固體物理電子教案31一維晶格振動(dòng)課件

第一節(jié)一維晶格的振動(dòng)3.1.1一維單原子鏈的振動(dòng)3.1.2一維雙原子鏈(復(fù)式格子)的振動(dòng)本節(jié)主要內(nèi)容:3.1一維晶格的振動(dòng)3.1.1一維單原子鏈的振動(dòng)1.振動(dòng)方程及其解(1)模型：一維無限長(zhǎng)的單原子鏈，原子間距(晶格常量)為a，原子質(zhì)量為m。第n個(gè)原子第n-2個(gè)原子第n-1個(gè)原子第n+1個(gè)原子第n+2個(gè)原子a

Xn-2Xn-1

XnXn+1

Xn+2用xn和xk分別表示序號(hào)為n和k的原子在t時(shí)刻偏離平衡位置的位移，用xnk=xn-xk表示在t時(shí)刻第n個(gè)和第k個(gè)原子的相對(duì)位移。第n個(gè)原子第n-2個(gè)原子第n-1個(gè)原子第n+1個(gè)原子第n+2個(gè)原子a

Xn-2Xn-1

XnXn+1

Xn+2(2)振動(dòng)方程和解平衡時(shí)，第k個(gè)原子與第n個(gè)原子相距

為兩個(gè)原子間的互作用勢(shì)能，平衡時(shí)為，振動(dòng)很微弱時(shí)，勢(shì)能展開式中忽略掉（r）二次方以上的高次項(xiàng)，只保留到(r)2項(xiàng)---簡(jiǎn)諧近似。(忽略掉作用力中非線性項(xiàng)的近似---簡(jiǎn)諧近似。)得:彈性恢復(fù)力系數(shù)原子的振動(dòng)方程:只考慮最近鄰原子間的相互作用，且恢復(fù)力系數(shù)相等：給出試探解：原子都以同一頻率，同一振幅A振動(dòng),相鄰原子間的位相差為aq。晶格中各個(gè)原子間的振動(dòng)相互間都存在著固定的位相關(guān)系,即原子的振動(dòng)形成了波，這種波稱為格波。色散關(guān)系(晶格振動(dòng)譜)將試探解代入振動(dòng)方程得振動(dòng)頻率:推導(dǎo)略給出試探解:且故取簡(jiǎn)約布里淵區(qū)且3.玻恩---卡門周期性邊界條件及波矢q的取值

(1)玻恩---卡門周期性邊界條件設(shè)在實(shí)際晶體外，仍然有無限多個(gè)完全相同的晶體相連接，各晶體中相對(duì)應(yīng)的原子的運(yùn)動(dòng)情況都一樣。晶體中任一個(gè)原子，當(dāng)其原胞標(biāo)數(shù)增加N（N為晶體中原胞的個(gè)數(shù)）后，其振動(dòng)情況復(fù)原。由N個(gè)原胞組成的單原子鏈，由玻恩---卡門周期性邊界條件:對(duì)于一維布拉維晶格(原胞標(biāo)數(shù)與原子標(biāo)數(shù)相同):整數(shù)(2)波矢q的取值由連續(xù)介質(zhì)波的傳播速度：在長(zhǎng)波近似的情況下，晶體可視為連續(xù)介質(zhì)，格波可視為彈性波。例1.求由5個(gè)原子組成的一維單原子晶格的振動(dòng)頻率。設(shè)原子質(zhì)量為m，恢復(fù)力常數(shù)為(只考慮近鄰原子間的相互作用)。由玻恩---卡門周期性邊界條件:解:設(shè)最近鄰原子間的恢復(fù)力系數(shù)為，則:將試探解代入振動(dòng)方程得色散關(guān)系:S為整數(shù)3.1.2一維雙原子鏈(復(fù)式格)的振動(dòng)1.運(yùn)動(dòng)方程和解(1)模型:一維無限長(zhǎng)原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且m<M。相鄰原子間距均為a，恢復(fù)力系數(shù)為。(晶格常量為2a)2n2n-12n+12n+22n-2mM質(zhì)量為M的原子編號(hào)為2n-2、2n、2n+2、···質(zhì)量為m的原子編號(hào)為2n-1、2n+1、2n+3、···x2nx2n-1x2n+1x2n+2x2n-2若只考慮最近鄰原子的相互作用，則有：(2)方程和解其他原子位移可按下列原則得出:(1)同種原子周圍情況都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。(2)相隔一個(gè)晶格常數(shù)2a的同種原子，相位差為2aq。若A，B不全為零，必須其系數(shù)行列式為零，即:推導(dǎo)略0(+)-----光學(xué)支格波，A(-)-----聲學(xué)支格波

(1)色散曲線折合質(zhì)量晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目=晶體的原胞個(gè)數(shù)晶格振動(dòng)頻率(振動(dòng)模式)的數(shù)目=晶體中原子的自由度數(shù)3.聲學(xué)波和光學(xué)波在長(zhǎng)波近似的情況下，聲學(xué)支格波與彈性波的情況類似。(1)當(dāng)波矢q0時(shí),推導(dǎo)略長(zhǎng)光學(xué)波，原胞的質(zhì)心保持不動(dòng)。所以定性地說，長(zhǎng)光學(xué)波代表原胞中兩個(gè)原子的相對(duì)振動(dòng)。

光學(xué)支格波，相鄰原子振動(dòng)方向是相反的。

聲學(xué)支格波，相鄰原子振動(dòng)方向是相同的。

可以證明，q=/2a時(shí)，在聲學(xué)支格波上，質(zhì)量為m的輕原子保持不動(dòng)；在光學(xué)支格波上，質(zhì)量為M的重原子保持不動(dòng)。

例2:一維無限長(zhǎng)原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且m<M

?？康幂^近的兩個(gè)原子構(gòu)成一個(gè)分子。設(shè)一個(gè)分子內(nèi)兩原子平衡位置的距離為b，恢復(fù)力系數(shù)為1，分子間兩原子間的恢復(fù)力系數(shù)為2，晶格常量為a(如圖所示)，求色散關(guān)系。a2n-22n2n+12n+22n-1Mmb12解: