰影部分的面積為，由幾何概型的計(jì)算公式當(dāng).考點(diǎn)：幾何概型的應(yīng)用.7．C【解析】新函數(shù)的個(gè)數(shù)為6個(gè).即f1(x)·f2(x),f1(x)·f3(x),f1(x)·f4(x),f2(x)·f3(x),f2(x)·f4(x),f3(x)·f4(x).奇函數(shù)有f1(x)·f2(x),f1(x)·f4(x),f2(x)·f3(x),f3(x)·f4(x),共4個(gè).∴P=QUOTE=QUOTE.故選C.8．D【解析】考點(diǎn)：等可能事件的概率．專題：計(jì)算題．分析：本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是一顆骰子拋擲2次向上的點(diǎn)數(shù)，共有36種結(jié)果，滿足條件的事件是點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)，可以列舉出結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果解答：解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是一顆骰子拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，共有36種結(jié)果，滿足條件的事件是點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)，有（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6）有12種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到P=12:36=1:3，故選D點(diǎn)評：本題考查古典概型問題，可以列舉出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件和滿足條件的事件，應(yīng)用列舉法來解題是這一部分的最主要思想．9．D【解析】試題分析：個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之知為奇數(shù)一兩位數(shù)共有個(gè)，從中任取一個(gè)共有45個(gè)不同的結(jié)果，由于是隨機(jī)抽取的，每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的，其中個(gè)位數(shù)為的有個(gè)，由古典概型的概率公式得所求概率為：，故選D.考點(diǎn)：1、排列組合；2、古典概型.10．A【解析】試題分析：由定積分得陰影部分面積為，由幾何概型的概率計(jì)算公式得到點(diǎn)落到陰影區(qū)域內(nèi)的概率為考點(diǎn)：幾何概型11．A【解析】分析：解出關(guān)于三角函數(shù)的不等式，使得sinx的值介于-到之間，在所給的范圍中，求出符合條件的角的范圍，根據(jù)幾何概型公式用角度之比求解概率．解答：解：∵-＜sinx＜，

當(dāng)x∈[-，]時(shí)，

x∈（-，）

∴在區(qū)間[-，]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，

sinx的值介于--到之間的概率P==，

故選A．點(diǎn)評：本題是一個(gè)幾何概型，古典概型和幾何概型是我們學(xué)習(xí)的兩大概型，在解題過程中不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積的比值得到．12．C【解析】13．【解析】依題意，所有(x，y)的結(jié)果為＝6種．若a⊥b，則a·b＝0，即3x－y＝0，而滿足a⊥b的結(jié)果只有(1,3)．由古典概型概率計(jì)算公式得P＝．14．．【解析】試題分析：在區(qū)間內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)，試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的長度為，不等式得，滿足題意的，滿足不等式的的長度是3，不等式成立的概率為．考點(diǎn)：利用幾何概型求隨機(jī)事件的概率．15．【解析】略 16．【解析】考點(diǎn)：．分析：由隨機(jī)變量X～B（n，），且DX=2，知n××（）=2，解得n=8．再由二項(xiàng)分布公式能夠?qū)С鍪录癤=1”的概率．解答：解：∵隨機(jī)變量X～B（n，），且DX=2，∴n××（）=2，∴n=8．∴p（x=1）=C××=．故答案為：．點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意二項(xiàng)分布方差公式Dξ=np（1-p）的靈活運(yùn)用．17．（=1\*ROMANI）這6位乘客在互不相同的車站下車的概率為．（=2\*ROMANII）這6位乘客中恰有3人在終點(diǎn)站下車的概率為．【解析】（=1\*ROMANI）這6位乘客在互不相同的車站下車的概率為．（=2\*ROMANII）這6位乘客中恰有3人在終點(diǎn)站下車的概率為．18．（Ⅰ）的概率為（Ⅱ）求的均值為【解析】（=1\*ROMANI）表示兩次調(diào)題均為類型試題，概率為（Ⅱ）時(shí)，每次調(diào)用的是類型試題的概率為隨機(jī)變量可取，，19．(1)第3組02，12，22，32，42，52，62，72，82，92.(2)(3)【解析】試題分析：(1)根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方式,可以得到100名學(xué)生要分10組,每組10人,每組抽取一人,第三組編號(hào)為20-29,故22號(hào)為第三組學(xué)生,因?yàn)殚g隔為10,所以22依次加或者減10即可得到各組被抽到學(xué)生的編號(hào).(2)首先根據(jù)莖葉圖可得還原這10名學(xué)生的成績,然后求的平均數(shù),10名學(xué)生的成績分別減去平均數(shù)的平方和再除以10即為方差.(3)根據(jù)莖葉圖可得成績不低于73分的學(xué)生有5名,首先列出五選二的所有的基本事件共有10種,即為（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）,而成績之差不小于154分的有7種,再根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求的相應(yīng)的概率.試題解析：（1）由題意，得抽出號(hào)碼為22的組數(shù)為3.（2分）因?yàn)?＋10×(3－1)＝22，所以第1組抽出的號(hào)碼應(yīng)該為02，抽出的10名學(xué)生的號(hào)碼依次分別為：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92.（4分）（2）這10名學(xué)生的平均成績?yōu)椋骸?81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，（6分）故樣本方差為：（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52.（8分）（3）從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名成績不低于73分的學(xué)生，共有如下10種不同的取法：（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）.（10分）其中成績之和不小于154分的有如下7種：（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）.（12分）故被抽取到的兩名學(xué)生的成績之和不小于154分的概率為：（13分）考點(diǎn)：古典概型莖葉圖方差系統(tǒng)抽樣20．（1）；（2），.【解析】試題分析：本題主要考查實(shí)際應(yīng)用問題、平均利潤的計(jì)算、隨機(jī)事件的概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計(jì)算能力.第一問，利用“當(dāng)天的利潤=售出的價(jià)錢-進(jìn)價(jià)”計(jì)算利潤，但需分兩種情況：，進(jìn)行討論，列出表達(dá)式；第二問，用100天的總利潤÷100=平均利潤，來計(jì)算；所求利潤相當(dāng)于表中后5種情況，把5種情況的概率相加即可.試題解析：（1）當(dāng)日需求量時(shí)，利潤=85；當(dāng)日需求量時(shí)，利潤，∴關(guān)于的解析式為；4分（2）(i)這100天中有10天的日利潤為55元，20天的日利潤為65元，16天的日利潤為75元